湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二寒假作业检测数学试卷

EF 1 ，则下列结论中正确的是（ ） 2
试卷第 2 页，共 5 页
A． AC BE B． EF // 平面 ABCD C．△ AEF 的面积与△BEF 的面积相等 D．三棱锥 E ABF 的体积为定值
三、填空题
13．数列
an
中，若 a1
1， an1
n
n
2
an
，则
19
ak
k 1
.
14．在
试卷第 4 页，共 5 页
(1)求 C 的方程；
(2)如图．过双曲线左支内一点T t, 0 作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点 A，
B 和点 C，D．当直线 AB，CD 均不平行于坐标轴时，直线 AC，BD 分别与直线 x t 相 交于 P．Q 两点，证明：P，Q 两点关于 x 轴对称．
22．已知函数 f x alnx 2 x . （1）当 a 1时，求 f x 的最大值；
击，射击测试过关，得 4 分；若未击中靶标，射击测试未能过关，得 2 分.现有一个班
组的 12 位大学生进行射击过关测试，假设每位大学生两次射击击中靶标的概率分别为
m ，0.5，每位大学生射击测试过关的概率为 p .
(1)设该班组中恰有 9 人通过射击过关测试的概率为 f ( p) ，求 f ( p) 取最大值时 p 和 m 的
④
P(
A∣1 B)
4 9
A．4
B．3
C．2
D．1
二、多选题
9．关于 x ，
y
的方程 x2 m2 2
y2 4 m2
1(其中 m2
4 )表示的曲线可能是（
）
A．焦点在 y 轴上的双曲线
B．圆心为坐标原点的圆
C．焦点在 x 轴上的双曲线
D．长轴长为 2 6 的椭圆
10．早在西元前 6 世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，
毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何
中项的定义与今天大致相同，而今我们称 a b 为正数 a，b 的算术平均数， 2
ab 为正数
a，b 的几何平均数，并把这两者结合的不等式 ab a b a 0,b 0 叫做基本不等式，
2
下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
湖南省长沙市长郡中学 2023-2024 学年高二寒假作业检测数 学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列an 为等比数列，则“ a5 ， a7 是方程 x2 2022x 1 0 的两实根”是” a6 1，
11．（多选） a,b,c 分别为VABC 内角 A, B,C 的对边，已知 bsin A (3b c)sin B ，且
cos A 1 ，则（ ） 3
A． a c 3b
B． tan A 2 2
C． VABC 的周长为 4c
D． VABC 的面积为 2 2 c2 9
12．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1， E 、 F 是线段 B1D1 上的两个动点，且
上，且关于 x 轴对称，来自若直线 AP ， AQ 的斜率之积为 4 ，则 C 的离心率为（ ） 3
A． 3 2
B． 2 2
C． 1 2
D． 1 3
7．在平面内，定点
A，B，C，D
满足
uuur DA
=
uuur DB
=
uuur DC
uuur , DA
uuur DB =
uuur DB
uuur DC
uuur = DC
(1
x)
x2
2 x
6
的展开式中，x
的系数是（用数字作答）.
15．已知函数 f x x2 ln x ax 存在减区间，则实数 a 的取值范围为.
16．给图中 A，B，C，D，E，F 六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻 的区域不同色．若有 5 种颜色可供选择，则共有种不同的染色方案．
B．48
C．50
D．57
5．若函数
f
x
sin
x
6
（
0
）在
4
,
4
有最大值无最小值，则
的取值范围
是（ ）
A．
4 3
,
8 3
B．
4 3
,
8 3
C．
4 3
,
16 3
D．
4 3
,
16 3
6．椭圆 C
： y2 a2
x2 b2
1 a
b
0 的上顶点为 A ，点 P ，Q 均在 C
(2)在棱 SA 上是否存在点 M ，使得平面 PMB 与平面 SAD 所成锐二面角的余弦值为 2 3 ？
5 若存在，指出点 M 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
21．已知双曲线C :
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b
0 的左，右焦点分别为 F1
6,0
，F2
6, 0 ．且
该双曲线过点 P 2 2, 2 ．
值；
(2)在（1）的结果下，求该班组通过射击过关测试所得总分的平均数.
20．如图，在四棱锥 S ABCD 中，四边形 ABCD 是矩形，VSAD 是正三角形，且平面 SAD
平面 ABCD ， AB 1， P 为棱 AD 的中点，四棱锥 S ABCD 的体积为 2 3 ． 3
(1)若 E 为棱 SB 的中点，求证： PE / / 平面 SCD ；
（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1 ，A2 和
A3 表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B
表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（ ）
①事件 A1 与 A2 相互独立
②
P(B∣A2
)
4 11
③ P(B) 9 22
（2）设点 A x1, f x1 和 B x2, f x2 是曲线 y f x 上不同的两点，且 f x1 f x2 ，
若 ak x1 x2 恒成立，求实数 k 的取值范围.
试卷第 5 页，共 5 页
或 a6 1”的（ ） A．充分不必要条件
B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．某中学高三（1）班有 50 名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩
X N(110,100) ，则估计该班数学得分大于 120 分的学生人数为（ ）（参考数据：
P( X ) 0.68, P( X 2 ) 0.95 ）
试卷第 3 页，共 5 页
(2)证明数列
an n
是等差数列，并求
an
的通项公式．
19．某高校的大一学生在军训结束前，需要进行各项过关测试，其中射击过关测试规定：
每位测试的大学生最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，射击测
试过关，得 5 分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射
uuur DA
=–2，
动点
P，M
满足
uuur AP
=1，
uuuur PM
=
uuuur MC
，则
uuuur BM
2 的最大值是
A． 43 4
B． 49
4
C． 37 6 3 4
D． 37 2 33 4
8．甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球
试卷第 1 页，共 5 页
A．若 a 0 ， b 0 ， 2a b 1，则 1 1 4 2a b
B．若 a 0 ， b 0 ， 1 1 1 ，则 a+b 的最小值为 1 a 3b 3a b
C．若 a 0 ， b 0 ， b2 2ab 1 0 ，则 a+2b 的最小值为 3+1 2
D． a 0 ， b 0 ， a b 4 ，则 a2 b2 的最小值为 2 a2 b2
四、解答题
17．已知直线 l： ax 2 a y 1 0 ．
（1）若直线 l 在 x 轴上截距和在 y 轴上截距相等，求 a 的值；
（2）若直线
l
与圆
x
1 2
2
y
1 2
2
1 5
相切，求
a
的值．
18．已知数列an 满足 a1＝1，且 nan＋1-(n+1)an =2n2 +2n .
(1)求 a2, a3 ；
A．16
B．10
C．8
D．2
3．若
2 cos2
π 3
1
cos
2
，则
tan 2
的值为（
）
A． 3 3
B． 3 3
C． 3
D． 3
4．按从小到大顺序排列的 9 个数据：10，16，25，33，39，43，m，65，70，若这组
数据的第一四分位数与第三四分位数的和是 73，则 m 等于（ ）
A．40