2020年高中必修五数学上期中试题(附答案)

2020年高中必修五数学上期中试题(附答案)
一、选择题
1．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810
B ．840
C ．870
D ．900
2．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪--≤⎩
，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为
2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.
A ．(,7]-∞-
B ．[3,1]-
C ．[1,)+∞
D ．[7,3]--
3．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪+-≥⎩
，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k
的最大值是（ ） A ．1
B ．
32
C ．2
D ．3
4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95
495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4
B ．5
C ．6
D ．4或5
5．已知：0x >，0y >，且211x y
+=，若2
22x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值
范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()
2,4-
D ．(][),24,-∞-⋃+∞
6．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则
122019
111a a a ++⋯+=（ ） A ．
2020
2019
B ．
2019
1010
C ．
2017
1010
D ．
4037
2020
7．已知x ，y 满足条件0
{20
x y x
x y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16
B ．－6
C ．-83
D ．6
8．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若
cos cos sin ,c B b C a A += ()
22234
S b a c =+-，则B ∠=
A ．90︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30︒
9．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9
B ．27
C ．54
D ．81
10．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}n
a 为等差数列，则9=a ( ) A ．
12
B ．
54
C ．
45
D ．45
-
11．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95
B ．100
C ．135
D ．80
12．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且
723
n n S n T n +=+，则220
715
a a
b b +=+（ ）
A ．
49
B ．
378
C ．
7914
D ．
149
24
二、填空题
13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足
11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________
14．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________．
15．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,
()22,1,x
x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩
若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________
16．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为
221
4
a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____. 17．数列{}n b 中，121,5b b ==且*
21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.
18．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5
cos
2C =
，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．
19．已知三角形中，
边上的高与
边长相等，则
的最大值是
__________．
20．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．
三、解答题
21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{
n
S n
}的前10项和． 22．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比
1q >，且2420b b a +=，38b a =.
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）若数列{}n c ，满足4n
n n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和3
2
n T <
． 23．设函数1
()|(0)f x x x a a a
=+
+- （1）证明：()2f x ≥；
（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．
24．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1
1
n n n n a b S S ++=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos a C c A a +=． （1）求证：A B =； （2）若6
A π
=
，ABC V
，求ABC V 的周长．
26．在数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，223()n n S n a n N *+=∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b a a ++=
⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明1
4
n T <.
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1．B
解析：B
【解析】
数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为
10(3165)
840
2
+
=，选B.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值.【详解】
作出不等式组
110
750
310
x y
x y
x y
+-≤
⎧
⎪
--≥
⎨
⎪--≤
⎩
对应的平面区域（如图阴影部分），
目标函数z ax y
=+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z
=-+，
（1）当0
a<时，直线z ax y
=+的斜率为正，要使得z的最大值、最小值分别在,C A处取得，
则直线z ax y
=+的斜率不大于直线310
x y
--=的斜率，
即3
a
-≤，
30
a
∴-≤<.
（2）当0
a>时，直线z ax y
=+的斜率为负，易知最小值在A处取得，
要使得z的最大值在C处取得，则直线z ax y
=+的斜率不小于直线110
x y
+-=的斜率
01a ∴<≤.
（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….
故选：B . 【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】
直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，
，
由5218020
x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ． 当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413
202
k -==-， 则k 的最大值为：32
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
4．B
解析：B 【解析】
由{}n a 为等差数列，所以
95
532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+， 令2110n a n =-+<，即112
n >
， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
若2
22x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为
21
1x y
+=,0x >,0y >,
所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭
,当且仅当4x y y x =,即
4x =,2y =时等号成立,
因为2
22x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】
本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -
1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得
1n a =()21n n +=2（1n -11
n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】
解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，
可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =
1
2
n （n +1），1n =也满足上式 1n
a =()21n n +=2（1n -11
n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12
-13+…+12019-12020） =2（1-12020
）=2019
1010．
故选:B ． 【点睛】
本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3
z
，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，
因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】
由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2
sin cos sin cos sin ,C B B C A +=
()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；
由余弦定理、三角形面积公式及)
2224S b a c =
+-，得1sin 2cos 24
ab C ab C =,
整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】
本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得
21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公
式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】
解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，
若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得2
1114a q 3a a q =+，即
2q 4q 30-+=，
解得q 1=或3；
又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，
则n 1
n a 3-=，则有34a 327==；
故选：B ． 【点睛】
本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】
依题意得：7
32,1a a ==，因为数列1{}n
a 为等差数列，
所以73111
11273738
--===--a a d ，所以
()9711159784a a =+-⨯=，所以945
=a ，故选C ． 【点睛】
本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据等差数列{}n a 性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，然后求出结果 【详解】
由等差数列的性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，
()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦
故选B 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。

12．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】
因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以
2201111
7151111
22a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,
故令21n =有2121721214921324
S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以1111149
24a b = 故选：D. 【点睛】
本题主要考查等差数列的等和性质：
若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*
21(21),()n n S n a n N -=-∈
二、填空题
13．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn ﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn ＝Sn ﹣Sn ﹣
1+2可得an+1﹣an ＝2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n ＞1n∈N*满足Sn+
解析：91 【解析】 【分析】
由S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1），可得S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2，可得a n+1﹣a n ＝2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】
∵对于任意n ＞1，n∈N *，满足S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1）， ∴n≥2时，S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2， ∴a n+1﹣a n ＝2．
∴数列{a n }在n≥2时是等差数列，公差为2． 则10S ＝1+9×298
22
⨯+⨯=91． 故答案为91 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题 解析：1231n -⋅-
【解析】 【分析】
待定系数得到()13n n a a λλ++=+，得到λ 【详解】
因为{}n a 满足132n n a a +=+， 所以()13n n a a λλ++=+， 即132n n a a λ+=+，得到1λ=， 所以()1131n n a a ++=+， 而112a +=，
故{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以1
123n n a -+=⋅，
故1
231n n a -=⋅-.
故答案为：1231n -⋅-.
【点睛】
本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.
15．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式
解析：1
3
-
【解析】 【分析】
先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】
因为当0x ≥时 ()21,01,
22,1,
x
x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式
()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，
当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12
m
x -≤
对[],1x m m ∈+恒成立，111
11233
m m m m -+≤
∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥
对[],1x m m ∈+恒成立，11
23
m m m -≥
∴≥（舍）； 综上113
m -≤≤-，因此实数m 的最大值是1
3
-. 【点睛】
解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()
f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.
16．【解析】【分析】结合已知条件结合余弦定理求得然后利用基本不等式求得的最大值进而求得三角形面积的最大值【详解】由于三角形面积①由余弦定理得②由①②得由于所以故化简得故化简得所以三角形面积故答案为【点睛
解析：
1
4
【解析】 【分析】
结合已知条件，结合余弦定理求得π
4
C =，然后利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】
由于三角形面积2211sin 24a b S ab C +-==①，由余弦定理得221
cos 2a b C ab +-=②，由
①②得sin cos C C =，由于()0,πC ∈，所以π4C =.故221cos 22
a b C ab +-==
，化简
221a b =+-22121a b ab =+-≥-，化简得ab ≤所以三角形
面积1121
sin 22224
S ab C =≤⨯=.
故答案为1
4
. 【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题.
17．-4【解析】【分析】根据已知可得即可求解【详解】且故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列考查计算求解能力属于中档题
解析：-4 【解析】 【分析】
根据已知可得6n n b b +=，即可求解. 【详解】
121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈， 321211n n n n n n n n b b b b b b b b ++++++=-==-=--， 63,20166336n n n b b b ++=-==⨯， 201663214b b b b b ∴==-=-+=-.
故答案为:-4 【点睛】
本题考查数列的递推关系以及周期数列，考查计算求解能力，属于中档题.
18．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的
【解析】
试题分析：5cos
2C =
，21cos 2cos 129C C =-=，45sin C =，cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为95
2sin c R C =
=
，由图可知，当C 在AB 垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有95110x x ⎛⎫
-= ⎪ ⎪⎝⎭
，解得
52
x =
，故最大面积为155
2222S =⋅⋅=
.
考点：解三角形．
【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C 的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos 2a B b A +=我们结合图像，很容易知道这就是2c =.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.
19．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB ⋅AC=bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c 解析：
【解析】
试题分析：由题意得
，因此
,
从而所求最大值是
考点：正余弦定理、面积公式
【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件
即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具
即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
20．【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB 的值即得B 角【详解】由2bcosB ＝acosC ＋ccosA 及正弦定理得2sinBcosB ＝sinAcosC ＋sin
解析：
3
π 【解析】 【分析】
根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cos B 的值，即得B 角. 【详解】
由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A . ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．
又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos B ＝.∴B ＝
.
∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ，∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝. 又0<B <π，∴B ＝. 【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
三、解答题
21．（1）6n a n =-；（2）552
-. 【解析】 【分析】
（1）利用已知条件列出方程，求出公差，然后求解通项公式． （2）推出
112n S n n -=，令n n S
c n =，得到{c n }是首项为-5，公差为12
的等差数列，然后求
解数列的和即可． 【详解】
（1）由a 2、a 4、a 5成等比数列得：()()2
111(3)4a d a d a d +=++，即5d 2=-a 1d ，
又∵d ≠0，可得a 1=-5d ；
而5154
5152
S a d ⨯=+=-，解得d =1，所以a n =a 1+（n -1）d =n -6， 即数列{a n }的通项公式为a n =n -6．
（2）因为()211112
2
n n n n n
S na d ⋅--=+=
，所以112n S n n -=， 令n
n S c n =，则112n n c c +-=为常数，∴{c n }是首项为-5，公差为12
的等差数列， 所以n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前10项和为109155510222⨯-⨯+⨯=-． 【点睛】
本题主要考查了等差数列以及等比数列的综合应用，以及等差数列求和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及利用等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
22．（1）n a n =，2n
n b =；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差中项的性质可得出343
4
a a =⎧⎨
=⎩，可计算出1a 和d
的值，利用等差数列的通项公式可求出n a ，根据题意得出1b 与q 的方程组，结合条件
1q >，求出1b 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n b ；
（2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出()()1
122213
n n n
B
++--=
，可得出
131122121n n n n b B +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，然后利用裂项法可求出n T ，即可证明出3
2
n T <. 【详解】
（1）1359a a a ++=Q ，由等差中项的性质得339a =，33a ∴=，同理可得44a =， 设等差数列{}n a 的公差为d ，43431d a a ∴=-=-=，1323211a a d =-=-⨯=，
()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=.
由题意得()
2
241231120
8
b b b q q b b q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩，两个等式相除得
2152q q +=，整理得22520q q -+=.
1q >Q ，解得2q =，12b ∴=，因此，111222n n n n b b q --==⨯=；
（2）442n n n
n n c b =-=-Q ，
()()()
1122424242n n n B =-+-++-Q L ()()()
()()11
2
1
2
141421244
444222
221412
3
n n n n
n
n ++---=+++-+++=-
=----L L ()()1
1
11222143223
3
n n n n ++++---⋅+==
，
()()()()()()111112323222221222121213
n n n
n n n n n n n n b B +++++⋅∴===⋅
------()()()()
111212133112221212121n n
n n n n +++---⎛⎫
=⋅=- ⎪----⎝⎭
，
22311313113113131122122121221212212n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-<
⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，数列不等式的证明，涉及了裂项求和法与分组求和法，考查计算能力，属于中等题. 23．（1）详见解析；（2
）15(,22
． 【解析】
试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出min ()2f x =，从而得出结论；对第（2）问，由0a >去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出a 的取值范围.
试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：min ()f x =1
2a a
+≥，当且仅当1a =时，取等号，所以()2f x ≥.
（2）因为(3)5f <，所以
1335a a ++-<⇔1335a a ++-<⇔132a a
-<-⇔ 11232a a a -<-<-
52
a +<<. 【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.
考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键. 24．（Ⅰ）1
2n n a -=（Ⅱ）1122
21
n n ++--
【解析】
试题分析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，，根据已知由等比数列的性质可得
32311(1)9,8a q a q +==，联立解方程再由数列{}n a 为递增数列可得11
{2
a q ==则通项公式可
得
（2）根据等比数列的求和公式，有122112
n
n n s -==--所以
11
12(21)(21)
n
n n n n n n a b s s +++==--，裂项求和即可 试题解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，所以有
323141231(1)9,8a a a q a a a q +=+===
联立两式可得11{2a q ==或者18
{12
a q ==
又因为数列{}n a 为递增数列，所以q>1，所以11
{
2a q == 数列{}n a 的通项公式为1
2n n a -=
（2）根据等比数列的求和公式，有122112
n
n n s -==--
所以1111211
(21)(21)2121
n n n n n n n n n a b s s ++++===----- 所以1111
11111122
1 (133721212121)
n n n n n n T ++++-=-+-++-=-=---- 考点：等比数列的通项公式和性质，数列求和
25．（1）见解析（2
）4+ 【解析】 【分析】
（1）用余弦定理将条件cos cos a C c A a +=化为222222
22a b c b c a a c a ab bc
+-+-⋅+⋅=，
然后化简即可
（2）由6A π=得23
C π
=，由ABC V
a b =可推出2a b ==，然后用余
弦定理求出c 即可. 【详解】
（1）因为cos cos a C c A a +=
由余弦定理得222222
22a b c b c a a c a ab bc
+-+-⋅+⋅=，
整理得222b ab =， 所以a b =， 所以A B =．
（2）因为6
A π
=
，由（1）知2()3
C A B π=π-+=
，
又ABC V
所以
1
sin 2
ab C = 又a b =，
所以
2122
⨯= 所以2a b ==．
由余弦定理，得222
12cos 14222122c a b ab C ⎛⎫
=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，
所以c =，
所以ABC V 的周长为4+． 【点睛】
本题考查的是正余弦定理及三角形的面积公式，较为典型.
26．（1）31n
n a =-；
（2）证明见解析； 【解析】 【分析】
（1）首先根据已知得到()112213n n S n a ++++=，然后两式相减得到132n n a a +=+，构造
{}1n a +是公比为3的等比数列，求通项公式；（2）根据（1）
113111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==-----，再利用裂项相消法求和，证明1
4
n
T <. 【详解】
（1）223n n S n a +=Q ，
1122(1)3n n S n a ++∴++=，
两式相减得132n n a a +=+ ，
113(1)n n a a ++=+∴ ，
又111223,2S a a +==∴，
∴数列{}1n a +是以3为首项， 3为公比的等比数列，
13,31n n n n a a +==-∴∴
（2）11
3111
()(31)(31)23131
n n n n n n b ++==----- 22311111111........2313131313131n n n T +⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭
∴
1111142314n +=
-⋅<- 【点睛】 本题重点考查了由递推公式求通项，以及裂项相消法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.。