18.1.1 第2课时 平行四边形的对角线的特征

第2课时 平行四边形的对角线的特征
1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质；(重点) 2．利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题．(难点)
一、情境导入
如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高为4，你能算出图中阴影部分的面积吗？
二、合作探究 探究点一：平行四边形的对角线互相平分
【类型一】 利用平行四边形对角线互相平分求线段
已知▱ABCD 的周长为60cm ，对角
线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，求这个平行四边形各边的长．
解析：平行四边形周长为60cm ，即相邻两边之和为30cm.△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，而AO 为共用，OB ＝OD ，因而由题可知AB 比AD 长5cm ，进一步解答即可．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，AB ＝CD ，AD ＝BC .∵△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，∴AB －AD ＝5cm ，又∵▱ABCD 的周长为60cm ，∴AB ＋AD ＝30cm ，则AB ＝CD ＝
35
2
cm ，AD ＝BC ＝252cm. 方法总结：平行四边形被对角线分成四
个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等
于邻边边长之差． 【类型二】 利用平行四边形对角线互
相平分证明线段或角相等
如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD
相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F .求证：OE ＝OF .
解析：根据平行四边形的性质得出OD ＝OB ，DC ∥AB ，推出∠FDO ＝∠EBO ，证出△DFO ≌△BEO 即可．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD ＝OB ，DC ∥AB ，∴∠FDO ＝∠EBO .在△DFO 和△BEO 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，
∠FOD ＝∠EOB ，∴△DFO ≌△BEO (ASA)，∴OE ＝OF .
方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．
【类型三】 判断直线的位置关系
如图，平行四边形ABCD 中，AC 、
BD 交于O 点，点E 、F 分别是AO 、CO 的中点，试判断线段BE 、DF 的关系并证明你的结论．
解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA ＝OC ，OB ＝OD .利用中点的意义得出OE ＝OF ，从而利用△FOD ≌△EOB 可得出BE ＝DF ，BE ∥DF .
解：BE ＝DF ，BE ∥DF .理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，
OB＝OD.∵E、F分别是OA、OC的中点，∴OE＝OF，又∵∠FOD＝∠EOB，∴△FOD≌△EOB(SAS)，∴BE＝DF，∠ODF＝∠OBE，∴BE∥DF.
方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题．
探究点二：平行四边形的面积
在▱ABCD中，
(1)如图①，O为对角线BD、AC的交
点．求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线BD上任一点
(点P与点B、D不重合)，S△ABP与S△CBP仍
然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请
说明理由．
解析：(1)根据“平行四边形的对角线互
相平分”可得AO＝CO，再根据等底等高的
三角形的面积相等解答；(2)根据平行四边形
的性质可得点A、C到BD的距离相等，再
根据等底等高的三角形的面积相等解答．
(1)证明：在▱ABCD中，AO＝CO.设点B
到AC的距离为h，则S△ABO＝
1
2AO·h，S△CBO
＝
1
2CO·h，∴S△ABO＝S△CBO；
(2)解：S△ABP＝S△CBP.理由如下：在▱
ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设
为h，则S△ABP＝
1
2BP·h，S△CBP＝
1
2BP·h，
∴S△ABP＝S△CBP.
方法总结：平行四边形的对角线将平行
四边形分成四个面积相等的三角形．另外，
等底等高的三角形的面积相等．
三、板书设计
1．平行四边形对角线互相平分
2．平行四边形的面积
通过分组讨论学习和自主探究，加强了
学生在教学过程中的实践活动，也使学生之
间的合作意识增强，与同学交流学习的气氛
更浓厚，从而加深了同学之间的友谊和师生
之间的教学和谐，使得教学过程更加流畅，
教学相长．
18．1.2平行四边形的判定
第1课时平行四边形的判
定(1)
1．掌握平行四边形的判定定理；(重点)
2．综合运用平行四边形的性质与判定
解决问题．(难点)
一、情境导入
我们已经知道，如果一个四边形是平行
四边形，那么它就是一个中心对称图形，具
有如下的一些性质：
1．两组对边分别平行且相等；
2．两组对角分别相等；
3．两条对角线互相平分．
那么，怎样判定一个四边形是否是平行
四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形
的原始定义：两组对边分别平行的四边形是
平行四边形加以判定．那么是否存在其他的
判定方法？
二、合作探究
探究点一：两组对边分别相等的四边形
是平行四边形
如图，在△ABC 中，分别以AB 、
AC 、BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD 、等边△ACE 、等边△BCF .试说明四边形DAEF 是平行四边形．
解析：根据题意，利用全等可证明AD ＝FE ，DF ＝AE ，从而可判断四边形DAEF 为平行四边形．
解：∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，∴∠DBF ＋∠FBA ＝∠ABC ＋∠ABF ＝60°，∴∠DBF ＝∠ABC .又∵BD ＝BA ，BF ＝BC ，∴△ABC ≌△DBF (SAS)，∴AC ＝DF ＝AE .同理可证△ABC ≌△EFC ，∴AB ＝EF ＝AD ，∴四边形DAEF 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
方法总结：利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等解决．
探究点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
如图，在四边形ABCD 中，
AB ∥DC ，∠B ＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D 的度数；
(2)求证：四边形ABCD 是平行四边形． 解析：(1)可根据三角形的内角和为180°得出∠D 的大小；(2)根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明．
(1)解：∵∠D ＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D ＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；
(2)证明：∵AB ∥DC ，∴∠2＝∠CAB ＝40°，∠DCB ＋∠B ＝180°，∴∠DAB ＝∠1＋∠CAB ＝125°，∠DCB ＝180°－∠B ＝125°，∴∠DAB ＝∠DCB .又∵∠D ＝∠B ＝55°，∴四边形ABCD 是平行四边形．
方法总结：根据两组对角分别相等判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路．
探究点三：对角线相互平分的四边形是
平行四边形
如图，AB 、CD 相交于点O ，
AC ∥DB ，AO ＝BO ，E 、F 分别是OC 、OD 的中点．求证：
(1)△AOC ≌△BOD ；
(2)四边形AFBE 是平行四边形． 解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC ≌△BOD ；(2)此题已知AO ＝BO ，要证四边形AFBE 是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE ＝OF 即可．
证明：(1)∵AC ∥BD ，∴∠C ＝∠D .在△AOC 和△BOD 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠C ＝∠D ，∠COA ＝∠DOB ，
AO ＝BO ，∴△AOC ≌△BOD (AAS)；
(2)∵△AOC ≌△BOD ，∴CO ＝DO .∵E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴OF ＝12OD ，OE ＝1
2
OC ，∴EO ＝FO .又∵AO ＝BO ，∴四边形AFBE 是平行四边形．
方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
探究点四：平行四边形的判定定理(1)的应用
【类型一】 利用平行四边形的判定定理(1)证明线段或角相等
如图，在平行四边形ABCD 中，
AC 交BD 于点O ，点E ，点F 分别是OA ，OC 的中点，请判断线段DE ，BF 的位置关系和数量关系，并说明你的结论．
解析：根据平行四边形的性质“对角线
互相平分”得出OA ＝OC ，OB ＝OD .利用中点的意义得出OE ＝OF ，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE 是平行四边形，从而得出DE ＝BF ，DE ∥BF .
解：DE ＝BF ，DE ∥BF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵E ，F 分别是OA ，OC 的中点，∴OE ＝OF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DE ＝BF ，DE ∥BF .
方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．
【类型二】 平行四边形的判定定理(1)
的综合运用
如图，已知四边形ABCD 是平行
四边形，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F .
(1)求证：△ABE ≌△CDF ；
(2)连接BF 、DE ，试判断四边形BFDE 是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．
解析：(1)根据“AAS ”可证出△ABE ≌△CDF ；(2)首先根据△ABE ≌△CDF 得出AE ＝FC ，BE ＝DF .再利用已知得出△ADE ≌△CBF ，进而得出DE ＝BF ，即可得出四边形BFDE 是平行四边形．
(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠DCA .∵BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°.在△ABE 和△CDF
中，
⎩⎪⎨⎪
⎧∠DFC ＝∠BEA ，∠FCD ＝∠EAB ，AB ＝CD ，
∴△ABE ≌△CDF (AAS)；
(2)解：四边形BFDE 是平行四边形．理由如下：∵△ABE ≌△CDF ，∴AE ＝FC ，BE ＝DF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAC ＝∠BCA .
在△ADE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AD ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ，
AE ＝FC ，∴△ADE ≌△CBF (SAS)，∴DE ＝BF ，∴四
边形BFDE 是平行四边形．
方法总结：熟练运用平行四边形的性质，可证明三角形全等，证明边相等，再利用两组对边分别相等可判定四边形是平行四边形．
三、板书设计
1．平行四边形的判定定理(1)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线相互平分的四边形是平行四边形．
2
．平行四边形的判定定理(1)的应用
在整个教学过程中，以学生看、想、议、练为主体，教师在学生仔细观察、类比、想象的基础上加以引导点拨．判定方法是学生自己探讨发现的，因此，应用也就成了学生自发的需要．在证明命题的过程中，学生自然将判定方法进行对比和筛选，或对一题进行多解，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上．。