高中数学北师大版必修一：：1.1《集合的含义及其表示》课件(1)

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题型三 集合的表示方法——列举法与描述法 【例 3】 用适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集， 哪些是无限集． ①大于 1 且小于 10 的自然数组成的集合； ②大于 1 且小于 10 的实数组成的集合； ③方程 x2－x－2＝0 的实数解组成的集合； ④平面直角坐标系中函数 y＝－x＋2 图像上的点组成的集合． [思路探索] 将文字语言转换为符号语言，并用集合的形式表 示．用哪种表示方法要结合具体情况，灵活选择．而且有些集 合两种方法都行．
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解 (1)中“美丽”的范畴太广，不具有集合元素的确定性，因 此不能组成集合； (2) 中 的 元 素 可 以 列 举 出 来 ： 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共 21 个数； (3)中接近 0 的界限不明确； (4)中元素具有无限个，但条件明确，即所有横、纵坐标均大于 0 的点均在该集合中． 综上可知(2)(4)能组成集合；(1)(3)不能组成集合．
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规律方法 (1)集合的表示方法要根据情况灵活选择．一般地， 有限集常用列举法，无限集常用描述法． (2)利用描述法表示集合时，要搞清集合中的代表元素是什么，
如 A＝{y|y＝x3}，B＝{(x，y)|y＝x3}，则 A 中的元素为数 y，B 中的元素为点(x，y)．
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课堂讲练4,5,6,7,8,9}，或者所求集合为{x∈N|1＜x ＜10}； ②所求集合为{x∈R|1＜x＜10}； ③所求集合为{2，－1}，或者{x|x＝2 或 x＝－1}； ④所求集合为{(x，y)|y＝－x＋2}． 其中①、③是有限集；②、④是无限集．
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5．集合的表示方法 (1)列举法：把集合中的 元素 一一列举出来，写在 大括号 内 的方法． (2)描述法：用确定的 条件 表示某些对象属于一个集合，并写 在大括号内表示集合的方法． 格式：{x∈A|P(x)}，其中 x 是集合中的代表元素，A 是 x 的取 值范围，P(x)是 x 满足的共同特征．竖线不可省略．
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题型二 元素与集合的关系
【例 2】 已知所有奇数组成集合 M，则有( )．
A．1∉M
B．0∈M
C．2∈M
D．－1∈M
[思路探索] 根据集合 M 的元素特点，容易判断．
解析 A，B，C 不符合集合 M 的要求，只有 D 正确．
答案 D
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2．对集合的表示方法的理解 (1)列举法 用列举法表示集合时，必须注意如下几点：①元素与元素之间 必须用“，”隔开；②集合的元素必须是明确的；③不必考虑 元素出现的先后顺序；④集合的元素不能重复；⑤集合的元素 可以表示任何事物；⑥对含有较多元素的集合，如果构成该集 合的元素具有明显的规律，可用列举法表示，但是必须把元素 间的规律显示清楚后，才能用省略号表示，如 N＋＝{1,2,3，…}．
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错解误把点集当数集，与{y|y＝x2，－1≤x≤1，x∈ Z}混淆．因此，解集合题时一定要弄清集合的本质是什么，而 集合的本质取决于代表元素的表现形式．
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[正解] 由－1≤x≤1(x∈Z)，得 x＝－1,0,1，代入 y＝x2，得 x＝－1， x＝0， x＝1， y＝1， y＝0， y＝1， ∴A＝{(－1,1)，(0,0)，(1,1)}．
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规律方法 判定指定对象能否构成集合，关键是看作为集合的 元素是否具有确定性，也就是在于能否找到一个明确的标准， 来衡量某一对象是否在这个标准内．另外，还要注意集合中元 素的互异性和无序性．
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【训练 1】 下列能构成集合的是( )． A．中央电视台著名节目主持人 B．北京市内跑得快的汽车 C．上海市所有的高中生 D．爱好唱歌的人 解析 A，B，D 中没有明确的标准，不符合集合的定义，不能 构成集合，只有 C 能构成集合． 答案 C
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3．空集 理解空集应注意：0，∅，{0}，{∅}是不同的.0 表示一个元素(一 个数)；∅表示一个集合，不含任何元素的集合；{0}表示只含有 一个元素 0 的集合；{∅}是由∅组成的单元素集，因此∅∈{∅}．
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题型一 集合的概念理解 【例 1】 考察下列每组对象能否组成一个集合． (1)美丽的小鸟； (2)不超过 20 的非负整数； (3)立方接近零的正数； (4)直角坐标系中，第一象限内的点． [思路探索] 首先分析各组的对象是否具有确定性，再作出判 断．
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3．集合中元素的特征 集合的元素必须是 确定的 ，不能确定的对象不能构成集合．集 合的元素一定是 互异的 ，相同的几个对象归于同一个集合时 只能算作一个元素．集合的元素是无顺序差别的 ． 4．几个特殊数集的记法： 非负整数集(或自然数集)N ，正整数集 N＋，整数集 Z ，有理 数集 Q ，实数集 R .
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解 (1)∵A＝∅，∴关于 x 的方程 ax2－3x＋2＝0 无实根，故
a≠0， Δ＝9－8a＜0，
解得 a＞98.
(2)∵A 中只有一个元素，∴关于 x 的方程 ax2－3x＋2＝0 只有
一个实根或有两个相等的实根．当 a＝0 时，方程只有一个实根
x＝23；当 a≠0 时，Δ＝9－8a＝0，解得 a＝98.
规律方法 研究元素与集合的关系，一定要先弄清集合的构 成．根据集合中元素的特征解决问题．
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【训练 2】 给出下列命题： ①若 a∈Z，且 a∈N，则 a∈N＋； ②若 a∈N，则－a∉N； ③若 a∈N，b∈N，则 a＋b 的最小值是 2. 其中所有正确命题的个数为( )． A．0 B．1 C．2 D．3
研究一个集合首先要看集合中代表元素的表现形式， 然后看元素的限制条件．
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6．集合的分类 按照集合中元素个数是否有限将集合分为有限集 和无限集 ．不 含任何元素的集合叫做 空集 ，记作 ∅ .
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名师点睛 1．对集合概念的理解 集合如同平面几何中点、线、平面等概念一样，是集合论中的 原始概念，只进行描述说明，无法定义概念．教材中对集合的 描述是：“指定的某些对象的全体称为集合．”应抓住“指 定”“对象”“全体”三点加以全面理解．
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【核心扫描】 1．集合的基本概念．(重点) 2．集合的表示方法．(重点) 3．理解空集的概念．(难点) 4．准确认识集合中代表元素的表现形式．(疑点)
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1．集合与元素的概念 一般地，指定的某些对象的 全体 称为集合，集合中的每个对象 叫做这个集合的元素． 2．元素与集合的关系 若元素 a 在集合 A 中，就说元素 a 属于集合 A，记作 a∈A； 若元素 a 不在集合 A 中，就说元素 a 不属于集合 A，记作 a ∉ A.
∴所求 a＝0 或 a＝98. (3)∵A 中至多一个元素．
∴A 有两种情况：A＝∅，或 A 中只有一个元素．
由(1)(2)得，所求 a 的取值范围是 a＝0 或 a≥98.
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误区警示 因忽略集合中代表元素的表现形式而出错 【示例】 用列举法表示集合 A＝{(x，y)|y＝x2，－1≤x≤1，x ∈Z}． [错解] 由－1≤x≤1(x∈Z)，得 x＝－1,0,1，代入 y＝x2，得 y＝ 1,0，∴A＝{0,1}．
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【题后反思】 集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高 次项系数的取值进行分类讨论，确定方程根的情况，进而求得 结果．在讨论一元二次方程的实数根个数时需特别关注判别式 的作用．
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【训练 4】 已知集合 A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，其中 a 为实数． (1)若 A 是空集，求实数 a 的取值范围； (2)若 A 中只有一个元素，求实数 a 的值； (3)若 A 中至多有一个元素，求实数 a 的取值范围．
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§1 集合的含义与表示
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【课标要求】 1．使学生初步理解集合的基本概念和集合中元素的特性，能举 出是集合的例子和不是集合的例子． 2．了解“属于”关系的意义，会判断给定元素与给定集合的关 系． 3．掌握表示集合方法，会用列举法与描述法表示集合，能将集 合的两种表示相互转化．
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解析 ∵Z 表示整数集，N 表示自然数集，N＋表示正整数集． ∴①当 a∈Z，且 a∈N 时不能推出 a∈N＋. 例如 a＝0 时，a∈Z 且 a∈N，但 a∉N＋.故①不正确； ②当 a＝0 时，a∈N，－a＝0∈N，故②也不正确； ③当 a∈N 时，a 的最小值为 0，同样 b 的最小值也为 0，故 a ＋b 的最小值为 0，从而③也不正确． 综上可知，正确命题的个数为 0，故选 A. 答案 A
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【解题流程】
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[规范解答] (1)当 a＝0 时，方程转化为－2x＋2＝0，解得 x＝1， 此时 M＝{1}，满足条件；(4 分) (2)当 a≠0 时，方程为一元二次方程，此时只需 Δ＝4－8a≤0， 即 a≥12时，方程无根或有两个相等的实数根．(10 分) 综合(1)(2)可知，当 a≥12或 a＝0 时，集合 M 中至多有一个元 素．(12 分)
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题型四 集合与方程的综合问题 【例 4】 (本题满分 12 分)集合 M＝{x|ax2－2x＋2＝0，x∈R} 中至多有一个元素，求实数 a 的取值范围． 审题指导 集合 M 中至多有一个元素可以转化为讨论方程 ax2 －2x＋2＝0 的根的个数问题．由于方程中最高次项的系数为参 数，因此需对参数进行讨论．
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想一想：请你结合具体例子，试比较用列举法、描述法表示集 合时，各自的特点和适用对象？ 提示 列举法的特点是集合中元素清楚，适用于有限集(元素个 数较少)或有很强的规律性的无限集(如正整数集 N＋＝ {1,2,3，…})．描述法的特点是体现集合中元素的所有共同的属 性，有一定的格式要求，适用于能找到共同属性的无限集和有 限集．
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(2)描述法 用符号描述法表示集合时注意：①弄清元素所具有的形式(即代 表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是 其他形式？②元素具有怎样的属性？当用了其他字母来描述元 素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所 迷惑．
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【训练 3】 试选择适当的方法表示下列集合： (1)由方程 x2－2x＋1＝0 的所有实数根组成的集合 A； (2)由不等式 2x＋1＞0 的所有解组成的集合 B. 解 (1)用列举法表示： 方程 x2－2x＋1＝0 的实数根为 1，因此 A＝{1}． (2)不等式 2x＋1＞0 的解有无数个，且它们的共同特征是 x∈R 且 2x＋1＞0，所以这个集合可用描述法表示为 B＝{x∈R|2x＋1 ＞0}．