2019-2020学年上海市闵行中学高一(上)期中数学试卷

2019-2020学年上海市闵行中学高一（上）期中数学试卷
试题数：21.满分：0
1.（填空题.3分）已知集合A={-1.0.1.2}.B={1.
2.
3.4}.则A∩B=___ ．
2.（填空题.3分）已知集合M={1.m+1.m 2+4}.如果5∈M 且-2∉M .那么m=___ ．
3.（填空题.3分）已知 f (x )={2x −1(x ＜1)f (x −1)(x ≥1)
.则f （3）=___ ． 4.（填空题.3分）若关于x 的不等式 x−b x−a ＜0 的解集是（2.3）.则a+b=___ ．
5.（填空题.3分）函数y= √1−x + √x +3 的定义域是___ ．
6.（填空题.3分）“a=2”是“集合{（x.y ）|y=x+a}∩{（x.y ）|y=a|x|}的子集恰有4个”的___ 条件（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要之一）
7.（填空题.3分）如果2属于关于x 的不等式x 2-（2k+1）x+k （k+1）＜0的解集.则实数k 的取值范围是___
8.（填空题.3分）任意两个正整数x 、y.定义某种运算⊗： x ⊗y ={x +y (x 与y 奇偶相同)x ×y
(x 与y 奇偶不同) .则集合M={（x.y ）|x⊗y=6.x.y∈N *}中元素的个数是___ ．
9.（填空题.3分）已知直角三角形的面积为2.则它的周长的最小值为___ ．
10.（填空题.3分）若函数f （x ）= √ax 2+ax+1 的定义域为R.则实数a 的取值范围是___ ．
11.（填空题.3分）若关于x 的不等式|x-2|≥|x+1|+a 的解集不是∅.则实数a 的最大值是___ ．
12.（填空题.3分）已知有限集A={a 1.a 2.….a n }（n≥2.n∈N ）.如果A 中元素a i （i=1.2.….n ）满足a 1+a 2+…+a n =a 1×a 2×…×a n .就称A 为“完美集”．
① 集合 {−1，−√3，−1+√3} 是“完美集”；
② 若a 1、a 2是两个不同的正数.且{a 1.a 2}是“完美集”.则a 1、a 2至少有一个大于2； ③ 二元“完美集”有无穷多个；
④ 若 a 1∈N ∗ .则“完美集”A 有且只有一个.且n=3；
其中正确的结论是___ （填上你认为正确的所有结论的序号）．
13.（单选题.3分）“ {x ＞1y ＞2019 ”是“ {x +y ＞2020xy ＞2019
”的（ ）条件 A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
14.（单选题.3分）下列四个图象中.是函数图象的是（）
A.（1）
B.（1）（3）（4）
C.（1）（2）（3）
D.（3）（4）
15.（单选题.3分）下列结论正确的是（）
A.命题“若a＜b.则a+c＜b+c”为假命题
B.命题“若x∈A∪B.则x∈B”的否命题为假命题
C.命题“若mn＜0.则方程mx2-x+n=0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若0＜x＜5.则|x-2|＜3”的逆否命题为真命题
16.（单选题.3分）设a、b是正实数.且a+2b=2.则a2
a+1+4b2
2b+1
的最小值是（）
A.4
B. 1
4
C. 1
2
D.1
17.（问答题.0分）设实数集为R.集合A={x|1＜x＜4}.B={x|x2-7x+10＜0}.C={x|-3＜x-a＜3}．（1）求（∁R B）∩A；
（2）若A∪C=C.求实数a的取值范围．
18.（问答题.0分）设函数f（x）=x2-2x+a+1．
（1）若函数y=f（x）的图象与x轴无公共点.求实数a的取值范围；
（2）若方程f（x）=0有两个不相等的正根.求实数a的取值范围．
19.（问答题.0分）阅读下面材料：在计算2+5+8+11+14+17+20+23+26+29时.我们发现.从第一个数开始.后面每个数与它的前面个数的差都是一个相等的常数.具有这种规律的一列数.
（其中：n表示数的除了直接相加外.我们还可以用下面的公式来计算它们的和S. S=n(a1+a n)
2
个数.a1表示第一个数.a n表示最后一个数））.那么2+5+8+11+14+17+20 +23+26+29=
10(2+29)
=155 .利用或不利用上面的知识解答下面的问题：某集团总公司决定将下属的一个分2
公司对外招商承包.有符合条件的两家企业A、B分别拟定上缴利润方案如下：
A：每年结算一次上缴利润.第一年上缴利润100万元.以后每年比前一年增加100万元；B：每半年结算一次上缴利润.第一个半年上缴利润30万元.以后每半年比前半年增加30万元；（1）如果承包4年.你认为应该承包给哪家企业.总公司获利多？
（2）如果承包n（n∈N*）年.请用含n的代数式分别表示两家企业上缴利润的总金额.请问总公司应该如何在承包企业A、B中选择？
．
20.（问答题.0分）已知函数f(x)=x2+2
x
（1）求f（1）.f（2）的值；
（2）设a＞b＞1.试比较f（a）、f（b）的大小.并说明理由；
+m对一切x∈[1.6]恒成立.求实数m的最大值．（3）若不等式f(x−1)≥2(x−1)+2
x−1
21.（问答题.0分）已知集合A={x|x=m+n√3 .且m2-3n2=1.m.n∈Z}．
是偶数；
（1）证明：若x∈A.则x+1
x
（2）设a∈A.且1＜a＜4.求实数a的值；
∈A；并求满足2+√3＜c≤(2+√3)2的c的值．
（3）设c∈A.求证：
2+√3
2019-2020学年上海市闵行中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：21.满分：0
1.（填空题.3分）已知集合A={-1.0.1.2}.B={1.
2.
3.4}.则A∩B=___ ．
【正确答案】：[1]{1.2}
【解析】：进行交集的运算即可．
【解答】：解：∵A={-1.0.1.2}.B={1.2.3.4}.
∴A∩B={1.2}．
故答案为：{1.2}．
【点评】：本题考查了列举法的定义.交集的定义及运算.考查了计算能力.属于基础题．2.（填空题.3分）已知集合M={1.m+1.m2+4}.如果5∈M且-2∉M.那么m=___ ．
【正确答案】：[1]4或1或-1
【解析】：利用5∈M且-2∉M.对集合M的元素分情况讨论.检验即可求出m的值．
【解答】：解：① 当m+1=5时.m=4.
此时集合M={1.5.20}.符合题意.
② 当m2+4=5时.m=1或-1.
若m=1.集合M={1.2.5}.符合题意.
若m=-1.集合M={1.0.5}.符合题意.
综上所求.m的值为4或1或-1.
故答案为：4或1或-1．
【点评】：本题主要考查了元素与集合关系的判断.是基础题．
3.（填空题.3分）已知f(x)={2x−1(x＜1)
f(x−1)(x≥1)
.则f（3）=___ ．
【正确答案】：[1]-1
【解析】：根据分段函数的解析式直接代入即可求解．
【解答】：解：由题意可得.f （3）=f （2）=f （1）=f （0）=-1．
故答案为：-1．
【点评】：本题主要考查了分段函数的函数值的求解.属于基础试题．
4.（填空题.3分）若关于x 的不等式 x−b x−a ＜0 的解集是（2.3）.则a+b=___ ．
【正确答案】：[1]5
【解析】：结合分式与二次不等式地方转化及不等式解集的端点与方程解的关系可求．
【解答】：解：由题意可得. x−b x−a ＜0 可转化为（x-a ）（x-b ）＜0.
由解集是（2.3）可得a=2.b=3或a=3.b=2.
所以a+b=5．
故答案为：5．
【点评】：本题主要考查了分式不等式的求解与二次不等式相互转化关系的应用.属于基础试题．
5.（填空题.3分）函数y= √1−x + √x +3 的定义域是___ ．
【正确答案】：[1][-3.1]
【解析】：由根式函数中被开方数大于等于0可得 {1−x ≥0x +3≥0
.该不等式组的解集即为所求定义域．
【解答】：解：要使函数有意义.则自变量x 应满足 {1−x ≥0x +3≥0
.解得-3≤x≤1.即函数的定义域为[-3.1]．
故答案为：[-3.1]．
【点评】：本题考查函数定义域的求法以及不等式的求解.属于基础题．
6.（填空题.3分）“a=2”是“集合{（x.y ）|y=x+a}∩{（x.y ）|y=a|x|}的子集恰有4个”的___ 条件（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要之一）
【正确答案】：[1]充分不必要
【解析】：先化简命题.由子集个数可知.交点个数.可求解.然后判断充要性．
【解答】：解：∵集合{（x.y ）|y=x+a}∩{（x.y ）|y=a|x|}的子集恰有4个.
∴y=x+a 与y=a|x|的交点有两个.
解之得a ＜-1或者a ＞1.
∴“a=2”是“集合{（x.y ）|y=x+a}∩{（x.y ）|y=a|x|}的子集恰有4个”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要
【点评】：本题考查集合关系.以及简易逻辑.属于中档题．
7.（填空题.3分）如果2属于关于x 的不等式x 2-（2k+1）x+k （k+1）＜0的解集.则实数k 的取值范围是___
【正确答案】：[1]（1.2）
【解析】：先求出不等式的解集为（k.k+1）.再根据2属于解集.由此建立关于k 的不等式组.解出即可．
【解答】：解：不等式x 2-（2k+1）x+k （k+1）＜0即为（x-k ）[x-（k+1）]＜0.解得k ＜x ＜k+1.
又2∈（k.k+1）.
∴ {k ＜2k +1＞2
.解得1＜k ＜2． 故答案为：（1.2）．
【点评】：本题主要考查含参不等式的解法.考查计算求解能力.属于基础题．
8.（填空题.3分）任意两个正整数x 、y.定义某种运算⊗： x ⊗y ={x +y (x 与y 奇偶相同)x ×y
(x 与y 奇偶不同)
.则集合M={（x.y ）|x⊗y=6.x.y∈N *}中元素的个数是___ ．
【正确答案】：[1]9
【解析】：根据新定义.对x.y 的奇偶性分三种情况讨论.分别求出符合题意的点即可．
【解答】：解： ① 当x 与y 都为奇数时.有1+5=6.3+3=6.
据此可得出（1.5）.（5.1）.（3.3）.3个点符合题意.
② 当x 与y 都为偶数时.有2+4=6.
据此可得出（2.4）.（4.2）.2个点符合题意.
③ 当x 与y 一奇一偶时.1×6=6.2×3=6.
据此可得出（1.6）.（6.1）.（2.3）.（3.2）.4个点符合题意.
所以共有9个点符合题意.
故答案为：9．
【点评】：本题主要考查了新定义的运算.做题时注意分情况讨论.属于基础题．
9.（填空题.3分）已知直角三角形的面积为2.则它的周长的最小值为___ ．
【正确答案】：[1]4+2 √2
【解析】：设两直角边为a、b.则ab=4．即有三角形的周长c= √a2+b2 +（a+b）由基本不等式即可得到最小值．
【解答】：解：设两直角边为a、b.则ab=4．
即有三角形的周长c= √a2+b2 +（a+b）
≥ √2ab +2 √ab .
= √8 +2 √4 =4+2 √2 .当且仅当a=b时取等号.
即为等腰直角三角形时取得最小值4+2 √2．
故答案为：4+2 √2．
【点评】：本题考查基本不等式的运用：求最值.考查运算能力.属于中档题．
10.（填空题.3分）若函数f（x）=
√ax2+ax+1
的定义域为R.则实数a的取值范围是___ ．
【正确答案】：[1]0≤a＜4
【解析】：把函数f（x）=
√ax2+ax+1
R.转化为ax2+ax+1＞0对任意实数x恒成立．然后分a=0和a≠0分类求解得答案．
【解答】：解：∵函数f（x）=
√ax2+ax+1
R.
∴ax2+ax+1＞0对任意实数x恒成立．
若a=0.不等式成立；
若a≠0.则{a＞0
a2−4a＜0
.解得0＜a＜4．
综上：0≤a＜4．
故答案为：0≤a＜4．
【点评】：本题考查函数的定义域及其求法.考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法.是中档题．
11.（填空题.3分）若关于x的不等式|x-2|≥|x+1|+a的解集不是∅.则实数a的最大值是___ ．
【正确答案】：[1]3
【解析】：构造函数f（x）=|x-2|-|x+1|.需对x通过分类讨论去掉绝对值符号.然后求得a的取值范围.再得到a的最大值．
【解答】：解：当x＞2时.a≤f（x）=|x-2|-|x+1|=x-2-x-1=-3；
同理.当-1≤x≤2时.a≤1；当x＜-1时.a≤3．
∵关于x的不等式|x-2|-|x+1|≥a解集不是∅.
∴实数a取值范围是（-∞.3].∴a的最大值为3．
故答案为：（-∞.3]．
【点评】：本题考查了绝对值不等式解不存在的问题.考查了函数思想与分类讨论思想.属中档题．
12.（填空题.3分）已知有限集A={a1.a2.….a n}（n≥2.n∈N）.如果A中元素a i（i=1.2.….n）满足a1+a2+…+a n=a1×a2×…×a n.就称A为“完美集”．
① 集合{−1，−√3，−1+√3}是“完美集”；
② 若a1、a2是两个不同的正数.且{a1.a2}是“完美集”.则a1、a2至少有一个大于2；
③ 二元“完美集”有无穷多个；
④ 若a1∈N∗ .则“完美集”A有且只有一个.且n=3；
其中正确的结论是___ （填上你认为正确的所有结论的序号）．
【正确答案】：[1] ② ③ ④
【解析】：直接利用信息的应用进一步对① ② ③ ④ 进行推理.验证最后确定结果．
【解答】：解：对于有限集A={a1.a2.….a n}（n≥2.n∈N）.如果A中元素a i（i=1.2.….n）满足
a1+a2+…+a n=a1×a2×…×a n.就称A为“完美集”．
故对于① 集合{−1，−√3，−1+√3}是“完美集”；由于−1−√3−1+√3=−2≠
(−1)×(−√3)×(−1+√3) .故错误．
对于② 若a1、a2是两个不同的正数.且{a1.a2}是“完美集”.则设a1+a2=a1•a2=t.根据根和系数的关系a1和a2相当于x2-tx+t=0的两根.
所以△=t2-4t＞0.解得t＞4或t＜0.由于t为整数.所以a1、a2至少有一个大于2；故正确．
③ 二元“完美集”有无穷多个；根据② 一元二次方程根和系数的关系a1和a2相当于x2-
tx+t=0的两根.所以△=t2-4t＞0.解得t＞4或t＜0.由于t为整数.所以有无穷多个.故正确．
④ 若a1∈N∗ .则“完美集”A有且只有一个.且n=3；
设a1＜a2＜a3＜…＜a n.
则满足a 1+a 2+…+a n =a 1×a 2×…×a n .
故a 1a 2a 3…a n ＜na n .
整理得a 1a 2a 3…a n-1＜n.
当n=3时.a 1a 2＜3.
由于 a 1∈N ∗ .所以a 1=1.a 2=2.
由于a 1+a 2+a 3=a 1a 2a 3.解得：a 3=3．
所以此时的完美集只有一个{1.2.3}.故正确．
故答案为： ② ③ ④ ．
【点评】：本题考查的知识要点：信息题型的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于中档题型．
13.（单选题.3分）“ {x ＞1y ＞2019 ”是“ {x +y ＞2020xy ＞2019
”的（ ）条件 A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
【正确答案】：A
【解析】：则根据同向不等式的可加性.x+y ＞2020.根据同向不等式的可乘性.xy ＞2019.故前者能推出后者.反之不成立.得出结论．
【解答】：解： {x ＞1y ＞2019
. 则根据同向不等式的可加性.x+y ＞2020.
根据同向不等式的可乘性.xy ＞2019.
故前者能推出后者.
反之.不成立.比如x=0.1.y=30000.
x+y ＞2020.xy ＞2019.但推不出前者.
故前者是后者的充分不必要条件.
故选：A ．
【点评】：本题考查四个条件的判断.考查不等式的性质.基础题．
14.（单选题.3分）下列四个图象中.是函数图象的是（）
A.（1）
B.（1）（3）（4）
C.（1）（2）（3）
D.（3）（4）
【正确答案】：B
【解析】：根据函数值的定义.在y是x的函数中.x确定一个值.Y就随之确定唯一一个值.体现在函数的图象上的特征是.图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点.从而对照选项即可得出答案．
【解答】：解：根据函数的定义知：
在y是x的函数中.x确定一个值.Y就随之确定一个值.
体现在图象上.图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点.
对照选项.可知只有（2）不符合此条件．
故选：B．
【点评】：本题主要考查了函数的图象及函数的概念．函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系．精确地说.设X是一个非空集合.Y是非空数集.f是个对应法则.若对X中的每个x.按对应法则f.使Y中存在唯一的一个元素y与之对应.就称对应法则f是X上的一个函数.记作y=f（x）.因变量（函数）.随着自变量的变化而变化.且自变量取唯一值时.因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应．
15.（单选题.3分）下列结论正确的是（）
A.命题“若a＜b.则a+c＜b+c”为假命题
B.命题“若x∈A∪B.则x∈B”的否命题为假命题
C.命题“若mn＜0.则方程mx2-x+n=0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若0＜x＜5.则|x-2|＜3”的逆否命题为真命题
【正确答案】：D
【解析】：利用不等式的基本性质判断A.元素与结合的关系判断B.根与系数的关系判断C.四种命题的逆否关系判断D．
【解答】：解：命题“若a＜b.则a+c＜b+c”为假命题.A不正确；
命题“若x∈A∪B.则x∈B”的否命题为：x∉A∪B则x∉B且x∉A.是假命题；所以B不正确；
命题“若mn＜0.则方程mx2-x+n=0有实根”的逆命题为：方程mx2-x+n=0有实根”则1-
4mn≥0即mn≤ 1
4
.逆命题是假命题.所以C不正确；
命题“若0＜x＜5.则|x-2|＜3”是真命题.所以它的逆否命题为真命题.所以D正确；
故选：D．
【点评】：本题考查命题的真假的判断与应用.是基本知识的考查.中档题．
16.（单选题.3分）设a、b是正实数.且a+2b=2.则a2
a+1+4b2
2b+1
的最小值是（）
A.4
B. 1
4
C. 1
2
D.1
【正确答案】：D
【解析】：令a+1=s.2b+1=t.则a=s-1.2b=t-1；可得s+t=4；把所求转化为关于s.t的不等式.再利用乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】：解：令a+1=s.2b+1=t.则a=s-1.2b=t-1；
由题意得s.t为正实数.且s-1+t-1=2⇒s+t=4；
∴ a2 a+1+4b2
2b+1
= (s−1)2
s + (t−1)2
t
=s+t-4+ 1
s + 1
t
= 1
s + 1
t
= 1
4（1
s
+ 1
t
）（s+t）
= 1
4（2+ t
s
+ s
t
）
≥ 1
4（2+2 √t
s
•s
t
）
=1．
．
当且仅当s=t=2即a=1.b= 1
2
故选：D．
【点评】：本题考查了基本不等式在求最值中的应用.属于中档题.本题的难点在于转化为关于s.t的不等式．
17.（问答题.0分）设实数集为R.集合A={x|1＜x＜4}.B={x|x2-7x+10＜0}.C={x|-3＜x-a＜3}．（1）求（∁R B）∩A；
（2）若A∪C=C.求实数a的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）先分别求出集合B.C.然后根据集合的补集与交集运算即可求解；
（2）由题意可得A⊆C.然后根据集合的包含关系即可求解．
【解答】：解：（1）因为A={x|1＜x＜4}.B={x|x2-7x+10＜0}=（2.5）.C={x|a-3＜x＜3+a}．∴∁R B={x|x≥5或x≤2}.
∴（∁R B）∩A=（1.2]；
（2）因为若A∪C=C.
所以A⊆C.
.
∴ {a−3≤1
a+3≥4
解可得1≤a≤4.
故a的范围为[1.4]．
【点评】：本题主要考查了集合的交集.补集的基本运算及集合包含关系的应用.属于基础试题．18.（问答题.0分）设函数f（x）=x2-2x+a+1．
（1）若函数y=f（x）的图象与x轴无公共点.求实数a的取值范围；
（2）若方程f（x）=0有两个不相等的正根.求实数a的取值范围．
【解析】：（1）函数f （x ）=x 2-2x+a+1的图象与x 轴无公共点.即对应的方程无实根.判别式△＜0.解得a 的范围即可；
（2）方程f （x ）=0有两个不相等的正根.则△＞0且两根x 1+x 2=2＞0.x 1x 2=a+1＞0.求出a 的范围即可．
【解答】：解：（1）函数f （x ）=x 2-2x+a+1的图象与x 轴无公共点. 即对应的方程无实根.判别式△＜0. ∴4-4（a+1）＜0.∴a ＞0. ∴a 的取值范围是（0.+∞）；
（2）方程f （x ）=0有两个不相等的正根.则△＞0且两根x 1+x 2=2＞0.x 1x 2=a+1＞0. ∴ {4−4(a +1)＞0a +1＞0 .∴-1＜a ＜0； 故a 的取值范围是（-1.0）．
【点评】：本题考查了二次函数的零点和方程根的关系.体现了转化的思想方法.属于基础题． 19.（问答题.0分）阅读下面材料：在计算2+5+8+11+14+17+20+23+26+29时.我们发现.从第一个数开始.后面每个数与它的前面个数的差都是一个相等的常数.具有这种规律的一列数.除了直接相加外.我们还可以用下面的公式来计算它们的和S. S =
n (a 1+a n )
2
（其中：n 表示数的
个数.a 1表示第一个数.a n 表示最后一个数））.那么2+5+8+11+14+17+20 +23+26+29=
10(2+29)
2
=155 .利用或不利用上面的知识解答下面的问题：某集团总公司决定将下属的一个分
公司对外招商承包.有符合条件的两家企业A 、B 分别拟定上缴利润方案如下：
A ：每年结算一次上缴利润.第一年上缴利润100万元.以后每年比前一年增加100万元；
B ：每半年结算一次上缴利润.第一个半年上缴利润30万元.以后每半年比前半年增加30万元； （1）如果承包4年.你认为应该承包给哪家企业.总公司获利多？
（2）如果承包n （n∈N *）年.请用含n 的代数式分别表示两家企业上缴利润的总金额.请问总公司应该如何在承包企业A 、B 中选择？
【解析】：（1）根据题意分别求出承包给企业A.B时.总公司的获利.再比较即可．
（2）利用等差数列求和个数即可得到承包n（n∈N*）年两家企业上缴利润的总金额.再利用作差法比较即可．
【解答】：解：（1）A：100+200+300+400=1000万元.
B：30+60+90+120+150+180+210+240=1080万元；
∴应承包给B企业；
（2）A：100+200+300+…+100n=50n（1+n）；
B：30+60+90+…+60n=30n（1+2n）；
解不等式50n（1+n）＞30n（1+2n）.得：n＜2.
所以.n＜2.选A企业；n＞2.选B企业；n=2时.选A\B企业都可以．
【点评】：本题主要考查了函数的实际应用.是中档题．
20.（问答题.0分）已知函数f(x)=x2+2
．
x
（1）求f（1）.f（2）的值；
（2）设a＞b＞1.试比较f（a）、f（b）的大小.并说明理由；
+m对一切x∈[1.6]恒成立.求实数m的最大值．（3）若不等式f(x−1)≥2(x−1)+2
x−1
【正确答案】：
【解析】：（1）直接将x=1.x=2代入函数解析式.计算可得所求值；
（2）可得f（a）＞f（b）.可运用作差法计算f（a）-f（b）.因式分解.结合不等式的性质可得结论；
（3）原不等式等价为m≤x2-4x+3对一切x∈[1.6]恒成立.构造y=x2-4x+3.求得此函数y在[1.6]的最小值.可得m的范围.即有m的最大值．
.
【解答】：解：（1）函数f(x)=x2+2
x
可得f（1）=1+2=3.f（2）=4+1=5；
（2）f（a）＞f（b）.理由如下：由a＞b＞1.
f（a）-f（b）=a2+ 2
a -b2- 2
b
=（a-b）（a+b）- 2(a−b)
ab
=（a-b）（a+b- 2
ab
）.
因为a＞b＞1.可得a-b＞0.a+b＞2.ab＞1. 2
ab ＜2.a+b- 2
ab
＞0.
则（a-b）（a+b- 2
ab
）＞0.故f（a）＞f（b）；
（3）不等式f(x−1)≥2(x−1)+2
x−1
+m对一切x∈[1.6]恒成立.
即为（x-1）2+ 2
x−1≥2（x-1）+ 2
x−1
+m对一切x∈[1.6]恒成立.
化简可得m≤x2-4x+3对一切x∈[1.6]恒成立.
由y=x2-4x+3在[1.6]的最小值为22-4×2+3=-1.
所以m≤-1.即m的最大值为-1．
【点评】：本题考查函数值的计算和函数值大小的比较.注意运用作差法.考查不等式恒成立问题解法.注意运用参数分离和转化为最值问题.考查化简运算能力、推理能力.属于中档题．21.（问答题.0分）已知集合A={x|x=m+n√3 .且m2-3n2=1.m.n∈Z}．
（1）证明：若x∈A.则x+1
x
是偶数；
（2）设a∈A.且1＜a＜4.求实数a的值；
（3）设c∈A.求证：
2+√3
∈A；并求满足2+√3＜c≤(2+√3)2的c的值．
【正确答案】：
【解析】：（1）将x=m+√3n代入x+1
x
化简即可判断；
（2）由1＜a＜4 推出m+√3n的范围.再由m2-3n2=1.m.n∈Z 逐一验证即可；
（3）将c= m+√3n代入验证
2+√3符合集合A的性质.
2+√3
.再由2+√3＜c≤
(2+√3)2推出1
2+√3≤2+√3 .可得
2+√3
=2+√3 .然后求出c的值．
【解答】：解：（1）因为x∈A.不妨设x=m+n √3 .则x+1
x =(m+n√3)+
m+√3n
= m+
√3n+m−√3n
m2−3n2
.
由m2-3n2=1 可得x+1
x =2m因为m∈Z.所以x+1
x
为偶数．
（2）因为a∈A.不妨设a=m+n √3 .由1＜a＜4.可得1
4＜1
a
＜1 .
由（1）.可得a+1
a =2m .所以5
4
＜2m＜5 .即5
8
＜m＜5
2
.
又因为m2-3n2=1.m.n∈Z.则m=1或者2.
当m=1时.n=0.此时x=1.a∉A不符合题意. 当m=2时.n=1符合题意.此时a=2+√3 .
（3）证明：因为c∈A 则设c=m+n √3 .则
2+√3=√3n
2+√3
=(m+√3n)(2−√3)
4−3
= (2m−3n)+
√3(2n−m)
显然2m-3n、2n-m∈Z.此时（2m-3n）2-3（2n-m）2=1 符合集合A定义.
因为2+√3＜c≤(2+√3)2推出推出1
2+√3≤2+√3可得
2+√3
=2+√3 .
故c=(2+√3)2=7+4√3．
【点评】：考查集合与元素之间的关系.对于函数、不等式、方程等综合运用.体现数学运算.逻辑推理等数学学科素养.属于中档题．。