初中九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象和性质》同步测试 附加答案

二次函数y ＝ax 2的图象和性质
1．关于二次函数y ＝8x 2的图象，下列说法错误的是( C ) A ．它的形状是一条抛物线
B ．它的开口向上，且关于y 轴对称
C ．它的顶点是抛物线的最高点
D ．它的顶点在原点处，坐标为(0，0)
【解析】 ∵抛物线y ＝8x 2中二次项系数为8，∴此抛物线的开口向上，顶点为(0，0)，它应是抛物线的最低点．
2．对于二次函数y ＝－3
4x 2，下列说法错误的是( A )
A ．开口向上
B ．对称轴为y 轴
C ．顶点坐标为(0，0)
D ．当x ＝0时，y 有最大值0
【解析】 当a ＝－3
4
＜0时，二次函数的图象开口向下．
3．若二次函数y ＝ax 2的图象过点P (－2，4)，则该图象必经过点( A ) A ．(2，4) B ．(－2，－4) C ．(－4，－2) D ．(4，－2)
4．已知二次函数：y ＝2 013x 2，y ＝－2 013x 2，y ＝12 014x 2，y ＝－12 014x 2
，它们图象的共同
特点为( D )
A ．都关于原点对称，开口方向向上
B ．都关于x 轴对称，y 随x 增大而增大
C ．都关于y 轴对称，y 随x 增大而减小
D ．都关于y 轴对称，顶点都是原点
【解析】 根据y ＝ax 2的图象特征判断．D 正确．
5．下列函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的是( D ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝34x D ．y ＝1
x
【解析】 A 不正确，二次函数y ＝x 2的对称轴为x ＝0，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大；
B 、
C 中y 随x 的增大而增大，均不正确，
D 正确．
图22－1－7
6．函数y ＝x 2，y ＝1
2x 2，y ＝2x 2的图象大致如图22－1－7所示，则图中从里到外的三条抛
物线对应的函数依次是( D ) A ．y ＝1
2x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2
B ．y ＝x 2，y ＝1
2x 2，y ＝2x 2
C ．y ＝2x 2，y ＝1
2x 2，y ＝x 2
D ．y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝1
2
x 2
【解析】 |a |越大，抛物线y ＝ax 2的开口越小．
7．抛物线y ＝－2
3x 2的开口向__下__，顶点坐标为(0，0)，顶点是抛物线的最高点，当x ＝__0__
时，函数有最大值为__0__．
8．若二次函数y ＝(m ＋2)xm 2－3的图象开口向下，则m ＝__－5__．
【解析】 根据题意知⎩
⎪⎨⎪⎧m ＋2<0，
m 2－3＝2， 解得m ＝－ 5.
9．一个二次函数的图象如图22－1－8所示，图象过点(－2，3)，则它的解析式为__y ＝3
4x 2__，
当x ＝__0__时，函数有最__小__值为__0__，若另一个函数图象与此图象关于x 轴对称，那么另一个函数的解析式为__y ＝－3
4
x 2__，当x ＝__0__时，函数y 有最__大__值为__0__．
图22－1－8
【解析】 设y ＝ax 2，则3＝4a ，a ＝34，∴y ＝3
4
x 2.
当x ＝0时，y 有最小值．关于x 轴对称的抛物线的解析式中a 值互为相反数． 10．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：y ＝1
2x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2.
解：列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝12x 2 … 2 0 2 … y ＝x 2 … 9 1 4 … y ＝－x 2
…
－1
－1
－9
…
(1)完成上述表格，在图22－1－9中画出其余的两个函数的图象； (2)由图22－1－9中的三个函数图象，请总结二次函数y ＝ax 2中a 的值与它的图象有什么关系？
图22－1－9
解：(1)第二行依次填92，12，12，9
2
；
第三行依次填4，0，1，9；
第四行依次填－9，－4，0，－4.图象略．
(2)a 的符号决定抛物线的开口方向，|a |的大小决定抛物线的开口大小．
11．已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是( C )
【解析】 在同一平面直角坐标系中，a 值的正、负情况应保持一致，只有A 、C 符合条件，又因为两图象应有两个交点，故选C.
12．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (－2，－8)． (1)求此抛物线的函数解析式；
(2)判断点B (－1，－4)是否在此抛物线上； (3)求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标． 解：(1)把(－2，－8)代入y ＝ax 2， 得－8＝a ×(－2)2，解出a ＝－2， 所求抛物线的函数解析式为y ＝－2x 2. (2)因为－4≠－2×(－1)2，
所以点B (－1，－4)不在此抛物线上．
(3)由－6＝－2x 2，得x 2＝3，x ＝±3，
所以抛物线上纵坐标为－6的点有两个，它们分别是(3，－6)，(－3，－6)．
图22－1－10
13．如图22－1－10，已知直线l 过A (4，0)，B (0，4)两点，它与二次函数y ＝ax 2的图象在第一象限内相交于点P .若△AOP 的面积为9
2，求a 的值．
解：设点P (x ，y )，直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ， 将A (4，0)，B (0，4)分别代入y ＝kx ＋b ， 得k ＝－1，b ＝4，故y ＝－x ＋4， ∵△AOP 的面积为92＝1
2×4×y
∴y ＝94
再把y ＝94代入y ＝－x ＋4，得x ＝7
4，
所以P (74，9
4
)
把P (74，94)代入到y ＝ax 2中得：a ＝3649
.
14．问题情境：
如图22－1－11，在x 轴上有两点A (m ，0)，B (n ，0)(n >m >0)，分别过点A ，点B 作x 轴的垂线，交抛物线y ＝x 2于点C ，点D ，直线OC 交直线BD 于点E ，直线OD 交直线AC 于点F ，点E ，点F 的纵坐标分别为y E ，y F . 特例探究： 填空：
当m ＝1，n ＝2时，y E ＝________，y F ＝________； 当m ＝3，n ＝5时，y E ＝________，y F ＝________． 归纳证明：
对任意m ，n (n >m >0)，猜想y E 与y F 的大小关系，并证明你的猜想． 拓展应用：
(1)若将“抛物线y ＝x 2”改为“抛物线y ＝ax 2(a >0)”，其他条件不变，请直接写出y E 与y F 的大小关系；
(2)连接EF ，AE .当S 四边形OFEB ＝3S △OFE 时，直接写出m 与n 的关系及四边形OFEA 的形状．
图22－1－11
解：221515
归纳证明：猜想：y E＝y F.
证明：∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，A，B的坐标分别为A(m，0)，B(n，0)，
∴C，D的横坐标分别为m，n.
∵C，D在抛物线y＝x2上，
∴C点的坐标为(m，m2)，D点的坐标为(n，n2)．
设直线OC的解析式为y＝k1x，直线OD的解析式为y＝k2x，∴m2＝k1m，n2＝k2n，解得k1＝m，k2＝n，
∴直线OC的解析式为y＝mx.
直线OD的解析式为y＝nx，
把E，F的横坐标分别代入y＝mx与y＝nx得
y E＝mn，y F＝mn，∴y E＝y F.
拓展应用：(1)y E＝y F.
(2)n＝2m，四边形OAEF为平行四边形．
数学选择题解题技巧
1、排除法。

是根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下唯一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。

排除法是解选择题的间接方法，也是选择题的常用方法。

2、特殊值法。

即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。

用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。

此类问题通常具有一个共性：题干中给出一些一般性的条件，而要求得出某些特定的结论或数值。

在解决时可将问题提供的条件特殊化。

使之成为具有一般性的特殊图形或问题，而这些特殊图形或问题的答案往往就是原题的答案。

利用特殊值法解答问题，不仅可以选用特别的数值代入原题，使原题得以解决而且可以作出符合条件的特殊图形来进行计算或推理。

3、通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果。

这类方法在近年来的中考题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。