高三数学极坐标与参数方程单元练习

高三数学极坐标与参数方程单元练习1
一、选择题〔每题5分,共25分〕
1、点M 的极坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛35π，,以下所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是〔 〕.
A. 53，-⎛
⎝ ⎫⎭⎪π
B. 543，π⎛
⎝ ⎫⎭⎪
C. 523，-⎛
⎝ ⎫⎭
⎪π
D. ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-3
55π，
2、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩
⎨
⎧==θθ
sin 2cos 2y x ,(θ为参数)的位置关系是( )
A.相切
B.相离
C.直线过圆心
D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程⎩
⎨
⎧+=+=θθ
sin cos t b y t a x 〔t 为参数〕所表示的曲线上有B 、C 两点,它们对应的参数
值分别为t 1、t 2,那么线段BC 的中点M 对应的参数值是〔 〕
4、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=1
2
32
2t y t x (t 是参数),那么曲线是〔 〕 A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2
＋2y 2
=6x,那么x 2
＋y 2
的最大值为〔 〕
A 、
27 B 、4 C 、2
9
D 、5
二、填空题〔每题5分,共30分〕
1、点()22-，
的极坐标为 . 2、假设A 33，π⎛
⎝ ⎫⎭⎪,B ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-64π，,那么|AB|=___________,S A O B ∆=___________.〔其中O 是极点〕
3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____.
4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____.
5、圆锥曲线()为参数θθ
θ
⎩⎨
⎧==sec 3tan 2y x 的准线方程是 .
6、直线l 过点()5,10M ,倾斜角是
3
π
,且与直线032=--y x 交于M ,那么0MM 的长为 .
三、解做题〔第1题14分,第2题16分,第3题15分；共45分〕
1、求圆心为C 36，π⎛
⎝ ⎫⎭⎪,半径为3的圆的极坐标方程.
2、直线l 经过点P(1,1),倾斜角6
π
α=,
〔1〕写出直线l 的参数方程.
〔2〕设l 与圆42
2
=+y x 相交与两点A 、B,求点P 到A 、B 两点的距离之积.
3、求椭圆14
92
2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P .
极坐标与参数方程单元练习1参考答案
【试题答案】
一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B
二、填空题：1、⎪⎭⎫ ⎝
⎛-422π，
或写成⎪⎭
⎫
⎝⎛
4722π，. 2、5,6. 3、d ==3262.
4、()2
2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。

5、13
13
9±
=y . 6、3610+. 三、解做题
1、1、如以下图,设圆上任一点为
P 〔ρθ，〕,那么
((((2366
OP POA OA π
ρθ=∠=-
=⨯=，，
((((cos Rt OAP OP OA POA ∆=⋅∠中，
6cos 6πρθ⎛
⎫∴=- ⎪⎝⎭而点O )32,0(π A )6
,0(π符合
P
2、解：〔1〕直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,231⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+= 〔2〕由于点A,B 都在直线l 上,所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,那么点A,B
的坐标分别为
),211,231(11t t A ++
)2
11,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程422=+y x 整理得到
02)13(2=-++t t ①
由于t 1和t 2是方程①的解,从而t 1t 2＝－2. 所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2.
3、〔先设出点P 的坐标,建立有关距离的函数关系〕
()()
3cos 2sin 10P P d θθθ=设，，则到定点（，）的距离为
3
cos )5
d θθ=(当时，
极坐标与参数方程单元练习2
1.点P 的极坐标是〔1,π〕,那么过点P 且垂直极轴的直线极坐标方程是 .
2.在极坐标系中,曲线)3
sin(4π
θρ-=一条对称轴的极坐标方程 .
3.在极坐标中,假设过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点. 那么|AB|= .
4.三点A(5,2
π
),B(-8,π611),C(3,π67),那么ΔABC 形状为 .
5.某圆的极坐标方程为：ρ2 –42ρcon(θ-π/4)+6=0
那么：①圆的普通方程 ；
②参数方程 ；
③圆上所有点〔x,y 〕中xy 的最大值和最小值分别为 、 .
6.设椭圆的参数方程为()πθθ
θ
≤≤⎩⎨
⎧==0sin cos b y a x ,()11,y x M ,()22,y x N 是椭圆上两点,
M 、N 对应的参数为21,θθ且21x x <,那么12,θθ大小关系是 .
7.直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θ
θ
sin 2cos 2y x ,(θ为参数)的位置关系是 .
8.经过点M 0(1,5)且倾斜角为
3
π
的直线,以定点M 0到动 点P 的位移t 为参数的参数方程 是 . 且与直线032=--y x 交于M ,那么0MM 的长为 .
9.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧
-=+
=2
1y t t x (t 为参数)所表示的图形是 .
10.方程⎩⎨⎧-=+=1
2
32
2t y t x (t 是参数)的普通方程是 .与x 轴交点的直角坐标是
11.画出参数方程⎪⎩
⎪⎨⎧
-==1
112
t t y t x 〔t 为参数〕所表示的曲线
.
12.动园：),,(0sin 2cos 22
2
是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+, 那么圆心的轨迹是 .
13.过曲线()⎩
⎨⎧≤≤==πθθθθ
0sin 4cos 3，y x 为参数上一点P,原点为O,直线PO 的倾斜角
为4
π,那么P 点坐标是 .
14.直线221x t
y t
=+⎧⎨=-+⎩ (t 为参数)上对应t=0, t=1两点间的距离是 .
15.直线0
3sin 201cos 20
x t y t ⎧=+⎨=-+⎩(t 为参数)的倾斜角是 .
16.设0>r ,那么直线()
是常数θθθr y x =+sin cos 与圆()是参数ϕϕ
ϕ
⎩⎨⎧==sin cos r y r x 的
位置关系是 .
17.直线()为参数t t
y t
x ⎩⎨
⎧+=--=2322上与点()32，P -距离等于2的点的坐标是 .
18.过抛物线y 2=4x 的焦点作倾斜角为的弦,假设弦长不超过8,那么
的取值范围是
________________________________.
19.假设动点(x ,y )在曲线
1422
2=+b
y x (b >0)上变化,那么x 2 + 2y 的最大值为 .
20.曲线⎩⎨⎧==ααtan sec b y a x (α为参数)与曲线⎩
⎨⎧==ββsec tan b y a x (β为参数)的离心率分别为e 1和e 2,
那么e 1＋e 2的最小值为_______________.
极坐标与参数方程单元练习2参考答案
答案：1.ρcos θ= -1；2.56
π
θ=
；
3. 4.等边三角形；5.(x-2)2+(y-2)2
=2; ()2{2x y θθθ=+=为参数;9、1；
1>θ2；7.相交；8. ()112
52
x t t y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪
=+⎪
⎩为参数 9.两条射线；10.x-3y=5(x ≥2);(5, 0)；12.椭圆；13.1212,55⎛⎫
⎪⎝⎭；15.700；16.相切；17.
〔-1,2〕或〔-3,4〕；18.3,44ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；19.216
(04)2(4)4
b b b b +<≤>或；20.
极坐标与参数方程单元练习3
一．选择题〔每题5分共60分〕
1．设椭圆的参数方程为()πθθ
θ
≤≤⎩⎨
⎧==0sin cos b y a x ,()11,y x M ,()22,y x N 是椭圆上两点,M,N
对应的参数为21,θθ且21x x <,那么
A ．21θθ<
B ．21θθ>
C ．21θθ≥
D ．21θθ≤
2.直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨
⎧==θ
θ
sin 2cos 2y x ,(θ为参数)的位置关系是( )
A.相切
B.相离
C.直线过圆心
D.相交但直线不过圆心 3.经过点M(1,5)且倾斜角为3
π
的直线,以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是( )
A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211
B. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211
C. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=t y t x 235211
D. ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211
4.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧
-=+
=2
1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 ( )
A.一条射线
B.两条射线
C.一条直线
D.两条直线
5．假设动点(x ,y )在曲线
1422
2=+b
y x (b >0)上变化,那么x 2+2y 的最大值为 (A) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b b ； (B) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)
20(442
b b
b b ；(C) 442+b (D) 2b . 6．实数x 、y 满足3x 2
＋2y 2
=6x,那么x 2
＋y 2
的最大值为〔 〕 A 、
27 B 、4 C 、2
9
D 、5
7．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=1
2
32
2t y t x (t 是参数),那么曲线是
A 、线段
B 、双曲线的一支
C 、圆
D 、射线
8． 动园：),,(0sin 2cos 22
2
是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+,那么圆心的轨迹是
A 、直线
B 、圆
C 、抛物线的一局部
D 、椭圆
9． 在参数方程⎩⎨
⎧+=+=θ
θ
sin cos t b y t a x 〔t 为参数〕所表示的曲线上有B 、C 两点,它们对应的参数
值分别为t 1、t 2,那么线段BC 的中点M 对应的参数值是
10．设0>r ,那么直线()是常数θθθr y x =+sin cos 与圆()是参数ϕϕϕ
⎩
⎨⎧==sin cos r y r x 的位置
关系是
A 、相交
B 、相切
C 、相离
D 、视的大小而定 11． 以下参数方程〔t 为参数〕中与普通方程x 2
-y=0表示同一曲线的是
12．过曲线()⎩⎨
⎧≤≤==πθθθ
θ0sin 4cos 3，y x 为参数上一点P,原点为O,直线PO 的倾斜角为4π
,
那么P 点坐标是
A 、〔3,4〕
B 、⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛22223， C 、(-3,-4) D 、⎪⎭⎫
⎝⎛512512，
二．填空题〔每题5分共25分〕
13．过抛物线y 2
=4x 的焦点作倾斜角为的弦,假设弦长不超过8,那么的取值范围是
________________________________.
14．直线()为参数t t
y t x ⎩⎨
⎧+=--=2322上与点()32，P -距离等于
2的点的坐标是
15．圆锥曲线()为参数θθθ
⎩
⎨
⎧==sec 3tan 2y x 的准线方程是
16．直线l 过点()5,10M ,倾斜角是
3
π
,且与直线032=--y x 交于M ,那么0MM 的长为 17．曲线⎩⎨⎧==ααtan sec b y a x 〔α为参数〕与曲线⎩⎨⎧==ββ
sec tan b y a x 〔β为参数〕的离心率分
别为e 1和e 2,那么e 1＋e 2的最小值为_______________.
三．解做题〔共65分
18．上截得的弦长。

为参数）被双曲线（求直线13222=-⎩⎨⎧=+=y x t t
y t
x
19．方程.
〔1〕试证：不管如何变化,方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线； 〔2〕θ为何值时,该抛物线在直线x=14上截得的弦最长？并求出此弦长.
20．椭圆⎩⎨
⎧==θ
θ
sin 5cos 4y x 上两个相邻顶点为A 、C,又B 、D 为椭圆上的两个动点,且B 、D 分别在
直线AC 的两旁,求四边形ABCD 面积的最大值.
21.过点P(1,-2),倾斜角为
6
π的直线l 和抛物线x 2
=y+m (1)m 取何值时,直线l 和抛物线交于两点?
(2)m 取何值时,直线l 被抛物线截下的线段长为
3
2
34-.
极坐标与参数方程单元练习3参考答案
答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B
D
A
B
A
B
D
D
B
B
D
D
13．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈434ππα，
;14．()()2,1,4,3-- ; 15．13139±=y ;16．3610+;17．22 18．解：把直线参数方程化为标准参数方程为参数）
（ 23 212t t y t x ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=+= 1 23 21212
2
2
2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-t t y x ，得：代入 06 4 2
=--t t 整理，得： ，则，设其二根为 21t t 6 4 2121-=⋅=+t t t t ， ()()10240644 4 22122121==--=
-+=-=t t t t t t AB 从而弦长为
19〔1〕把原方程化为())cos 4(2sin 32
θθ-=-x y ,知抛物线的顶点为()θθsin 3,cos 4它
是在椭圆19
162
2=+y x 上；〔2〕当时,弦长最大为12.
20、220
21．(1)m ＞12
3
423+,(2)m=3
极坐标与参数方程单元练习4
(一)选择题：
[ ]
A．(2,-7) B．(1,0)
A．20°B．70° C．110° D．160°
[ ]
A．相切 B．相离 C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆[ ]
C．5 D．6
(二)填空题：
8．设y=tx(t为参数),那么圆x2+y2-4y=0的参数方程是______．
10．当m取一切实数时,双曲线x2-y2-6mx-4my+5m2-1=0的中央的轨迹方程为______．
(三)解做题：
时矩形对角线的倾斜角α．
13．直线l经过两点 P(-1,2)和Q(2,-2),与双曲线(y-2)2-x2=1相交于两点A、B,
(1)根据下问所需写出l的参数方程；
(2)求AB中点M与点P的距离．
14．设椭圆4x2+y2=1的平行弦的斜率为2,求这组平行弦中点的轨迹．
15．假设不计空气阻力,炮弹运行轨道是抛物线．现测得我炮位A与炮击目标B在同一水平线上,水平距离为6000米,炮弹运行的最大高度为1200米．试求炮弹的发射角α和发射初速度v0(重力加速度g=9.8米/秒2)．
极坐标与参数方程单元练习4参考答案
(一)1．C 2．C 3．D 4．B 5．A
(二)6．(1,0),(-5,0)
7.4x2-y2=16(x≥2)
9．(-1,5),(-1,-1)
10．2x+3y=0
(三)11．圆x2+y2-x-y=0．
14．取平行弦中的一条弦AB在y轴上的截距m为参数,并设A(x1,
设弦AB的中点为M(x,y),那么
15．在以A为原点,直线AB的x轴的直角坐标系中,弹道方程是
它经过最高点(3000,1200)和点B(6000,0)的时间分别设为t0和2t0,代入参数方程,得
极坐标与参数方程单元练习5
一．选择题〔每题5分共50分〕 1．⎪⎭
⎫
⎝
⎛-3,
5πM ,以下所给出的不能表示点的坐标的是 A ．⎪⎭⎫
⎝
⎛-
3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--35,5π 2．点()
3,1-P ,那么它的极坐标是 A ．⎪⎭
⎫
⎝⎛3,
2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 3．极坐标方程⎪⎭
⎫
⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是 A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,
1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭
⎫
⎝⎛4,2π
5．在极坐标系中,与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为
A ．2sin =θρ
B ．2cos =θρ
C ．4cos =θρ
D ．4cos -=θρ
6、 点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭
⎫
⎝⎛
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-
-ππ那么ABO ∆为 A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 7、)0(4
≤=
ρπ
θ表示的图形是
A ．一条射线
B ．一条直线
C ．一条线段
D ．圆
8、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是
A 、平行
B 、垂直
C 、相交不垂直
D 、与有关,不确定
9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共局部面积是 A.
214
-
π
B.2-π
C.12-π
D.2
π
10.点1P 的球坐标是)4
,
,32(1π
ϕP ,2P 的柱坐标是)1,,5(2θP ,求21P P . A ．2 B ．3 C ．22 D ．2
2
二．填空题〔每题5分共25分〕 11．极坐标方程52
sin 42
=θ
ρ化为直角坐标方程是
12．圆心为⎪⎭
⎫
⎝⎛6,
3πC ,半径为3的圆的极坐标方程为 13．直线的极坐标方程为2
2
)4
sin(=
+
π
θρ,那么极点到直线的距离是 14、在极坐标系中,点P ⎪⎭⎫
⎝
⎛611,
2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________. 15、与曲线01cos =+θρ关于4
π
θ=对称的曲线的极坐标方程是
________________________. 三．解做题〔共75分〕
16．说说由曲线x y tan =得到曲线x y 2tan 3=的变化过程,并求出坐标伸缩变换.〔7分〕
17．⎪⎭
⎫ ⎝⎛π32,5P ,O 为极点,求使'
POP ∆是正三角形的'P 点坐标.〔8分〕
18．棱长为1的正方体'
'
'
'
C B A
D OABC -中,对角线'
OB 与'BD 相交于点P,顶点O 为坐标原点,OA 、OC 分别在轴轴y x ,的正半轴上,点P 的球坐标()θϕρ,,P ,求θϕρsin ,tan ,.〔10分〕
19．ABC ∆的底边,2
1
,10B A BC ∠=∠=以B 点为极点,BC 为极轴,求顶点A 的轨迹方程.〔10分〕
20．在平面直角坐标系中点A 〔3,0〕,P 是圆珠笔(
)
12
2=+y x 上一个运点,且AOP ∠的平分线交PA 于Q 点,求Q 点的轨迹的极坐标方程. 〔10分〕
21、在极坐标系中,圆C 的圆心C ⎪⎭
⎫
⎝⎛6,
3π,半径=1,Q 点在圆C 上运动. 〔1〕求圆C 的极坐标方程；
〔2〕假设P 在直线OQ 上运动,且OQ∶QP=2∶3,求动点P 的轨迹方程.〔10分〕
O
P
A
Q
22、建立极坐标系证实：半圆直径∣AB∣=2〔>0〕,半圆外一条直线与AB 所在直线垂直相交于点T,并且∣AT∣=2)2
2(r
a a <
.假设半圆上相异两点M 、
N 到的距离∣MP∣,∣NQ∣满足∣MP∣∶∣MA∣=∣NQ∣∶∣NA∣=1,那么 ∣MA∣+∣NA∣=∣AB∣. 〔10分〕
23．如图,BC AD ⊥,D 是垂足,H 是AD 上任意一点,直线BH 与AC 交于E 点,直线CH 与AB 交于F 点,求证：FDA EDA ∠=∠〔10分〕
极坐标与参数方程单元练习5参考答案
答案
一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D A B D A B C A
二．填空题 11．42552
+=x y ；12．⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=6cos 6πθρ；13．22； 14．13+；15． 01sin =+θρ
三．解做题
16．解：x y tan =的图象上的点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的2
1
,得到x y 2tan =,再将其纵坐标伸长为原来的3倍,横坐标不变,得到曲线x y 2tan 3=. 设'
'
tan 3x y =,变换公式为
⎩⎨⎧>=>=0
,0
,'
'μμλλy y x x 将其代入'
'
tan 3x y =得
⎪⎩⎪
⎨⎧==213λμ,⎪⎩⎪⎨⎧==∴y
y x x 321'
'
17.)3
,
5('
πP 或),5('πP
18.1sin ,2tan ,2
3
===
θϕρa 19.解:设()θρ,M 是曲线上任意一点,在ABC ∆ 中由正弦定理得:
2
sin
10)
2
3
sin(θ
θπρ
=
-
得A 的轨迹是:2
sin
40302
θ
ρ-=
20.解:以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设()θρ,Q ,()θ2,1P
OAP OQP OQA S S S ∆∆∆=+
θθρθρ2sin 1321
sin 21sin 321⋅⋅⋅=+⋅∴ θρcos 2
3
=
21．〔1〕06cos 62
=⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
-πθρρ 〔2〕0506cos 152
=+⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
-πθρρ 22．证法一：以A 为极点,射线AB 为极轴建立直角坐标系,那么半圆的的极坐标方程为
θρcos 2r =,设()),(,,2211θρθρN M ,那么11cos 2θρr =,22cos 2θρr =,又
1211cos 22cos 2θθρr a a MP +=+=,2222cos 22cos 2θθρr a a NQ +=+=, 112cos 2cos 22θθr r a MP =+=∴ 222cos 2cos 22θθr r a NQ =+=∴
21cos ,cos θθ∴是方程0cos cos 2=+-a r r θθ的两个根,由韦达定理：1cos cos 21=+θθ,AB r r r NA MA ==+=+2cos 2cos 221θθ
证法二：以A 为极点,射线AB 为极轴建立直角坐标系,那么半圆的的极坐标方程为
θρcos 2r =,设()),(,,2211θρθρN M
又
由
题
意
知
,
())
,(,,2211θρθρN M 在抛物线
θ
ρcos 12-=
a 上,θ
θcos 12cos 2-=
∴a r ,0cos cos 2
=+-a r r θθ,21cos ,cos θθ∴是方程
cos cos 2=+-a r r θθ的
两
个
根
,
由
韦
达
定
理
：
1cos cos 21=+θθ,AB r r r NA MA ==+=+2cos 2cos 221θθ
23．证实：以BC 所在的直线为x 轴,AD 所在的直线为y 轴建立直角坐标系,设
),0(a A ,)0,(b B ,)0,(c C ,),0(t H ,那么
1:
=+t
y
b x l BH ,即0=-+bt by tx
1:
=+t y
c x l CH ,即0=-+ct cy tx 1:=+a y
c x l AC ,即0=-+ac cy ax
1:=+a y
b x l AB ,即0=-+ab by ax
()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----∴ct ab t c b ct ab t a bc E ,,()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛----∴bt ac b c at ac bt a t bc F ,
()()()()()()t a bc at c b t a bc ct ab ct ab at c b k DE --=--⋅--=
∴
()()()()()()
t a bc at c b a t bc ac bt bt ac at b c k DF ---=--⋅--=
∴ ,FDB EDC ∠=∠∴FDA EDA ∠=∠
坐标系与参数方程单元练习6
一、选择题
1．假设直线的参数方程为12()23x t
t y t
=+⎧⎨
=-⎩为参数,那么直线的斜率为〔 〕
A ．23
B ．23-
C ．32
D ．32
-
2．以下在曲线sin 2()cos sin x y θ
θθθ=⎧⎨
=+⎩
为参数上的点是〔 〕
A
．1(,2
B ．31
(,)42
- C
． D
．
3．将参数方程2
2
2sin ()sin x y θ
θθ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为〔 〕 A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2
cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为〔 〕
A ．2
01y y +==2
x 或 B ．1x = C ．2
01y +==2
x 或x D ．1y = 5．点M
的直角坐标是(-,那么点M 的极坐标为〔 〕
A ．(2,
)3π
B ．(2,)3π-
C ．2(2,)3π
D ．(2,2),()3
k k Z π
π+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为〔 〕
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆
二、填空题 1．直线34()45x t
t y t
=+⎧⎨
=-⎩为参数的斜率为______________________.
2．参数方程()2()
t t t t
x e e t y e e --⎧=+⎪
⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________. 3．直线113:()24x t
l t y t =+⎧⎨=-⎩
为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ,又点(1,2)A ,
那么AB =_______________.
4．直线122
()112
x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________. 5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________. 三、解做题
1．点(,)P x y 是圆2
2
2x y y +=上的动点, 〔1〕求2x y +的取值范围；
〔2〕假设0x y a ++≥恒成立,求实数a 的取值范围.
2
．求直线11:()5x t
l t y =+⎧⎪⎨
=-⎪⎩为参数
和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标,及点P 与(1,5)Q -的距离.
3．在椭圆
22
11612
x y +=上找一点,使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值.
坐标系与参数方程单元练习6参考答案
一、选择题 1．D 233
122
y t k x t --=
==-- 2．B 转化为普通方程：2
1y x =+,当34x =-
时,1
2
y = 3．C 转化为普通方程：2y x =-,但是[2,3],[0,1]x y ∈∈ 4．
C
(cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-=====或
5．C 2(2,2),()3
k k Z π
π+
∈都是极坐标 6．C 2
cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即 那么,2
k π
θπ=+或224x y y +=
二、填空题 1．54-
455344
y t k x t --===-- 2．2
2
1,(2)416x y x -=≥ 22()()422222
t
t t t t
t
y x e x e e y y x x y y e e x e ---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⇒⇒+-=⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩ 3．52 将1324x t y t
=+⎧⎨=-⎩代入245x y -=得12t =,那么5(,0)2B ,而(1,2)A ,得5
2AB =
4
．
直线为10x y +-=,圆心到直线的距
离2d =
=,弦长的一半
为2
=
5．2
πθα=
+ cos cos sin sin 0,cos()0ρθαρθαθα+=-=,取2
πθα-=
三、解做题
1．解：〔1〕设圆的参数方程为cos 1sin x y θ
θ=⎧⎨
=+⎩
,
22cos sin 1)1x y θθθϕ+=++=++
121x y ≤+≤
〔2〕cos sin 10x y a a θθ++=+++≥
(cos sin )1)1
4
1
a a π
θθθ∴≥-+-=+-∴≥ 2
．解：将15x t
y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩
代入0x y --=
得t =,
得(1P +,而(1,5)Q -,
得PQ ==3
．解：设椭圆的参数方程为4cos x y θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩
,d =
3)33
θ
θθθ=
-=+- 当cos()13
π
θ+
=时
,min d =
此时所求点为(2,3)-.
坐标系与参数方程单元练习7
一、选择题
1．直线l 的参数方程为()x a t
t y b t
=+⎧⎨
=+⎩为参数,l 上的点1P 对应的参数是1t ,那么点1P 与
(,)P a b 之间的距离是〔 〕
A ．1t
B ．12t C
1 D
1 2．参数方程为1()2
x t t t y ⎧
=+
⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是〔 〕
A ．一条直线
B ．两条直线
C ．一条射线
D ．两条射线
3
．直线112()2
x t t y t ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点,
那么AB 的中点坐标为〔 〕
A ．(3,3)- B
．( C
．3)- D
．(3, 4
．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是〔 〕
A ．4(5,)3π--
B ．(5,)3π-
C ．(5,)3π
D ．5(5,)3
π
- 5
．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数等价的普通方程为〔 〕 A ．214y +=2
x B ．21(01)4
y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2
x D ．21(01,02)4
y x y +=≤≤≤≤2
x 6．直线2()1x t
t y t
=-+⎧⎨
=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为〔 〕
A
B ．1
404
C
D
二、填空题
1．曲线的参数方程是211()1x t t y t ⎧=-⎪
≠⎨⎪=-⎩
为参数,t 0,那么它的普通方程为
__________________. 2．直线3()14x at
t y t
=+⎧⎨
=-+⎩为参数过定点_____________.
3．点P(x,y)是椭圆2
2
2312x y +=上的一个动点,那么2x y +的最大值为___________. 4．曲线的极坐标方程为1
tan cos ρθθ
=⋅
,那么曲线的直角坐标方程为________________. 5．设()y tx t =为参数那么圆2
2
40x y y +-=的参数方程为__________________________. 三、解做题 1．参数方程cos (sin cos )
()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+⎧⎨=+⎩
为参数表示什么曲线？
2．点P 在椭圆
22
1169
x y +=上,求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离.
3．直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=,
〔1〕写出直线l 的参数方程.
〔2〕设l 与圆42
2
=+y x 相交与两点,A B ,求点P 到,A B 两点的距离之积.
坐标系与参数方程单元练习7参考答案
一、选择题
1．C
1=
2．D 2y =表示一条平行于x 轴的直线,而2,2x x ≥≤-或,所以表示两条射线
3．D
221(1)()162t +
+-=,得2880t t --=,12128,42
t t t t ++==
中点为1143
24x x y y ⎧=+⨯⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨
=⎪
⎩⎪=-⎪⎩4．A
圆心为5(,2 5．D 222
22
,11,1,0,011,0244
y y x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得 6．C
2211x x t y t y ⎧=-⎪=-+⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩,把直线21x t y t =-+⎧⎨
=-⎩代入
22(3)(1)25x y -++=得222(5)(2)25,720t t t t -++-=-+=
12t t -==
12t -=二、填空题 1．2
(2)(1)(1)x x y x x -=
≠- 111,,1x t t x
-==-而2
1y t =-, 即22
1(2)
1(
)(1)1(1)x x y x x x -=-=≠-- 2．(3,1)-
14
3y x a
+=-,(1)4120y a x -++-=对于任何a 都成立,那么3,1x y ==-且 3
椭圆为22
164
x y +=,
设,2sin )P θθ,
24sin )x y θθθϕ+=+=+≤4．2
x y =
222
2
1sin tan ,cos sin ,cos sin ,cos cos θρθρθθρθρθθθ
=⋅
===即2x y = 5．22
24141t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=
⎪+⎩ 22
()40x tx tx +-=,当0x =时,0y =；当0x ≠时,241t x t =+； 而y tx =,即22
41t y t =+,得2
2
24141t x t t y t ⎧
=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
三、解做题
1．解：显然tan y x
θ=,那么222222
111,cos cos 1y y x x θθ+==+
2
222
112tan cos
sin cos sin 2cos cos 221tan x θ
θθθθθθθ
=+=+=⨯
++ 即22222
222
2
1
11,(1)12111y y
y y x x x x y y y x x x x x
+=⨯+=+=++++ 得21y y
x x x
+=+,即220x y x y +--= 2．解：设(4cos ,3sin )P θθ,那么12cos 12sin 24
5
d θθ--=
即d =当cos()14
π
θ+=-时
,max 12
(25d =； 当cos()14
π
θ+
=时
,min
12
(25
d =. 3．解：〔1〕直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,
即12112
x y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
〔2
〕把直线1112
x y t ⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩代入422=+y x
得2221
(1)(1)4,1)2022
t t t +
++=+-= 122t t =-,那么点P 到,A B 两点的距离之积为2
坐标系与参数方程单元练习8
一、选择题
1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是〔 〕
A ．1
21
2x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩
B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x t
t y t =-+⎧⎨
=-⎩为参数与坐标轴的交点是〔 〕
A ．21(0,)(,0)5
2
、 B ．11(0,)(,0)52、
C ．(0,4)(8,0)-、
D ．5
(0,)(8,0)9
、
3．直线12()2x t
t y t
=+⎧⎨
=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为〔 〕
A ．
125 B
C
D
4．假设点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
4()4x t t y t
⎧=⎨
=⎩为参数上, 那么PF 等于〔 〕 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
5．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为〔 〕
A ．极点
B ．极轴
C ．一条直线
D ．两条相交直线
6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为〔 〕
A ．cos 2ρθ=
B ．sin 2ρθ=
C ．4sin()3π
ρθ=+ D ．4sin()3
π
ρθ=-
二、填空题
1．曲线2
2()2x pt t p y pt
⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为
12,t t 和,120t t +=且,那么MN =_______________.
2
．直线2()3x t y ⎧=-⎪⎨
=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -
的点的坐标是_______. 3．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθ
θθθ
=+⎧⎨
=-⎩为参数,那么此圆的半径为_______________.
4．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________.
5．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨
=⎩与圆42cos 2sin x y α
α
=+⎧⎨=⎩相切,那么θ=_______________.
三、解做题
1．分别在以下两种情况下,把参数方程1()cos 2
1()sin 2
t t
t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程：
〔1〕θ为参数,t 为常数；〔2〕t 为参数,θ为常数；
2
．过点2
P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N , 求PM PN ⋅的最小值及相应的α的值.
坐标系与参数方程单元练习8参考答案
一、选择题
1．D 1xy =,x 取非零实数,而A,B,C 中的x 的范围有各自的限制
2．B 当0x =时,25t =
,而12y t =-,即15y =,得与y 轴的交点为1(0,)5； 当0y =时,12t =,而25x t =-+,即12x =,得与x 轴的交点为1
(,0)2
3．B
11221x x t y t y ⎧
=+⎪=+⎧⎪
⇒⎨⎨
=+⎩⎪=+⎪⎩
,把直线122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=
12125t t -===,
12t -=4．C 抛物线为2
4y x =,准线为1x =-,PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离,即为4 5．D
cos 20,cos 20,4
k π
ρθθθπ===±
,为两条相交直线
6．A 4sin ρθ=的普通方程为2
2
(2)4x y +-=,cos 2ρθ=的普通方程为2x = 圆2
2
(2)4x y +-=与直线2x =显然相切 二、填空题
1．14p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴.即x 轴,121222MN p t t p t =-= 2．(3,4)-,或(1,2)-
2
2
2
2
1()),,22
t t +==
=± 3．5 由3sin 4cos 4sin 3cos x y θθθθ
=+⎧⎨
=-⎩得22
25x y +=
4
．2 圆心分别为1(,0)2和1(0,)2
5．
6
π,或56π 直线为tan y x θ=,圆为22(4)4x y -+=,作出图形,相切时,
易知倾斜角为6
π
,或56π
三、解做题
1．解：〔1〕当0t =时,0,cos y x θ==,即1,0x y ≤=且； 当0t ≠时,cos ,sin 11()()2
2
t t t t x y e e e e θθ--=
=
+-
而22
1x y +=,即
2
2
22111()()4
4
t
t t t x y e e e e --+
=+-
〔2〕当,k k Z θπ=∈时,0y =,1()2
t t
x e e -=±
+,即1,0x y ≥=且； 当,2k k Z πθπ=+∈时,0x =,1()2
t t
y e e -=±-,即0x =；
当,2k k Z πθ≠∈时,得2cos 2sin t t
t t x e e y e e θθ--⎧+=⎪⎪⎨
⎪-=⎪⎩,即222cos sin 222cos sin t t x y e x y
e θθ
θθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
得222222(
)()cos sin cos sin t
t
x y x y e e
θθθθ
-⋅=+- 即
22
221cos sin x y θθ
-=. 2
．解：设直线为cos ()sin x t t y t αα⎧=
+⎪⎨⎪=⎩
为参数,代入曲线并整理得
223(1sin ))02
t t αα+++
= 那么122321sin PM PN t t α
⋅==+ 所以当2
sin 1α=时,即2
π
α=
,PM PN ⋅的最小值为
34,此时2
πα=.。