通用版2020版高考数学大一轮复习第13讲变化率与导数导数的运算课件文新人教A版
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
(4)y'=
ln ������ ������ 2
'=���1��� ·������
2
-2������ln ������ 4
������
=1-2������l3n
������
.
课堂考点探究
[总结反思] 求导时,一般对函数式先化简再求导,这样可以减少运算量,提高运算速 度,减少差错.常用求导技巧有: (1)连乘形式:先展开化为多项式的形式,再求导; (2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导; (3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导; (4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导; (5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.
课堂考点探究
[答案] (1)7x-y-4=0 (2)x-y-2=0 或 5x+4y-1=0
[解析] (1)设 x>12,则-x<-12,所以 f(-x)=(-x)3-2(-x)2=-x3-2x2,因为函数 f(x)为奇函数,所以当 x>12 时,f(x)=-f(-x)=x3+2x2,所以 f'(x)=3x2+4x,又 f(1)=3,f'(1)=7,所以切线方程为 y-3=7(x-1),即 7x-y-4=0. (2)由题意得 f'(x)=3x2-2,设切点的坐标为(x0,������03-2x0),则切线斜率 k=3������02-2,所以切线的方程 为 y-(������03-2x0)=(3������02-2)(x-x0).因为切线过点(1,-1),所以-1-(������03-2x0)=(3������02-2)(1-x0),解得 x0=1 或 x0=-12,将其代入 y-(������03-2x0)=(3������02-2)(x-x0),可得切线方程为 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0.
课堂考点探究
角度1 求切线方程
探究点二 导数的几何意义
例 2(1)[2018·福建漳州质检] 已知函数 f(x)是定义在
R 上的奇函数,且当 x∈ -∞,-12 时,f(x)=x3-2x2,则曲线
y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
.
(2)[2018·河南名校联考] 过点(1,-1)且与 f(x)=x3-2x 的
[解析] 函数 f(x)=x2 在区间[1,2]
上的平均变化率为22-12
2-1
=3.因为
f'(x)=2x,所以 f(x)在 x=2 处的导
数为 2×2=4.
课前双基巩固
6.若函数 f(x)=4x3-a2x+a,则 f'(x)=
. [答案] 12x2-a2
[解析] f'(x)=(4x3-a2x+a)'=12x2-a2.
课堂考点探究
[总结反思] 求曲线的切线方程需注意: (1)当不知道切点坐标时,应先设出切点坐标,再求解; (2)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切 线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P 为切点.
课堂考点探究
角度2 求切点坐标
课前双基巩固
7.函数 y=len������������的导函数为
.
[答案]y'=1-������������eln������ ������
[解析] y'=���1���·e���(���e-e���������)���2·ln ������=1-������������eln������ ������.
22
(3)y=3xex-2x+1; (4)y=l���n��� 2������ .
[思路点拨] 按照基本初等函数的 导数公式和导数的运算法则求解.
课堂考点探究
解:(1)因为 y= 23x3-4x 2x+���1��� =43x4-232x2-4, 所以 y'=136x3-434x. (2)因为 y=x2sin���2���cos���2���=12x2sin x, 所以 y'=12(x2sin x)'=12(2xsin x+x2cos x)=xsin x+12x2cos x. (3)y'=(3xex-2x+1)'=3xexln 3+3xex-2xln 2=3xex(ln 3+1)-2xln 2.
图像相切的直线方程是
.
[思路点拨] (1)先利用函数的奇偶性 求出函数 f(x)在区间 12,+∞ 上的解析 式,再求导,利用导数的几何意义求
出切线斜率,进而写出切线方程;(2) 设切点的坐标为(x0,������03-2x0),求得切 线的方程,将(1,-1)代入,求得 x0 的值, 即可得到切线的方程.
x=-1 时,y'=0,y=-1e,所以切点坐 标为 -1,-1e ,曲线在该点处的切 线斜率为 0,故切线方程为 y=-1e.
课前双基巩固
题组二 常错题
◆索引:对导数概念的理解不清;运算法则的运用不正确.
5.函数 f(x)=x2 在区间[1,2]上的平均变化率
为
,在 x=2 处的导数为
.
[答案] 3 4
课堂考点探究
[总结反思] 已知切线斜率为k,求切点P(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k,得出横坐标x1,再 确定纵坐标.
课堂考点探究
角度3 求参数的值
例 4(1)函数 f(x)=ln x+ax 的图像存在与直线 2x-y=0 平
行的切线,则实数 a 的取值范围是 ( )
A.(-∞,2]
例 3(1)函数 f(x)=x3+x-2 的图像在点 P0 处的切线平行 于直线 y=4x-1,则点 P0 的坐标为 ( ) A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)或(-1,-4) D.(2,8)或(-1,-4) (2)过原点作曲线 y=ex 的切线,则切点的坐标
为
,切线的斜率为
.
[思路点拨] (1)设出切点坐标, 利用导数求出切线斜率,列方 程求解;(2)设出切点的坐标,根 据导数的几何意义求出切线 斜率,再利用切点和原点坐标 求出切线斜率,列方程求解.
课前双基巩固
8.已知 f(x)=x2+3xf'(2),则 f(2)=
.
[答案] -8 [解析] 因为 f'(x)=2x+3f'(2), 令 x=2,得 f'(2)=-2,所以 f(x)=x2-6x,于是 f(2)=-8.
课堂考点探究
探究点一 导数的运算
例 1 求下列函数的导函数:
(1)y= 23x3-4x 2x+���1��� ; (2)y=x2sin������cos������;
������ (������ +Δ ������ )-������ (������ )为
Δ ������
f(x)的导函数.
课前双基巩固
2.基本初等函数的导数公式
原函数
f(x)=C(C 为常数) f(x)=xα(α∈Q) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ex
f(x)=ax(a>0,a≠1) f(x)=ln x
Δ ������ Δ ������
为函数
y=f(x)在
x=x0
处的
导数,记作
f'(x0)或
y'|������=������0 ,即
f'(x0)=Δl���i���m→0
Δ ������ Δ ������
= lim
Δ ������ →0
������ (������ 0 +Δ ������ )-������ (������ 0 ).
于-1 求出 a 的值.
课堂考点探究
[答案] (1)B (2)1
[解析] (1)函数 f(x)=ln x+ax 的图像存在与直线 2x-y=0 平行的切线,即 f'(x)=2 在
(0,+∞)上有解,所以 f'(x)=���1���+a=2 在(0,+∞)上有解,则 a=2-���1���.因为 x>0,所以 2-���1���<2,所 以 a 的取值范围是(-∞,2),故选 B.
第13讲 PART 2
变化率与导数、 导数的运算
课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
1.了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图像直观理解导数的几何意义. 3.能根据导数的定义求函数 y=C(C 为常数),y=x,y=���1���,y=x2,y=x3,y= ������的导数. 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
f'(a)=0解析] 由题意可
知,f'(x)=-������12+���1���,所以 f'(a)=-������12+���1���=0,解得 a=1,所 以 f(a)=5+11+ln 1=6.
课前双基巩固
3.[教材改编] 曲线 y=13x3+3x-1 在 x=-2 处的
平面的高度 h(m)与发射后的时间 t(s)的
函数关系是 h(t)=t2-3t+8,则在 2≤t≤4 这段
时间内的平均速度为
m/s.
[答案] 3 [解析] 平均速度为 ℎ(44)--2ℎ(2)=122-6=3(m/s).
课前双基巩固
2.[教材改编] 已知函数 f(x)=5+���1���+ln x,且
(2)y'=(2-cos
������
)'sin ������ si
-(2-cos n 2 ������
������
)(sin
������
)'=1s-2i nco2s������������
,则曲线
y=2s-cinos������������
在点
π2,2
处的切线的斜率 k=1.
又该切线与直线 x+ay+1=0 垂直,所以 a≠0,且-���1���k=-1,解得 a=1.
课堂考点探究
[答案] (1)C (2)(1,e) e
[解析] (1)设 P0(a,b),因为 f'(x)=3x2+1,所以 f'(a)=3a2+1=4,解得 a=±1.当 a=-1 时,b=-4;当 a=1 时,b=0.所以点 P0 的坐标为(1,0)或(-1,-4). (2)y'=ex,设切点的坐标为(x0,y0),则������������00=e������0 ,即e������������00=e������0 ,所以 x0=1,因此切点的坐标为(1,e), 切线的斜率为 e.
f(x)=logax(a>0,a≠1)
导函数
f'(x)= 0
f'(x)= αxα-1
cos
f'(x)= f'(x)=
-sxin
x
f'(x)= ex f'(x)= axln a
f'(x)=
f'(x)=
课前双基巩固
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x)
;
(2)[f(x)·g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
课前双基巩固
知识聚焦
1.导数的概念
(1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数:
称函数
y=f(x)在
x=x0
处的瞬时变化率 lim
Δ ������ →0
������ (������ 0 +ΔΔ������������)-������ (������ 0 )=������������x������→������0
切线的斜率为
.
[答案] 7
[解析] 因为 y'=x2+3,所以曲线 y=13x3+3x-1 在 x=-2 处切线的斜率 k=y'|x=-2=(-2)2+3=7.
课前双基巩固
4.[教材改编] 曲线 y=xex 在 x=-1 处的切
线方程为
.
[答案] y=-1e [解析]
y'=(xex)'=ex+xex=ex(x+1),当
B.(-∞,2)
C.(2,+∞)
D.(0,+∞)
(2)设曲线
y=2s-cinos������������ 在点
π 2
,2
处的切线与直线
x+ay+1=0 垂直,则 a=
.
[思路点拨] (1)将问题转化为方程 f'(x)=���1���+a=2 在(0,+∞)上有解,求出 实数 a 的取值范围;(2)求出曲线 y=2s-cinos������������在点 π2,2 处的切线的斜率, 利用两直线互相垂直则斜率之积等
Δ ������
(2)导数的几何意义:
函数 f(x)在 x=x0 处的导数 f'(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点 (x0,f(x0))处的 切线的斜率. 相应地,切线方程为 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) .
(3)函数 f(x)的导函数:
称函数
f'(x)= lim
Δ ������ →0
;
(3)
������(������) ������(������)
'=
������'(������)������(������)-������(������)������'(������) [������(������)]2
(g(x)≠0).
课前双基巩固
对点演练
题组一 常识题
1.[教材改编] 某斜抛物体抛出后相对水