湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高三上学期第一次大联考数学(理)试题

○…………外○…………内绝密★启用前
湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高三上学期第一次
大联考数学（理)试题
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1．已知全集U =R ，集合{|(2)0}A x x x =-…，{1,0,1,2,3}B =-，则()U A B ð的
子集个数为（） A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
2．若复数z 满足()112i z i -=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，丙所得为（ ） A ．
2
3
钱 B ．1钱 C ．
43
钱 D ．
53
钱 4．已知函数2()2cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则函数()y f x '=的图像大致为（）
A ．
B ．
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
※
※
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
C．
D．
5．已知，均为单位向量，，则
A．B．C．D．
6．ABC
∆内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“ABC
∆为锐角三角形”是
“222
a b c
+>”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．在ABC
∆中，1
AB=，3
AC=，1
AB BC
⋅=，则ABC
∆的面积为（）
A．
1
2
B．1 C D
8．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
9．设4
log3
a=，
8
log6
b=，0.1
0.5
c-
=，则（）
A．a b c
>>B．b a c
>>C．c a b
>>D．c b a
>>
10．定义在R上的奇函数()
f x满足(1)(1)
f x f x
+=-，且当[0,1]
x∈时，
()(32)
f x x x
=-，则
29
(
2
f=（）
A．1-B．
1
2
-C．
1
2
D．1
11．设函数2e 1,0
(),0
x x f x x ax x ⎧-=⎨->⎩…，若关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有
三个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A ．(,2]-∞- B ．[2,)+∞
C ．[2,2]
-
D ．(,2][2,)-∞-+∞
12．若(0,)x ∀∈+∞，1ln(1)1
x k
x x ++>+恒成立，则整数k 的最大值为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第II 卷（非选择题)
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题
13．由曲线22y x x =-+与直线y x =围成的封闭图形的面积为___________． 14．已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()sin cos 2παπα⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
______.
15．已知()ln(e 1)(0)ax f x bx b =+-≠是偶函数，则a
b
=__________． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132020
a =，()*
12,n n n a S S n n N -=≥∈，则当n
S 取最大值时，n 的值为______. 三、解答题
17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，519a =，555S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
18．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，222()2cos a b ac B bc -=+． （1）求A ；
（2）D 为边BC 上一点，3BD DC =，DAB π
∠=
，求tan C ．
19．已知函数()()cos sin 4
f x x x α=+-
，0απ<<，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为12
y x b =+. （1）求α与b 的值；
（2）求()f x 的最大值及单调递增区间.
20．已知数列{}n a 满足1n a >且()()()
2
2
2
21222log log log n a a a ++⋅⋅⋅+()()1
1216
n n n =++. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2log n n n b a a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 21．已知函数()2x
f x e ax a =+++.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当0x ≤时，()2f x ≥，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()ln 1,f x x ax a =-+∈R ． （1）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围；
（2）设11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，直线AB 的斜率为k ，若120x x k ++>恒成立，求a 的取值范围．
参考答案
1．B 【解析】 【分析】
先求出U C A ,再求出()U C A B ⋂,然后利用公式2n 进行计算可得. 【详解】
(,0)
(2,)U C A =-∞+∞，∴()
{1,3}U C A B =-，∴子集个数为4．
故选B. 【点睛】
本题考查了集合的运算,集合子集的个数问题，属基础题. 2．C 【解析】 【分析】
先由复数的除法得13
22
z i =-+，再求其共轭复数即可得解. 【详解】
由()112i z i -=+，可得12(12)(1)13213
12222
i i i i z i i ++++-=
===-+-. 13
22z i =--在复平面内对应的点为13(,)22
--位于第三象限.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】
依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ，由题意求得a ＝﹣6d ，结合a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝5即可得解． 【详解】
依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ， 则由题意可知，a ﹣2d +a ﹣d ＝a +a +d +a +2d ，即a ＝﹣6d ，
又a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝5，∴a ＝1， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的应用，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】
因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，求导易得()f x '
在R 上单
调递增. 【详解】
因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '
是奇函数，
又()22cos 0f x x ''=-≥,所以()f x '
在R 上单调递增.只有C 符合,
故选C ． 【点睛】
本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题. 5．B 【解析】 【分析】
由已知结合向量数量积的性质可求 ，代入即可求解． 【详解】
解： ， 均为单位向量，且 ，
，
， 则
，
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题． 6．A
【分析】
由余弦定理可知222a b c +>时C 一定为锐角，进而由充分必要条件的定义判断即可得解. 【详解】
当△ABC 为锐角三角形时，C 一定为锐角，此时222a b c +>成立，
当222a b c +>成立时，由余弦定理可得cos C ＞0，即C 为锐角，但此时△ABC 形状不能确定，
故ABC ∆为锐角三角形”是“222a b c +>”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了充分必要条件的判断及余弦定理的应用，属于基础题. 7．C 【解析】 【分析】
由()AB BC AB AC AB ⋅=⋅-可得2cos 3A =，进而得sin A =，再利用面积公式即可得解. 【详解】
因为2
()13cos 11AB BC AB AC AB AB AC AB A ⋅=⋅-=⋅-=⨯-=，解得2
cos 3
A =.
所以sin 3
A ==
.
所以ABC ∆的面积为11sin 132232
AB AC A ⋅⋅=⨯⨯⨯=
故选：C. 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算及三角形的面积公式，属于基础题. 8．D 【解析】
利用三角恒等变换、函数 的图象变换规律，得出结论． 【详解】
解：函数
，
故将函数 的图象向右平移
个单位，可得 的图象， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查三角函数的恒等变换，函数 的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题． 9．D 【解析】 【分析】
通过对数的运算性质对对数的底数变形,化为同底,利用对数函数2log y x =的单调性可得
1a b << ,通过指数函数的性质可得1c > .
【详解】
2log a =，2log b =，660-<，∴1a b <<，0.121c =>，故选D ．
【点睛】
本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小,属基础题. 10．A 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性和(1)(1)f x f x -=+可推出函数的周期为4,再根据周期性可求得.
【详解】
∵()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x -
=+，
∴(1)(1)(3)f x f x f x +=--=-，4T =，
29293111
(
)(16)()()(32)1222222
f f f f =-=-=-=--⨯=-．
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题. 11．B 【解析】 【分析】
将问题转化为当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得. 【详解】
因为关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根 所以当0x …时，(0,1)m ∀∈ ，1x e m -=-有一根，
当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根，由二次函数的图象可知20
2
40
a a m ⎧>⎪⎨⎪=->⎩ 对任意的(0,1)m ∈恒成立，所以24a ≥ 解得2a …
．故选B ． 【点睛】
本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题. 12．C 【解析】 【分析】
1ln(x 1)k
x x 1
++>+恒成立，即(1)[1ln(1)]()x x h x k x +++=
>恒成立, 即h(x)的最小值大于k,再通过,二次求导可求得. 【详解】
1ln(x 1)k
x x 1
++>+恒成立，即(1)[1ln(1)]()x x h x k x +++=
>恒成立，即h(x)的最小值大于k ，2x 1ln(x 1)h (x)x --+'=，令g (x )x 1l n (x 1)(x 0)=--+>，则
()01
x
g x x '=>+，∴g(x)在(0,)+∞上单调递增，又(2)1ln30g =-<，(3)22ln20g =->，∴g(x)0=存在唯一实根a ，且满足(2,3)a ∈，1ln(1)a a =++．当x a >时，g(x)0>，h (x)0'>；
当0x a <<时，g(x)0<，()0h x '<，∴
(1)[1ln(1)]
()()1(3,4)min a a h x h a a a
+++==
=+∈，故整数k 的最大值为3．故选C ．
【点睛】
本题考查了转化思想,构造法,以及不等式恒成立和利用导数求函数的最值,属难题. 13．
16
【解析】 【分析】
将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0)，(1,1)，结合图像可知围成的封闭图形的面积. 【详解】
将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0)，(1,1)， 如图:
结合图像可知围成的封闭图形的面积为1
1
2
3200
111(2)()326x x x dx x x -+-=-+=⎰．
【点睛】
本题考查了定积分的几何意义,属基础题
.
14．
45
【解析】 【分析】
由向量平行可得2cos sin αα=，结合221sin cos αα=+可得2
4
sin 5
α=
，结合诱导公式化简得()2
sin cos sin 2παπαα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
即可得解.
【详解】
向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，所以2cos sin αα=.
()2sin cos (sin )(sin )sin 2παπαααα⎛⎫
-+=--= ⎪⎝⎭
.
由222
2
2
sin 5sin 1sin cos sin 44
ααααα=+=+=
，所以2
4sin 5α=. 故答案为：4
5
. 【点睛】
本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系，属于基础题. 15．2 【解析】 【分析】
根据偶函数的定义,由()()f x f x -= 恒成立可得. 【详解】 由()()f x f x =-得
1
ln(1)ln(1)ln ln(1)ax ax ax
ax ax e e bx e
bx bx e ax bx e
-++-=++=+=+-+，∴2ax bx = ，
2a
b
=． 【点睛】
本题考查了偶函数的性质,属基础题. 16．674 【解析】
【分析】
化简条件可得()*
11112,n n n n N S S --=-≥∈，进而得120233
n S n
=-，利用反比例函数的性质分析数列的单调性即可得解. 【详解】
由(
)*
12,n n n a S S n n N -=≥∈，可得()*
11
2,n n n n S
S S S n n N ---=≥∈. 所以
()*1
11
12,n n n n N S S --=-≥∈. 从而有：1
{
}n S 是以1120203
S =为首项，-1为公差的等差数列. 所以120202023(1)(1)33n n n S =+-⋅-=-，所以120233
n S n
=-. 当1674n ≤≤时，n S 递增，且0n S >； 当675n ≤时，n S 递增，且0n
S <.
所以当674n =时，n S 取最大值. 故答案为：674. 【点睛】
本题主要考查了n a 和n S 的递推关系，考查了数列的单调性，属于中档题.
17．（1）41n a n =-（2）()
343n
n +
【解析】 【分析】
（1）由等差数列的基本量表示项与和，列方程组求解即可； （2）先求得1111144143n n a a n n +⎛⎫
=- ⎪-+⎝⎭
，再利用裂项求和即可得解. 【详解】
解析：（1）设公差为d ，则1141951055a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得13
4
a d =⎧⎨=⎩，∴()34141n a n n =+-=-.
（2）()()111111414344143n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪-+-+⎝⎭
， ∴11111114377114143n T n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪
-+⎝⎭()
343n n =
+. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的基本量运算及裂项求和，属于基础题. 18．（1）23π；（2
. 【解析】 【详解】
分析：（1）由余弦定理可得222a b c bc --=，从而可得cos A ，进而得解； （2）在ABC △中，由正弦定理可得：
sin sin120
c BC
C =
,①，在Rt ABC 中， ()
sin 30c
C BD
+=
,②，联立①和②可得解. 详解：（1）由已知条件和余弦定理得：
2222
2
2222a c b a b ac bc ac
+--=⋅+
即： 222a b c bc --=
则2221
cos 22
b c a A bc +-==-
又0A π<<，23
A π
∴=
. （2）在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin120
c BC C =,① 在Rt ABD △中， ()
sin 30c
C BD
+=
,② 由①②可得：
(
)sin 30sin C
C +=
即：1cos 22sin C C C =,
化简可得：tan C =
点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中
若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
19．（1）3
π
α=,4
b =
（2）最大值12，单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-
+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】 【分析】
（1）求函数的导数得()'cos(2)f x x α=+，由()1'02f =得3
π
α=，从而得解； （2）由1()sin 223f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭结合三角函数性质利用整体代换可求最值和单调区间. 【详解】
（1）()()()'sin sin cos cos f x x x x x αα=-+++()cos 2x α=+，
()1'02f =
，3πα=，()04f =，4
b =
.
（2）()21sin cos 2f x x x x =
1
1sin 22sin 2423x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 当2232
x k π
π
π+
=+
，k Z ∈时，()f x 取得最大值
1
2
. 由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
得5,1212x k k ππππ⎡⎤
∈-
+⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈， ∴()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简和性质及利用导数求函数切线，属于中档题.
20．（1）2n
n a =（2）()1
12
2n n T n +=-⋅+
【解析】 【分析】
（1）先令1n =得12a =，再由()()()
2
2
2
212221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+()()1
1216
n n n =--，与条件作差得2n n a =；
（2）由2n
n b n =⋅，利用错位相减法求和即可.
【详解】
解析：（1）当1n =时，()2
21log 1a =，由1n a >得12a =. 当2n ≥时，()()()222
212221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+()()1
1216
n n n =--， ∴()()()()()2
211
log 12112166
n a n n n n n n =
++---2n =，∴2n n a =， ∵1n =也适合，∴2n
n a =. （2）2n
n b n =⋅，
∴1212222n n T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，231
212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅， 两式相减得121
2222n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅()1
12
2n n +=-⋅-，
∴()1
122n n T n +=-⋅+.
【点睛】
本题主要考查了和与项的递推关系及错位相减法求和，属于中档题. 21．（1）见解析（2）[]1,0- 【解析】 【分析】
（1）求函数导数得()'x
f x e a =+，分别讨论0a ≥和0a <时导数的正负从而得函数的单
调性；
（2）令()x
h x e ax a =++，则()00h ≥，1a ≥-，讨论0a =，0a >和10a -≤<时，
利用导数研究函数的单调性进而得解. 【详解】
（1）()'x
f x e a =+，
若0a ≥，则()'0f x >，()f x 在R 上单调递增；
若0a <时，由()'0f x >得()ln x a >-，由()'0f x <得()ln x a <-，∴()f x 在
()(),ln a -∞-上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增.
（2）当0x ≤时，22x e ax a +++≥，即0x e a x a ++≥
，令()x hx e a x a =++，则()00h ≥，
1a ≥-，
当0a =时，()0x
h x e =>，满足题意；
当0a >时，()'0x
h x e a =+>，∴()h x 在(],0-∞上递增，由x
y e =与()1y a x =-+的
图像可得()0h x ≥在(],0-∞上不恒成立；
当10a -≤<时，由()'0x
h x e a =+=解得()ln x a =-，
当()ln x a <-时，()'0h x <，()h x 单调递减； 当()ln 0a x -<≤时，()'0h x >，()h x 单调递增.
∴()h x 在(],0-∞上的最小值为()()
ln h a -，∴()()
()ln ln 0h a a a -=-≥，解得
10a -≤<.
综上可得实数a 的取值范围是[]1,0-. 【点睛】
本题主要考查了函数导数的应用及分类讨论的思想，利用导数研究函数最值解决恒成立问题，属于难题.
22．（1）(0,1)（2）(-∞ 【解析】 【分析】
(1)求导得1
()f x a x
'=
-,当0a ≤时,可得()f x 在(0,)+∞上是增函数，不可能有两个零点, 当0a >时,利用导数可以求得函数()f x 在定义域内的最大值为1()f a ,由11
()ln 0f a a
=>，解
得01a <<.然后根据1()0f a >,1()0f e < 得到()f x 在11
(,)e a
上有1个零点；根据
1()0f a >,22f ()0e a <,得到()f x 在2
21(,)e
a a
上有1个零点,可得a 的取值范围. (2)利用斜率公式将120x x k ++>恒成立,转化为
2
2222111
21
ln ln 0x x ax x x ax x x +---+>-,即2()ln m x x x ax =+-在(0,)+∞上是增函数,再求导后,分离变量变成min 1
(2)a x x
+…,最后
用基本不等式求得最小值,代入即得. 【详解】 （1）1
()f x a x
'=
-，0x >， ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上是增函数，不可能有两个零点； ②当0a >时，在区间1(0,)a 上，()0f x '>；在区间1(,)a
+∞上，()0f x '<．
∴()f x 在1(0,)a 是增函数，在1(,)a +∞是减函数，11
()ln
0f a a
=>，解得01a <<，此时2
211e e a a
<<，且1()110a a f e e e =--+=-<，∴()f x 在11(,)e a 上有1个零点；
222
2()22ln 132ln (01)e e e f a a a a a a
=--+=--<<， 令2()32ln e F a a a =--，则2222
22()0e e a F x a a a
-'=-+=>，∴()F a 在(0,1)上单调递增，
∴2
()()130F a F e <=-<，即22f ()0e a <，∴()f x 在2
21(,)e
a a
上有1个零点．
∴a 的取值范围是(0,1)． （2）由题意得2211
1221
ln ln 0x ax x ax x x x x --+++
>-，
∴
2
2222111
21
ln ln 0x x ax x x ax x x +---+>-， ∴2
()ln m x x x ax =+-在(0,)+∞上是增函数，
∴1
()20m x x a x
'=
+-…在(0,)+∞上恒成立，∴min 1(2)a x x +…，
∵0x >，∴12x x +
=…当且仅当12x x =时，即x =取等号，∴a …
∴a 的取值范围是(-∞． 【点睛】
本题考查了函数的零点,零点存在性定理,不等式恒成立,以及用基本不等式求最值,属难题.。