锁相环理论讲解

锁相环的理论
锁相环作为一个系统，主要包含三个基本模块：鉴相器(Phase Detector ：PD)、低通滤波器(LowPass Filter ：LPF)，亦即环路滤波器(L00P Filter ：LF )，和压控振荡器(V oltage Controlled Oscillator ：VCO )。

这三个基本模块组成的锁相环为基本锁相环，亦即线形锁相环(LPLL)，如图2．1所示。

图2.1锁相环原理图
当锁相环开始工作时，输入参考信号的频率1f 与压控振荡器的固有振荡频率o f 总是不相同的，即1o f f f ∆=-，这一固有频率差1o f f f ∆=-必然引起它们之间的相位差不断变化，并不断跨越2π角。

由于鉴相器特性是以相位差2π为周期的，因此鉴相器输出的误差电压总是在某一范围内摆动。

这个误差电压通过环路滤波器变成控制电压加到压控振荡器上，使压控振荡器的频率o f 趋向于参考信号的频率i f ，直到压控振荡器的频率变化到与输入参考信号的频率相等，并满足一定条件，环路就在这个频率上稳定下来。

两个频率之间的相位差不随时间变化而是一个恒定的常数，这时环路就进入“锁定”状态。

当环路已处于锁定状态时，如果输入参考信号的频率和相位发生变化，通
过环路的控制作用，压控振荡器的频率和相位能不断跟踪输入参考信号频率的变化而变化，使环路重新进入锁定状态，这种动态过程称为环路的“跟踪”过程。

而环路不处于锁定和跟踪状态，这个动态过程称为“失锁”过程。

从上述分析可知，鉴相器有两个主要功能：一个是频率牵引，另一个是相位锁定。

实际中使用的锁相环系统还包括放大器、分频器、混频器等模块，但是这些附加的模块不会影响锁相环的基本工作原理，可以忽略。

2.1 锁相环的工作原理
锁相环作为一个系统，主要包含三个基本模块：鉴相器【4】、低通滤波器，亦即环路滤波器，和压控振荡器。

在本节首先分析鉴相器、环路滤波器和压控振荡器.
2.1.1 鉴相器
锁相环中的鉴相器（PD ）通常由模拟乘法器组成，利用模拟乘法器组成的鉴相器电路如图示：
()O U t ()
i U t ()
D U t
图2.2 模拟鉴相器电路 鉴相器的工作原理是：设外界输入的信号电压和压控振荡器输出的信号电压分别为：
()sin[()]i m i i u t U t ωθ=+ （2.1）
()sin[()]o om o o u t U t ωθ=+ （2.2）
式中的O ω为压控振荡器在输入控制电压为零或为直流电压时的振荡角频率，称为电路的固有振荡角频率。

则模拟乘法器的输出电压D U 为：
()()sin[()]cos[()]
D i o m om i i o o U Ku t u t KU U t t t t ωθωθ==++1sin[()]2
m om i i o o KU U t t t t ωθωθ=+++1sin{[()][]}2
m om i i o o KU U t t t t ωθωθ++-+ （2.3）
鉴相器的传输特性为：
图2.3 鉴相器的传输特性
鉴相器有两个主要功能：一个是频率牵引，另一个是相位锁定。

实际中使用的锁相环系统还包括放大器、分频器、混频器等模块，但是这些附的模块不会影响锁相环的基本工作原理，可以忽略。

鉴相器的电路种类很多，大致可以分为四种常用类型：
1.乘法鉴相器。

一般应用在模拟锁相环(LPLL )中，即线性锁相环，鉴相的范围是[+90°，-90°]；
2.异或门鉴相器。

较多应用于数字锁相环中，鉴相范围同为[+90°，-90°]中，要考虑鉴相器输入的两个信号是对称的还是非对称的，如是非对称还要考虑其对PLL 增益及锁相宽度的影响；
3.JK 触发器型鉴相器。

这种鉴相器由边沿触发，利用边沿间的间隔进行鉴相，相位误差为[+180°，-l80°]；
4.鉴频鉴相器(phase —frequency detector )。

其优势就在于失锁时，它的角频率容易描述。

这种角频率的描述就可以实现鉴频的功能。

鉴相范围为[+360°，-360°]。

2.1.2 低通滤波器
低通滤波器（LF ）的将上式2.3中的和频分量滤掉，剩下的差频分量作为压控振荡器的输入控制电压()c U t 。

即为： 1()sin{[()][]}2
m om i i o o uc t KU U t t t t ωθωθ=+-+sin{()[()()]}
dm i o i o U t t t ωωθθ=-+- （2.4） 式中的1ω为输入信号的瞬时振荡角频率，1()t θ和2()t θ分别为输入信号和输出信号的瞬时位相，根据相量的关系可得瞬时频率和瞬时位相的关系为：
()()d t t dt θω=
即
()()do t t dt θωθ=+⎰ (2.5) 则，瞬时相位差d θ为
()()()d i o i o t t t θωωθθ=-+- (2.6)
对两边求微分，可得频差的关系式为：
()[()()]d i o i o d d d t t dt dt dt θωωθθ--=+ (2.7)
上式2.7等于零，说明锁相环进入相位锁定的状态，此时输出和输入信号的频率和相位保持恒定不变的状态，()c t θ为恒定值。

当上式不等于零时，说明锁相环的相位还未锁定，输入信号和输出信号的频率不等，()c t θ随时间而变。

其数学模型为：
图2.4 环路滤波器模型
环路滤波器的分类：
1.RC 积分滤波器。

这是结构最简单的低通滤波器，它具有低通特性，且相位滞后。

当频率很高的时候，幅度趋于零，相位滞后接近于2π；
2.无源比例积分滤波器；
3.有源比例积分滤波器。

它由运算放大器组成，高增益的有源比例积分滤波
器又称为理想积分滤波器。

2.1.3 压控振荡器
压控振荡器（VCO ）【6】
的压控特性如图2.5所示：
2.5压控振荡器特性
该特性说明压控振荡器的振荡频率u ω以为中心，随输入信号电压()c U t 线性
地变化，变化的关系如下：
()()u o o c t K u t ωω=+ （2.8）
上式说明当()c U t 随时间而变时，压控振荡器（VCO ）的振荡频率u ω也随时间而变，锁相环进入“频率牵引”，自动跟踪捕捉输入信号的频率，使锁相环进入锁定的状态，并保持1o ωω=的状态不变。

2．2锁相环的工作状态
锁相环有四种工作状态，即锁定状态、失锁状态、捕获过程和跟踪过程【7】。

1.锁定状态：整个环路己经达到输入信号相位的稳定状态。

它指输出信号相位等于输入信号相位或者是两者存在一个固定的相位差，但频率相等。

在锁定状态时，压控振荡器的电压控制信号接近平缓。

2.失锁状态：环路的反馈信号与锁相环输入信号的频率之差不能为零的稳状态。

当环路的结构设计有问题，或者是输入信号超出了锁相环的应用范围的时候都会进入失锁状态。

这个状态意味着坏路没有正常工作。

3.捕获过程：指环路由失锁状态进入锁定状态的过程。

这个状态表明环路已经开始进入正常工作，但是还没有达到锁定的稳态。

此过程应该是一个频率和相位误差不断减小的过程。

4.跟踪过程：是指在PLL环路处于锁定状态时，若此时输入信号频率或相位因其它原因发生变化，环路能通过自动调节，来维持锁定状态的过程。

由于输入信号频率或者相位的变化引起的相位误差一般都不大，环路可视作线性系统。

PLL 的这四种状态中，前两个状态称为静态，后两个状态称为动态【8】。

优秀的设计可以使PLL在上电后立刻进入捕获状态，从而快速锁定。

一般用四个参数指标来描述PLL的系统频带性能：
1.同步带：它指的是环路能保持静态锁定状态的频率范围。

当环路锁定时，逐步增大输入频率，环路最终都能保持锁定的最大输入固有频差。

2.失锁带：锁相环路稳定工作时的动态极限。

也就是说PLL在稳定工作状态时，输入信号的跳变要小于这个参数，PLL才能快速锁定。

若输入信号的跳变大于该参数而小于捕获带，则环路还是能锁定，但是需要较长的时间。

3.捕获带：只要反馈信号和输入信号的频差在这一范围内，环路总会通过捕获而再次锁定，随着捕获过程的进行，反馈信号的频率向着输入信号频率方向靠近，经过一段时间后，环路进入快捕带过程，最终达到锁定。

4.快捕带：在此频差范围内，环路不需要经历周期跳跃就可达到锁定，实现捕获过程。

稳定度静态限制
2.6锁相环不同带宽捕获示意图【5】
当相关频率变化比较小时，相位误差
e 大小将与频率的变换量ω
∆成比例。

而如果频率偏移ω
∆达到某一特定值时，稍有变换PLL将失去捕获相位的能力，最终失锁。

这一特定值就称作PLL的同步带。

这个频率范围也称作PLL稳定的静态
极限范围。

在失锁时，相位误差
e
θ将无限增加下去，同步带内，信号的捕获时间也是最长的。

捕获的稳定性也较差。

频率阶跃信号作为输入信号进入PLL时(0
f=时刻频率阶跃的大小是ω
∆)，如果此阶跃信号引起PLL的失锁，那么就称这个频率阶跃值为锁出频率值，这个范围叫做锁相环出锁频率。

这个阶跃信号频差值小于PLL的同步带。

在这里，同步带可以看作是频率缓慢变化到此范围使锁相环失锁的极值；而出锁频率是突然变化到此阶跃值而引起PLL失锁。

而且出锁范围也可以理解为PLL稳定的动态范围，在频率阶跃信号的跳变不超过出锁范围时PLL是满足稳定条件的。

如果有一频差值使得平均相位误差的斜率变小，且VCO输出的频率值会越来越接近输入信号的频率，最终环路系统将重新锁定，这一关键值称作入锁频率。

假如输入信号频率与输出信号频率的偏移量ω
∆低于捕获带，则PLL将要锁
定。

这个过程称作快捕过程，它快于入锁过程，而这个捕获范围也小于入锁范围。

PLL 捕获的过程包含频率捕获与相位捕获两个过程，通常频率捕获过程所需要的时间称为频率捕获时间(或频率牵引时间)；相位捕获过程所需要的时间称为快捕时间(或相位捕获时间)。

一般频率捕获时间总是大于相位捕获时间的，所以常说的捕获时间就是指频率捕获时间，不考虑相位捕获时间的影响。

2．3锁相环的非线性工作性能分析
当锁相环的相位误差大于6π时，正弦鉴相器将不再能够线性化，环路成为非线性系统，其非线性性能表现为以下三种情况：已处于锁定状态的锁相环,当输入信号频率或压控振荡器自由振荡频率变化过大或变化速度过快时，使环路相位误差增大到鉴相器的非线性区，这种非线性环路的性能为非线性跟踪性能【9】；从接通到锁定的捕获过程中，相位误差的变化范围是很大的，环路处于非线性状 态；失锁状态时环路的频率牵引现象。

2．3．1跟踪性能
环路非线性跟踪性能指标包括稳态相位误差见()e θ∞、同步带H ω∆和最大同步扫描速H R ，在这里从环路动态方程对其进行分析。

输入固定频率信号的条件下，锁相环路的动态方程可变为：
)(sin )()(0t p KF t p e e θωθ-∆= （2.9）
环路锁定时瞬时相差()e P t θ等于零，且鉴相器输出误差信号和压控振荡器控制信号均为直流，由此可得环路的稳态相位误差为：
)0(arcsin )(0
J KF e ωθ∆=∞ （2.10）
上式2.10中()o F j 为环路滤波器的直流增益。

理想二阶环的()o F j =∞，其稳态相位误差为：()e θ∞=∞对于已经锁定的环路，缓慢增加其固有频率，环路如果
还能保持锁定，则()e θ∞有解。

使上式有解的环路固有频差的最大值就是环路的同步带，即：
)0(j KF H =∆ω （2.11）
则可得理想二阶环路的同步带：
∞=∆H ω （2.12）
上式2.12成立的前提是环路滤波器和压控振荡器都有无限大的线性工作范围，这是不符合实际的。

理想二阶环的同步带是有限的，它往往受限于压控振荡器的最大控制范围。

理想二阶环可以跟踪频率斜升信号，其稳态相位误差为2n R ω。

加
大频率斜升信号的斜率R ，就可能使环路进入非线性跟踪状态。

进一步加大R ，环路就可能失锁。

使环路不致失锁的尺的最大值就是最大同步扫描速率。

在输入频率斜升信号的条件下有：
Rt Rt p t P ==)2()(2
1θ （2.13）
把理想二阶坏的传输算子()F P 代入上式2.13可得锁定时坏路的相位误差为：
2arcsin n e R
ωθ= (2.14)
当2n R ω>上式无解，意味着环路失锁，因此理想二阶环的最大同步扫描速率为：
2H n R ω= （2.15）
2．3．2捕获性能
实际工作过程中，锁相环初始状态往往是失锁状态。

环路经由失锁进入锁定状态，需要经历一个捕获过程。

捕获过程分为频率捕获和相位捕获两个过程。

在相位捕获中环路相位误差不会发生2π周期跳跃，捕获时间比较短，因此相位捕获也叫做快捕。

与相位捕获相比，频率捕获时间较长，它构成了捕获时间的主要部分。

一般而言，捕获过程中环的瞬时相差将在大范围内变化，使捕获过程表现
为一种非线性现象。

要想获得环路捕获性能的全部结果，需要求解环路非线性动态方程，二阶环路的动态方程是二阶非线性微分方程，在数学上是无法精确求解的，只能用近似求解的方法求解。

理想二阶环的方程为：
)(sin 1)]([sin )()(11121222t K t dt d K dt t d dt t d e e e θτθττθθ--= （2.16）
设环路输入信号频率固定，则
01(t)/d d ωθ∆=t
0(t)/d d 212=t θ （2.17） 代入并简化，可得理想二阶环轨迹方程：
])([)](sin[)](cos[])([
)]([1212dt t d t t dt t d t d d K e e e e e θτθθθθττ--= （2.18）
由上式可得到理想二阶环的捕获特性，如下表
2.6理想二阶环的捕获特性
实际情况中环路的捕获带不会为无穷大【10】，它受到压控振荡器最大频率范围的限制。

2．3．3失锁状态
锁相环失锁时，具有频率牵引现象。

当环路失锁时，环路中误差电压为上下不对称的周期性差拍信号，此差拍电压的直流分量使压控振荡器的平均频率向输入信号频率靠近，从而使环路输出信号的平均频差小于环路固有频差。

2．4锁相环的稳定性
锁相环是一个负反馈系统，要工作正常，首先必须稳定，不稳定就不能实现相位的自动调节。

通常的系统稳定性，是指系统在有限输入的作用下输出有限响应。

对于线形系统而言，其稳定性与输入信号的大小无关，只取决于系统传递函数极点的位置。

线形系统稳定的必要和充分条件，是系统闭环传递函数的所有点都具有负实部，或者说都位于s 平面的左半部。

锁相环路本质是一个非线性系统，它的稳定性是一个非线性问题。

非线性系统的稳定性取决于系统本身和输入。

因此，通常把非线性系统的稳定性分为强干扰作用下和弱干扰作用下的稳定性问题，或者叫大稳定性和小稳定性问题。

对于锁相环来说，前者相当于环路失锁而处于捕获状态，后者相当于同步状态。

对于大稳定性问题，主要研究环路的捕捉问题。

同步状态是环路的线形工作状态，所以小稳定性问题实际上是一个线形系统的稳定性问题。

判断系统稳定性的方法，通常叫巴克豪森准则【11】。

对于一个反馈系统，如果其环路增益超过1，同时环路相移超过π，即同时满足起振的振幅条件和位条件,那么此反馈系统是不稳定的，巴克豪森准则判断系统稳定性的条件是：
⎩⎨⎧<=0)(lg 20)(00ωπωj H j ArgH
或
⎩⎨⎧=<0)(lg 20)(00T T j H j ArgH ωπω （2.19）
公式2.19中T ω是增益临界频率，为开环增益达到0dB 时的频率。

K ω相位临界频率，为开环相移达到万时的频率。

对于闭环不稳定的环路必有对于闭环稳定的环路，必有ωT >ωK ；闭环临界的情况为T K ωω=。

在工程中，闭环临界的稳定情况实际是不稳定的，因为实际电路中总有引起各种参数变化的因素，产生附加相移，这些都会使一个临界稳定的坏路不稳定。

所以，实际使用的环路不但是稳定的而且要远离临界条件。

这就是“相位裕度”的问题，定义为丌环增益降至OdB 时开环相移量与π的差值，此概
念可以说明环路稳定的程度。

在实际的锁相环电路中，不可避免地存在一些寄生相移，它们引入了额外的高频极点，不利于环路的稳定性。

环路相位裕度的理论值太小，考虑到寄生相移的影响，则实际相位裕度可能更小，会使环路不稳定。

2．5信号流程图
锁相环的原理框图如下：
2.7锁相环原理框图
其工作过程如下：
1压控振荡器的输出Uo经过采集并分频；
2.输出和基准信号同时输入鉴相器；
3.鉴相器通过比较上述两个信号的频率差，然后输出一个直流脉冲电压U d；
4.U d进入到滤波器里面，滤除高频成分后得到信息U e；
5.U e进入到压控震荡器VCO里面，控制频率随输入电压线性地变化；
6.这样经过一个很短的时间，VCO的输出就会稳定于某一期望值。

2.6锁相环的优良特性
锁相环广泛应用于无线领域，是其自身具有较好的特性：
1.载波跟踪特性。

无论输入锁相环的信号是已调制好的或未调制的，只要信号中包有载波频率成分就可将环路设计成一个窄带跟踪滤波器，跟踪输入信号载波成分的频率与相位变化，环路输出信号就是需要提取（或复制）的载波信号。

这就是环路的载波跟踪特性。

载波跟踪特性包含这三重含义:一是窄带。

环路可以有效地滤除输入信号伴
随的噪声和干扰。

环路主要是利用环路滤波器的低通特性来实现输入信号的载频上的窄带带通特性的，这比制作普通的窄带带通滤波器容易得多。

在高载频上，用锁相环路可将通带做到几赫兹那么窄，这是普通带通滤波器难以实现的。

二是跟踪。

环路可以在保持窄带特性的情况下跟踪输入载波频率的漂移。

普通带通滤波器的频率特性是固定的，为了能接收载频漂移的输入信号，滤波器的通带带宽必须设计漂移范围，因而无法利用窄带特性来过滤噪声与干扰。

三是可将弱输入载波信号放大到强信号输出。

因为环路输出的是压控振荡器的信号，它是输入弱载波信号频率与相位的真实复制品，其幅度则比输入信号强的多。

2.调制跟踪特性。

只要让环路有适当宽度的低频通带，压控振荡器输出信号的频率与相位就能跟踪输入调频或调相信号的频率与相位的变化，即得到输入角调制信号的复制品，这就是调制跟踪特性。

利用环路的调制跟踪特性，可以制成角调制信号的调制器与解调器。

3.低门限特性。

锁相环路不像一般非线性器件那样，门限取决于输入信噪比，而是由环路信噪比决定的。

一般环路的通频带总比环路输入端的前置通频带窄的多，因而环路信噪比明显高于输入信噪比，环路能在低输入信噪比条件下工作，即具有低门限的优良特性。

这样，只要将环路设计成窄带，就可把淹没在噪声中的微弱信号提取出来。

这样的环路用于解调调频、调相信号时，可取得门限扩展的效果；用于解调数字调制信号时，可使误码率降低。

2.7锁相环的应用
2.7.1．锁相环在调制和解调中的应用
调频波的特点是频率随调制信号幅度的变化而变化。

压控振荡器的振荡频率取决于输入电压的幅度。

当载波信号的频率与锁相环的固有振荡频率O ω相等时，压控振荡器输出信号的频率将保持O ω不变。

若压控振荡器的输入信号除了有锁相环低通滤波器输出的信号c U 外，还有调制信号i U ，则压控振荡器输出信号的频率就是以O ω为中心，随调制信号幅度的变化而变化的调频波信号。

由此可得调频电路可利用锁相环来组成，由锁相环组成的调频电路组成框图下图所示。

调制信号
2.8锁相环组成的调频电路
根据锁相环的工作原理和调频波的特点可得解调电路组成框图如图2.8所示。

2.7.2．锁相环在频率合成电路中的应用
在现代电子技术中，为了得到高精度的振荡频率，通常采用石英晶体振荡器。

但石英晶体振荡器的频率不容易改变，利用锁相环、倍频、分频等频率合成技术，可以获得多频率、高稳定的振荡信号输出。

输出信号频率比晶振信号频率大的称为锁相倍频器电路；输出信号频率比晶振信号频率小的称为锁相分频器电路。

锁相倍频和锁相分频电路的组成框图下图所示。

2.8锁相倍频和锁相分频电路
图中的N大于1时，为分频电路；当01
<<时，为倍频电路。

N
2.8本章小结
本章对锁相环系统的基本原理及组成部件进行了概括介绍，对锁相环系统的捕获、跟踪性能，动态特性以及锁相环的自身特性等一些基本性能、概念给出了相关说明，指出锁相环路所以能够得到如此广泛的应用，是由其独特的优良性能所决定的。

它具有载波跟踪特性，作为一个窄带跟踪滤波器，提取淹没在噪声之中的信号，在深空测控中有着广泛的应用。