(家教培优专用)人教版数学八年级上册--与三角形有关的线段(提高)巩固练习

与三角形有关的线段(提高)巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．如果三条线段的比是：①1:3:4；②1:2:3；③1:4:6；④3:3:6；⑤6:6:10；⑥3:4:5，其中可构成三角形的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满足上述条件的三角形个数为()
A．2个B．4个C．6个D．8个
3.如图，如果把△ABC沿AD折叠，使点C落在边AB上的点E处，那么折痕(线段AD)是△ABC的()
A．中线B．角平分线C．高D．既是中线，又是角平分线
4．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则下列说法中错误的是() A．在△ABC中，AC是BC边上的高
B．在△BCD中，DE是BC边上的高
C．在△ABE中，DE是BE边上的高
D．在△ACD中，AD是CD边上的高
5．（2015春•南长区期中）有4根小木棒，长度分别为3cm、5cm、7cm、9cm任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（）
A． 2个B． 3个C． 4个D． 5个
6．给出下列图形：
其中具有稳定性的是()
A．①B．③C．②③D．②③④
7．如图所示为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若
灰色三角形面积为
21
4
平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分? ( )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
8.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架．如图所示，要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条?( )
A ．0根
B ．1根
C ．2根
D ．3根
二、填空题 9．（2014春•渝北区期末）对面积为1的△ABC 进行以下操作：分别延长AB 、BC 、CA 至点A 1、B 1、C 1，使得A 1B=2AB ，B 1C=2BC ，C 1A=2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1（如图所示），记其面积为S 1．现再分别延长A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1至点A 2、B 2、C 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2A 1=2C 1A 1，顺次连接A 2、B 2、C 2，得到△A 2B 2C 2，记其面积为S 2，则S 2= ．
10．三角形的两边长分别为5 cm 和12 cm ，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为________．
11．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的任意一点，AH ⊥BC 于H ，图中以AH 为高的三角形的个数为______个．
12.在数学活动中，小明为了求
23411112222++++ (1)
2
n +的值(结果用n 表示)，设计了如图所示的几何图形．请你利用这个几何图形求23411112222++++ (1)
2
n +＝________．
13．请你观察上图的变化过程，说明四条边形的四条边一定时，其面积________确定．(填“能”或“不能”)
14．如图，是用四根木棒搭成的平行四边形框架，AB＝8cm，AD＝6cm，使AB固定，转动AD，当∠DAB＝_____时，ABCD的面积最大，最大值是________．
三、解答题
15．草原上有4口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，如图所示，如果现在要建一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到4口油井的距离之和HA+HB+HC+HD为最小，说明理由．
16．取一张正方形纸片，把它裁成两个等腰直角三角形，取出其中一张如图①，再沿着直角边上的中线AD按图②所示折叠，则AB与DC相交于点G．试问：△AGC和△BGD的面积哪个大?为什么?
17. 已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，
（1）求∠BAC的度数．
（2）△ABC是什么三角形．
18.（2014春•西城区期末）阅读下列材料：
某同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的高．P是BC边上一点，PM，PN分别与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M，N．求证：BD=PM+PN．
他发现，连接AP，有S△ABC=S△ABP+S△ACP，即AC•BD=AB•PM+AC•PN．由AB=AC，
可得BD=PM+PN．
他又画出了当点P在CB的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示．他猜想此时BD，PM，PN之间的数量关系是：BD=PN﹣PM．
请回答：
（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；
证明：连接AP．
∵S△ABC=S△APC﹣，
∴AC•BD=AC•﹣AB•．
∵AB=AC，
∴BD=PN﹣PM．
（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：
在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一点，PM，PN，PQ 分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q．
①如图3，若点P在△ABC的内部，则BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：；
②若点P在如图4所示的位置，利用图4探究得出此时BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B；
【解析】根据两边之和大于第三边：⑤⑥满足.
2. 【答案】B；
【解析】5+9＝14，所以第三边长应为偶数，大于4而小于14的偶数有4个，所以
3. 【答案】B；
【解析】折叠前后的图形完全相同.
4. 【答案】C；
【解析】三角形高的定义.
5. 【答案】B；
【解析】解：可搭出不同的三角形为：3cm、5cm、7cm；3cm、5cm、9cm；3cm、7cm、9cm；5cm、7cm、9cm共4个，其中3cm、5cm、9cm不能组成三角形，故选B．
6. 【答案】C；
【解析】均是由三角形构成的图形，具有稳定性.
7. 【答案】B；
【解析】设每个小正方形的边长为a ，则有16a 2
－4 a ×2 a ÷2－3 a ×2 a ÷2－4 a ×a ÷2＝
214，解得a 2＝34
，而整个方格纸的面积为16a 2
＝12（平方公分）. 8. 【答案】B ； 二、填空题
9. 【答案】361；
【解析】解：连接A 1C ，根据A 1B=2AB ，得到：AB ：A 1A=1：3，
因而若过点B ，A 1作△ABC 与△AA 1C 的AC 边上的高，则高线的比是1：3， 因而面积的比是1：3，则△A 1BC 的面积是△ABC 的面积的2倍， 设△ABC 的面积是a ，则△A 1BC 的面积是2a ，
同理可以得到△A 1B 1C 的面积是△A 1BC 面积的2倍，是4a ， 则△A 1B 1B 的面积是6a ，
同理△B 1C 1C 和△A 1C 1A 的面积都是6a ， △A 1B 1C 1的面积是19a ，
即△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的19倍，
同理△A 2B 2C 2的面积是△A 1B 1C 1的面积的19倍， ∴S 2=19×19×1=361． 故答案为：361．
10.【答案】29cm ； 11.【答案】6； 12．【答案】1
12n
-
； 【答案】解：如图所示，设大三角形的面积为1，然后不断地按顺序作出各个三角形的
中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222+
+++ (1)
2n +
表示组成面积为1的大三角形的n 个小三角形的面积之和，因此23411112222++++ (1)
2
n
+＝112
n -．
13.【答案】不能；
【解析】因为四边形的高不能确定． 14.【答案】90°， 48 cm 2； 三、解答题 15.【解析】
解：维修站应建在四边形两对角线AC 、BD 的交点H 处，理由如下：取不同于H 的F 点，根据三角形两边之和大于第三边可得；FD+FB ＞HD+HB ，FC+FA ＞HC+HA ． 所以：FD+FB+FC+FA ＞HD+HB+HC+HA ，
即HD+HB+HC+HA 为最小． 16.【解析】
解：∵ BD ＝CD ，∴ ABD ACD S S =△△． ∴ ABD ADG ACD ADG S S S S -=-△△△△． ∴ ADG BGD S S =△△．
17.【解析】 解：（1）当高AD 在△ABC 的内部时(如图(1))．
因为∠BAD ＝70°，∠CAD ＝20°，所以∠BAC ＝∠BAD+∠CAD ＝70°+20°＝90°．
当高AD 在△ABC 的外部时(如图(2))． 因为∠BAD ＝70°，∠CAD ＝20°，
所以∠BAC ＝∠BAD -∠CAD ＝70°-20°＝50°．
综上可知∠BAC 的度数为90°或50°． （2）如图(1)，当AD 在△ABC 的内部时，
因为∠BAC ＝∠BAD+∠CAD ＝70°+20°＝90°， 所以△ABC 是直角三角形．
如图(2)，当AD 在△ABC 的外部时，
因为∠BAC ＝∠BAD -∠CAD ＝70°-20°＝50°， ∠ABC ＝90°-∠BAD ＝90°-70°＝20°，
所以∠ACB ＝180°-∠ABC -∠BAC ＝180°-50°-20°＝110°． 所以△ABC 为钝角三角形．
综上可知，△ABC 是直角三角形或钝角三角形． 18.【解析】解：（1）证明：连接AP ．
∵S △ABC =S △APC ﹣S △APB ，
∴AC •BD=AC •PN ﹣AB •PM ． ∵AB=AC ，
∴BD=PN ﹣PM ．
（2）①BD=PM+PN+PQ ； 如图3，连接AP 、BP 、CP ， ∵S △ABC =S △APC +S △APB +S △BPC
∴AC •BD=AC •PN+AB •PM+BC •PQ ， ∵AB=AC=BC ， ∴BD=PM+PN+PQ ； ②BD=PM+PQ ﹣PN ；
如图4，连接AP 、BP 、CP ，
∵S△ABC=S△APB+S△BPC﹣S△APC．
∵AC•BD=AB•PM+BC•PQ﹣AC•PN，
∵AB=AC=BC，
∴BD=PM+PQ﹣PN．。