河北省石家庄市栾城中学2020年高二数学理测试题含解析

河北省石家庄市栾城中学2020年高二数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设A（﹣2，2）、B（1，1），若直线ax+y+1=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞） B． [﹣，2） C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） D． [﹣2，]参考答案：
C
考点：两条直线的交点坐标．
专题：直线与圆．
分析：直线ax+y+1=0与线段AB有交点，说明两点的坐标代入ax+y+1所得的值异号，或直线经过其中一点，由此得不等式求得a的取值范围．
解答：解：∵A（﹣2，2）、B（1，1），
由直线ax+y+1=0与线段AB有交点，
∴A，B在直线ax+y+1=0的两侧或直线经过A，B中的一点．
可得（﹣2a+2+1）（a+1+1）≤0．
即（2a﹣3）（a+2）≥0，
解得：a≤﹣2或a．
∴a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．
故选：C．
点评：本题考查了二元一次方程组所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，是基础题．
2. 已知：数列为等比数列，其前项和，则的值为（）A、 B、 C、 D、
参考答案：
C
提示：，或者利用求出数列前三项。

3. 直线在平面内，可以记
作（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
4. 如图是甲、乙两名射击运动员射击6次后所得到的成绩的茎叶图（茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字），由图可知（）
A．甲、乙的中位数相等，甲、乙的平均成绩相等
B．甲的中位数比乙的中位数大，乙的平均成绩好
C．甲、乙的中位数相等，乙的平均成绩好
D．甲的中位数比乙的中位数大，甲、乙的平均成绩相等
参考答案：
C
5. 一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为
= 7.19 x +73.93. 用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）
A.身高一定是145.83 cm；
B.身高在145.83 cm以上；
C.身高在145.83 cm以下；
D.身高在145.83 cm左右.
参考答案：
D
6. 已知复数，若在复平面内对应的点分别为，线段的中点对应的复数为，则（）
A．B．5 C. 10 D．25
参考答案：
B
7. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种，得到概率．
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42=6种结果，
满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），
∴要求的概率是=．
故选B．
8. 若则“”是“”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
参考答案：
A
9. 设是直线，，是两个不同的平面（）（A）若∥，∥，则∥
（B）若∥，⊥，则⊥
（C）若⊥，⊥，则⊥
（D）若⊥, ∥，则⊥
参考答案：
B
略
10. 如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()
A．6 B．9 C．12 D．18
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 椭圆的焦点坐标为________．
参考答案：
试题分析：由题意得，椭圆，可化为，所以，所以椭圆的
焦点坐标分别为．
考点：椭圆的标准方程及其几何性质．
12. 计算： = ．
参考答案：
11
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值． 【专题】计算题．
【分析】利用对数的运算法则、对数恒等式、指数幂的运算法则即可得出．
【解答】解：原式=3++=3+4+22
=11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了对数的运算法则、对数恒等式、指数幂的运算法则，属于基础题． 13. 命题“若α=,则tan α=1”的逆否命题是( )
参考答案：
14. 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差
参考答案：
略
15. 定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：对任意正数a ，b ，若f （a ）﹣f （b ）=1，则a ﹣b ＜1，称f （x ）是（0，+∞）上的“Ⅰ级函数”．下列函数中“Ⅰ级函数”的序号是 1 f （x ）=x 3②f（x ）=e x ③f（x ）=x+lnx ．
参考答案：
①②③
【考点】57：函数与方程的综合运用．
【分析】根据立方差公式判断①，使用反证法判断②，利用函数单调性和对数的运算性质判断③． 【解答】解：对于①，令f （a ）﹣f （b ）=1得a 3﹣b 3=1，即（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=1，
∴a﹣b=，
∵a 3﹣b 3=1，a ，b∈（0，+∞），∴a 3=1+b 3＞1，即a ＞1，
∴a 2+ab+b 2
＞1，∴a﹣b=
＜1，
∴f（x ）=x 3是（0，+∞）上的“Ⅰ级函数”．
对于②，令f （a ）﹣f （b ）=1得e a ﹣e b
=1， 假设a ﹣b≥1，即a≥b+1，则e a
≥e b+1
=e?e b
， ∴e a ﹣e b ≥e?e b ﹣e b =（e ﹣1）e b ， ∵b＞0，∴e a ﹣e b ≥（e ﹣1）e b ＞1， 与e a
﹣e b
=1矛盾，∴a﹣b ＜1，
∴f（x ）=e x 是（0，+∞）上的“Ⅰ级函数”．
对于③，令f （a ）﹣f （b ）=1得a ﹣b+lna ﹣lnb=1，∴a﹣b=1+ln ，
∵f（x ）=x+lnx 是增函数，且f （a ）﹣f （b ）=1， ∴a＞b ，∴ln ＜ln1=0， ∴a﹣b=1+ln
＜1．
∴f（x ）=x+lnx 是（0，+∞）上的“Ⅰ级函数”． 故答案为：①②③．
【点评】本题考查了对新定义的理解，函数单调性与函数大小比较，属于中档题．
16. 直线
互相垂直，则的值
是 参考答案：
m=0,m=
略
17. 在△ABC 中，若 _
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）若直线为函数f(x)的一条切线,求实数m的值；
（2）讨论函数f(x)的零点的个数.
参考答案：
(1) ；(2) 当或时, f(x)有1个零点;当时, f(x)有2个零点;当时, f(x)没有零点.
【分析】
(1)本题可通过“直线为函数的一条切线”得出切点处的斜率为以及切点的纵坐标为，即可列出算式并通过计算得出结果；
(2)本题可通过求导判断出函数的最小值，然后通过最小值与比较大小即可判断出根的个数。

【详解】(1)因为，所以，
因为直线为函数的一条切线，
所以此时，，
解得，。

(2)，
当时，，函数为单调递增函数，
，故有且仅有一个零点，
当时，时，；
时，，函数为减函数；
时，，函数为增函数；
所以当时，最大，，
①当时，即时，函数仅有一个零点；②当时，即时，函数没有零点；
③当时，即时，则有且当时
，故函数有且仅有两个零点，
综上所述，当或时,有一个零点；当时,有两个零点；当
时,没有零点。

【点睛】本题考查了导函数的相关性质，主要考查函数上某一点处的切线方程的相关性质以及利用导数求函数单调性以及最值，考查推理能力，考查化归与转化思想，是难题。

19. (本小题12分)
已知椭圆C:( )的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线与椭圆C交于不同的两点A，B，求△AOB (O为坐标原点)面积.
参考答案：
解：（1）依题意可设椭圆的方程为···········1分
则，解得································3分
········································5分
椭圆的方程为··································6分
（2）设··········································7分
联立方程，消去，并整理得：·········9分
····················································10分
=·
即：又
20. （本小题满分12分）设.
（Ⅰ）利用作差法比较与的大小；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）利用（Ⅰ）（Ⅱ）的结论，证明：．参考答案：
（1），∴ (4分)
（Ⅱ）；
（7分）
（Ⅲ）由（1）得
类似的，，（9分）∴
（12分）
略
21. （1）在的展开式中，若第项与第项系数相等，且等于多少？
（2）的展开式奇数项的二项式系数之和为，则求展开式中二项式系数最大项。

参考答案：
解析：（1）由已知得
（2）由已知得，而展开式中二项式
系数最大项是。

22. 已知椭圆的长轴长为6，焦距为，求椭圆的标准方程．
参考答案：
【考点】椭圆的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设椭圆的标准方程，由椭圆的长轴长为6，焦距为，分别求出a，b，c，由此能求出椭圆的标准方程．
【解答】解：当焦点在x轴时，设椭圆方程为（a＞b＞0），
∵椭圆的长轴长为6，焦距为，
∴a=3，c=2，b2=9﹣8=1，
∴椭圆方程为．
当焦点在y轴时，设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），
∵椭圆的长轴长为6，焦距为，
∴a=3，c=2，b2=9﹣8=1，
∴椭圆方程为．
故椭圆的标准方程为或．
【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用，易错点是容易忽视焦点在y轴上的椭圆方程．。