2018高考数学大一轮复习 第五章 平面向量教师用书 理

第五章⎪
⎪
⎪ 平面向量
第一节
平面向量的概念及线性运算
突破点(一) 平面向量的有关概念
[典例] (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使|a |＝b |b |
成立的充分条件是( )
A ．a ＝－b
B ．a ∥b
C ．a ＝2b
D ．a ∥b 且|a |＝|b |
(2)设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a
与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[解析] (1)因为向量a |a |的方向与向量a 相同，向量b |b |的方向与向量b 相同，且a
|a |
＝
b |b |，所以向量a 与向量b 方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b
|b |
，故a ＝2b 是
a |a |＝b
|b |
成立的充分条件． (2)向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
[答案] (1)C (2)D [易错提醒]
(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小； (2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；
③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；
④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( )
A ．②③
B ．①②
C ．③④
D ．①④
解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC .又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC .③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.
2．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．错误的命题有3个，故选C.
3．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则图中与OC 相等的向量有________．
答案：AB ，ED ，FO
4．如图，△ABC 和△A ′B ′C ′是在各边的1
3处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC
的边长为a ，图中列出了长度均为a
3
的若干个向量，则
(1)与向量GH 相等的向量有________；
(2)与向量GH 共线，且模相等的向量有________； (3)与向量EA 共线，且模相等的向量有________． 解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等． 向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．
答案：(1) LB '，HC (2)EC '，LE ，LB '，GB ，HC (3)EF ，FB ，HA '，HK ，KB '
突破点(二) 平面向量的线性运算
1．向量的线性运算
2.平面向量共线定理
向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .
[例1] (1)在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( ) A.13b ＋2
3c B.53c －23b C.23b －13
c D.23b ＋13
c (2)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ＝12NC ，P 是BN 上一点，若AP ＝m AB ＋2
9AC ，
则实数m 的值是________．
[解析] (1)由题可知BC ＝AC －AB ＝b －c ，∵BD ＝2DC ，∴BD ＝23BC ＝2
3(b
－c )，则AD ＝AB ＋BD ＝c ＋23(b －c )＝23b ＋1
3
c ，故选D.
(2)如图，因为AN ＝12NC ，所以AN ＝13AC ，所以AP ＝m AB ＋29AC ＝m AB ＋
2
3
AN .因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋2
3＝1，则m ＝13
.
[答案] (1)D (2)1
3
[方法技巧]
1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较，观察可知所求．
平面向量共线定理的应用
[例2] 设两个非零向量a 和b 不共线．
(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线． (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．
[解] (1)证明：因为AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，
所以BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB ，所以AB ，BD 共线． 又AB 与BD 有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为ka ＋b 与a ＋kb 共线，
所以存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1.
即k ＝1或－1时，ka ＋b 与a ＋kb 共线． [方法技巧]
平面向量共线定理的三个应用
(1)证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ＝λAC ，AB 与AC 有公共点A ，则A ，B ，
C 三点共线．
(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一]如图所示，下列结论正确的是( )
①PQ ＝32a ＋32b ；②PT ＝32a －b ；③PS ＝32a －1
2b ；④PR ＝
3
2
a ＋
b . A ．①② B ．③④ C ．①③
D ．②④
解析：选C 根据向量的加法法则，得PQ ＝32a ＋3
2b ，故①正确；根据向量的减法法则，
得PT ＝32a －32b ，故②错误；PS ＝PQ ＋QS ＝32a ＋32b －2b ＝32a －1
2b ，故③正确；PR ＝PQ
＋QR ＝32a ＋32b －b ＝32a ＋1
2
b ，故④错误．故选C.
2.[考点二]已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则
A ，
B ，
C 三点共线的充要条件为( )
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1
解析：选D ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC ，设AB ＝m AC (m ≠0)，则λa ＋b
＝m (a ＋μb )，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ＝m ，
1＝m μ， ∴λμ＝1，故选D.
3.[考点一]在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，
DE 交AF 于H ，记AB ，BC 分别为a ，b ，则AH ＝( )
A.25a －4
5b B.25a ＋45b C ．－25a ＋45
b
D ．－25a －45
b
解析：选B 如图，过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，则G 是DE
的中点，且GF ＝12EC ＝14BC ，∴GF ＝14AD ，则△AHD ∽△FHG ，从而HF ＝1
4AH ，
∴AH ＝45AF ，AF ＝AD ＋DF ＝b ＋12a ，∴AH ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋4
5
b ，故选B.
4.[考点二]已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同．若a ，tb ，13
(a ＋
b )三向量的终点在同一直线上，则t ＝________.
解析：∵a ，tb ，1
3(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，且a 与b 起点相同．∴a －tb
与a －13(a ＋b )共线，即a －tb 与23a －1
3b 共线，∴存在实数λ，使a －tb ＝λ
⎝ ⎛⎭
⎪⎫23a －13b ，∴
⎩⎪⎨⎪⎧
1＝2
3λ，t ＝13λ，解得λ＝32，t ＝12，若a ，tb ，1
3
(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，则t
＝12
. 答案：12
[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2015·新课标全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋4
3AC
B ．AD ＝13AB －4
3AC
C ．A
D ＝43AB ＋1
3AC
D ．AD ＝43AB －1
3
AC
解析：选A AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋13BC ＝AC ＋13(AC －AB )＝43AC －1
3AB
＝－13AB ＋4
3
AC ，故选A.
2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝( )
A ．AD B.12AD C ．BC D.1
2
BC
解析：选A EB ＋FC ＝12(AB ＋CB )＋1
2(AC ＋BC )＝
1
2
(AB ＋AC )＝AD ，故选A. 3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.
解析：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，
即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
λ＝t ，1＝2t ，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
λ＝12
，
t ＝1
2.
答案：12
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．(2017·杭州模拟)在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB ＝a ，CA ＝b ，则AM ＝( )
A.1
2a －b B.1
2a ＋b C ．a －12
b
D ．a ＋1
2
b
解析：选A AM ＝AC ＋CM ＝－CA ＋12CB ＝－b ＋1
2
a ，故选A.
2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC ＋CB ＝0，则向量OC 等于( ) A.23 OA －1
3OB B ．－13OA ＋2
3OB
C ．2OA －OB
D ．－OA ＋2OB
解析：选C 因为AC ＝OC －OA ，CB ＝OB －OC ，所以2AC ＋CB ＝2(OC －
OA )＋(OB －OC )＝OC －2OA ＋OB ＝0，所以OC ＝2OA －OB .
3．在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )
A ．矩形
B ．平行四边形
C ．梯形
D ．以上都不对
解析：选C 由已知得，AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b
＝2(－4a －b )＝2BC ，故AD ∥BC .又因为AB 与CD 不平行，所以四边形ABCD 是梯形．
4．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．0
解析：选D 依题意，设a ＋b ＝mc ，b ＋c ＝na ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝mc －na ，即a －c ＝mc －na .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.
5．已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝________.
解析：由MA ＋MB ＋MC ＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则AM ＝23AD ＝23×12(AB ＋AC )＝1
3
(AB ＋AC )，所以AB ＋AC ＝3AM ，故m ＝3.
答案：3
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB ＋32MA ＋3
2MC ＝0，D 是AC 的中点，则
|MD |
|BM |
的值为( )
A.13
B.1
2
C ．1
D ．2
解析：选A ∵D 是AC 的中点，如图，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ，
∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD ＝12ME ＝1
2
(MA ＋MC )，∴
MA ＋MC ＝2MD .∵MB ＋32MA ＋32MC ＝0，∴MB ＝－32
(MA
＋MC )＝－3MD ，∴BM ＝3MD ，∴|MD ||BM |＝|MD ||3MD |＝1
3
，故选A.
2．在△ABC 中，BD ＝3DC ，若AD ＝λ
1
AB ＋λ2AC ，则λ1λ2的值为( )
A.116
B.316
C.12
D.109
解析：选 B 由题意得，AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋34BC ＝AB ＋34(AC －AB )＝
14
AB ＋3
4AC ，∴λ1＝14，λ2＝34，∴λ1λ2＝316
.
3．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ＝2BD ， CE ＝2EA ，
AF ＝2FB ，则AD ＋BE ＋CF 与BC ( )
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
解析：选A 由题意得AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋13BC ，BE ＝BA ＋AE ＝BA ＋
1
3
AC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋1
3BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13
(BC ＋AC －
AB )＝CB ＋2
3BC ＝－13
BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．
4．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO ＝0，则△ABC 的内角A 等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
解析：选A 由OA ＋OB ＋CO ＝0，得OA ＋OB ＝OC ，由O
为△ABC 外接圆的圆心，可得|OA |＝|OB |＝|OC |.设OC 与AB 交于点D ，如图，由OA ＋OB ＝OC 可知D 为AB 的中点，所以OC ＝2OD ，
D 为OC 的中点．又由|OA |＝|OB |可知OD ⊥AB ，即OC ⊥AB ，所以四边形OACB 为菱形，所
以△OAC 为等边三角形，即∠CAO ＝60°，故A ＝30°.
5．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且
AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，则
xy
x ＋y
的值为( ) A ．3 B.13 C ．2 D.1
2
解析：选B 由已知得M ，G ，N 三点共线，所以AG ＝λAM ＋(1－λ)AN ＝λx AB ＋(1－λ)y AC .∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23×12(AB ＋AC )＝1
3
(AB ＋AC )，∴
⎩
⎪⎨⎪
⎧
λx ＝13，
－λ
y ＝13
，
即⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝13x
，
1－λ＝1
3y
，得13x ＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分得x ＋y xy
＝3，∴
xy x ＋y ＝1
3
. 6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ＝AB ＋3AC ，则△ABM 与△ABC
的面积的比值为( )
A.15
B.25
C.35
D.45
解析：选C 设AB 的中点为D ，如图，连接MD ，MC ，由5AM ＝AB
＋3AC ，得5AM ＝2AD ＋3AC ①，即AM ＝25AD ＋3
5AC ，
即25＋3
5
＝1，故C ，M ，D 三点共线，又AM ＝AD ＋DM ②，①②联立，得5DM ＝3DC ，即在△ABM 与△ABC 中，边AB 上的高的比值为3
5，所以△ABM 与△ABC
的面积的比值为3
5
.
二、填空题
7．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出下列命题：①AD ＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋1
2
b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.
其中正确命题的个数为________．
解析：由BC ＝a ，CA ＝b 可得AD ＝12CB ＋AC ＝－12a －b ，BE ＝BC ＋1
2CA ＝a
＋12b ，CF ＝12(CB ＋CA )＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，AD ＋BE ＋CF ＝－12a －b ＋a ＋1
2b －12a ＋1
2
b ＝0，所以①错，②③④正确．所以正确命题的个数为3. 答案：3
8．若|AB |＝|AC |＝|AB －AC |＝2，则|AB ＋AC |＝________.
解析：∵|AB |＝|AC |＝|AB －AC |＝2，∴△ABC 是边长为2的正三角形，∴|AB ＋AC |为△ABC 的边BC 上的高的2倍，∴|AB ＋AC |＝2×2sin π
3
＝2 3.
答案：2 3
9．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB －OC |＝|OB ＋OC －2OA |，则△ABC 的形状为________．
解析：因为OB ＋OC －2OA ＝OB －OA ＋OC －OA ＝AB ＋AC ，OB －OC ＝
CB ＝AB －AC ，所以|AB ＋AC |＝|AB －AC |，即AB ·AC ＝0，故AB ⊥AC ，
△ABC 为直角三角形．
答案：直角三角形
10．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，
若AE ＝AD ＋μAB ，则μ的取值范围是________．
解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ＝2DC .∵点E 在线段CD 上，∴DE ＝λDC (0≤λ≤1)．∵AE ＝AD ＋DE ，又AE ＝AD ＋μAB ＝AD ＋2μDC ＝AD ＋
2μλDE ，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤1
2，即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12
三、解答题
11.如图，以向量OA ＝a ，OB ＝b 为邻边作▱OADB ，BM ＝
13
BC ， CN ＝1
3
CD ，用a ，b 表示OM ， ON ，MN .
解：∵BA ＝OA －OB ＝a －b ，BM ＝16BA ＝16a －1
6
b ，
∴OM ＝OB ＋BM ＝b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －16b ＝16a ＋5
6
b .
又∵OD ＝a ＋b ，
∴ON ＝OC ＋13CD ＝12OD ＋1
6OD
＝23OD ＝23a ＋2
3
b ， ∴MN ＝ON －OM ＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .
综上，OM ＝16a ＋56b ，ON ＝23a ＋23b ，MN ＝12a －1
6b .
12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝
2
3
AD ，AB ＝a ，AC ＝b . (1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF ； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解：(1)延长AD 到G ，
使AD ＝1
2
AG ，
连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，如图， 所以AG ＝AB ＋AC ＝a ＋b ，
AD ＝12AG ＝12
(a ＋b )， AE ＝23
AD ＝13
(a ＋b )， AF ＝12
AC ＝12
b ，
BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13
(b －2a )， BF ＝AF －AB ＝12
b －a ＝12
(b －2a )．
(2)证明：由(1)可知BE ＝2
3BF ，
又因为BE ，BF 有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线． 第二节
平面向量基本定理及坐标表示
突破点(一) 平面向量基本定理
平面向量基本定理
如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
本节主要包括2个知识点： 1.平面向量基本定理； 2.平面向量的坐标表示.
[例1] 如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A ．e 1与e 1＋e 2
B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2
C ．e 1＋e 2与e 1－e 2
D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1
[解析] 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨
⎪⎧
1＝λ，
1＝0无解；
选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨
⎪⎧ 1＝λ，
－2＝2λ无解；
选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＝λ，
1＝－λ无解；
选项D 中，e 1＋3e 2＝1
2(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的
一组基底．
[答案] D
[易错提醒]
某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量．
平面向量基本定理的应用
[例2] (2016·江西南昌二模)如图，在△ABC 中，设AB ＝a ，
AC ＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP
＝( )
A.12a ＋1
2b B.13a ＋23b C.27a ＋47
b D.47a ＋27
b [解析] 如图，连接BP ，则AP ＝AC ＋CP ＝b ＋PR ，①
AP ＝AB ＋BP ＝a ＋RP －RB ，②
①＋②，得2AP ＝a ＋b －RB ，③
又RB ＝12QB ＝12(AB －AQ )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12 AP ，④
将④代入③，得2AP ＝a ＋b －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12 AP ，
解得AP ＝27a ＋4
7b .
[答案] C [方法技巧]
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点二](2017·潍坊模拟)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝1
3
AB ，
BQ ＝13
BC ，若AB ＝a ，AC ＝b ，则PQ ＝( )
A.13a ＋13b B ．－13a ＋13b
C.13a －13
b D ．－13a －13
b
解析：选 A 由题意知PQ ＝PB ＋BQ ＝23AB ＋13BC ＝23AB ＋13(AC －AB )＝
1
3
AB ＋13AC ＝13a ＋13
b ，故选A.
2.[考点一](2016·泉州调研)若向量a ，b 不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是( )
A ．a －2b 与－a ＋2b
B ．3a －5b 与6a －10b
C ．a －2b 与5a ＋7b
D ．2a －3b 与12a －34
b
解析：选C 不共线的两个向量可以作为一组基底．因为a －2b 与5a ＋7b 不共线，故a －2b 与5a ＋7b 可以作为一组基底．
3.[考点二]如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，
OP ＝x OA
＋y OB ，且BP ＝2PA ，则( )
A ．x ＝23，y ＝1
3
B ．x ＝13，y ＝2
3
C ．x ＝14，y ＝3
4
D ．x ＝34，y ＝1
4
解析：选A 由题意知OP ＝OB ＋BP ，又BP ＝2PA ，所以OP ＝OB ＋2
3BA ＝OB
＋23(OA －OB )＝23OA ＋13OB ，所以x ＝23，y ＝13
. 4.[考点二](2017·绵阳诊断)在△ABC 中，AN ＝1
2AC ，P 是BN 上一点，若AP ＝m AB
＋3
8
AC ，则实数m 的值为________． 解析：∵B ，P ，N 三点共线，
∴AP ＝t AB ＋(1－t )AN ＝t AB ＋1
2(1－t )AC ，
又∵AP ＝m AB ＋3
8
AC ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝t ，12
－t ＝3
8，解得m ＝t ＝1
4
.
答案：1
4
突破点(二) 平面向量的坐标表示
1．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则：
a ＋
b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 2
1.
(2)向量坐标的求法
若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．
2．平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.
平面向量的坐标运算
[例1] 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且
CM ＝3c ，CN ＝－2b ，
(1)求3a ＋b －3c ；
(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．
[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．
(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＝－1，n ＝－1.
即所求实数m 的值为－1，n 的值为－1. (3)设O 为坐标原点， ∵CM ＝OM －OC ＝3c ，
∴OM ＝3c ＋OC ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， 即M (0,20)．
又∵CN ＝ON －OC ＝－2b ，
∴ON ＝－2b ＋OC ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， 即N (9,2)．
∴MN ＝(9，－18)． [方法技巧]
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
平面向量共线的坐标表示
[例2] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．
(1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线；
(2)若AB ＝2a ＋3b ，BC ＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，
a ＋2
b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，
∵ka －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－1
2
.
(2)AB ＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
BC ＝a ＋mb ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．
∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥BC ，∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32.
[方法技巧]
向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式
(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．
(2)当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2
，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．
(3)公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2
有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一]若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，52，则c 可用向量a ，
b 表示为( )
A.1
2a ＋b B.－1
2a －b
C.32a ＋12
b D.32a －12
b
解析：选 A 设c ＝xa ＋yb ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ＝0，x ＋2y ＝5
2，解得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12，
y ＝1，
则c ＝1
2
a ＋
b .
2.[考点一]已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2) D ．(－2,0) 解析：选A MN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N (x ，y )，则MN ＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －5＝－3，y ＋6＝6，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝0，即N (2,0)．
3.[考点二]已知向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )
A ．－23 B.43 C.12 D.1
3
解析：选A AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(－2k ，－2)．∵A ，
B ，
C 三点共线，∴AB ，AC 共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－2
3
.
4.[考点二]已知梯形ABCD ，其中AB ∥DC ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．
解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥DC ，∴DC ＝2AB .设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ＝(4－x ，2－y )，AB ＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．
答案：(2,4)
5.[考点二]已知OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ， OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，那么t 为何值时，C ，D ，E 三点共线？
解：由题设知，CD ＝OD －OC ＝d －c ＝2b －3a ，
CE ＝OE －OC ＝e －c ＝t (a ＋b )－3a ＝(t －3)a ＋tb .
C ，
D ，
E 三点共线的充要条件是存在实数k ，
使得CE ＝k CD ，
即(t －3)a ＋tb ＝－3ka ＋2kb ， 整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b . 若a ，b 共线，则t 可为任意实数；
若a ，b 不共线，则有⎩
⎪⎨
⎪⎧
t －3＋3k ＝0，
2k －t ＝0，
解得t ＝6
5
.
综上，可知a ，b 共线时，t 可为任意实数；a ，b 不共线时，t ＝6
5
.
[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC ＝(－4，－3)，则向量BC ＝( )
A ．(－7，－4)
B ．(7,4)
C ．(－1,4)
D ．(1,4)
解析：选A 设C (x ，y )，则AC
＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－4，
y －1＝－3，解得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－4，y ＝－2，
从而BC ＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.
2．(2016·全国甲卷)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a∥b ，∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6. 答案：－6
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．若向量AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则BC ＝( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(3,7)
D ．(－3，－7)
解析：选B 由向量的三角形法则，BC ＝AC －AB ＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．故选B.
2．(2017·丰台期末)已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(x ，y )，若a ∥b ，则( ) A ．3x －4y ＝0 B ．3x ＋4y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0
D ．4x －3y ＝0
解析：选C 由平面向量共线基本定理可得3y ＋4x ＝0，故选C.
3．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12)
B ．(23,12)
C ．(7,0)
D ．(－7,0)
解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x,12＋y )
＝(0,0)，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
23＋x ＝0，
12＋y ＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－23，
y ＝－12，
所以c ＝(－23，－12)．
4．若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB ＝(3,5)，AC ＝(2,4)，则AD ＝( ) A ．(－1，－1) B ．(5,9) C ．(1,1)
D ．(3,5)
解析：选A 由题意可得AD ＝BC ＝AC －AB ＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)． 5．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________． 解析：AB ＝(a －1,3)，AC ＝(－3,4)，据题意知AB ∥AC ，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－5
4
.
答案：－5
4
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )，若a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(7,2) B ．(7，－14) C ．(7，－4) D ．(7，－8)
解析：选B ∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．
2．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2
D ．0
解析：选B 因为a 与b 方向相反，所以b ＝ma ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
4＝mx ，
x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，
∴m ＝－2，x ＝m ＝－2.
3．已知在平行四边形ABCD 中，AD ＝(2,8)，AB ＝(－3,4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM ＝( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－6
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，6
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－6 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，6 解析：选B 因为在平行四边形ABCD 中，有AC ＝AB ＋AD ，AM ＝1
2AC ，所以AM
＝12(AB ＋AD )＝12[(－3,4)＋(2,8)]＝12×(－1,12)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，6，故选B.
4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，
d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )
A ．(2,6)
B ．(－2,6)
C ．(2，－6)
D ．(－2，－6)
解析：选D 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b －2c ＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6，20)，2(a －c )＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)，又4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．
5．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝(3,7)，AB ＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO 的坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－5 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－5 解析：选D AC ＝AB ＋AD ＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC ＝12AC ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，5.
∴CO ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－5.
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π
4
，|OC |＝2，若OC ＝λOA ＋μOB ，则λ＋μ＝( )
A ．2 2 B. 2 C ．2
D ．4 2
解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π
4，所以C (2，2)，又OC ＝λOA ＋μOB ，
所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.
二、填空题
7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若 PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.
解析：AQ ＝PQ －PA ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC ＝2AQ ＝2(－3,2)＝(－6,4)．PC ＝PA ＋AC ＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝3(－2,7)＝(－6,21)．
答案：(－6,21)
8．已知向量AC ，AD 和AB 在正方形网格中的位置如图所示，若AC ＝λAB ＋μAD ，则λμ＝________.
解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC ＝(2，－
2)，AB ＝(1,2)，AD ＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)
＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨
⎪
⎧
2＝λ＋μ，－2＝2λ，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
λ＝－1，μ＝3，
所以λμ＝－3.
答案：－3
9．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．
解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨
⎪
⎧
－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝－12，
n ＝－7.
此时a ＝b ＝(－13，－23)．
答案：{(－13，－23)}
10．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ＝λAM ＋μAN ，则λ＋μ＝________.
解析：由AB ＝λAM ＋μAN ，得AB ＝λ·12(AD ＋AC )＋μ·1
2(AC ＋AB )，
则⎝
⎛⎭⎪⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋λ2＋μ2AC ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
λ2＋μ2⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ＋12 AD ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋34μ－1AB ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫λ＋μ2AD ＝0.又因为AB ，AD 不共线，
所以由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧
14λ＋3
4
μ－1＝0，λ＋μ
2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝－45，μ＝8
5.
所以λ＋μ
＝4
5
. 答案：45
三、解答题
11．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝1
3
BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设
BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .
解：EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝1
3b －a ，
DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭
⎪⎫16b －a ＝a －23b .
12.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为2π
3.
如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC ＝x OA ＋
y OB ，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．
解：以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B －12，32，设∠AOC ＝αα∈0，2π
3，
则C (cos α，sin α)，
由OC ＝x OA ＋y OB ，得⎩⎪⎨
⎪
⎧
cos α＝x －12y ，sin α＝3
2y ，
所以x ＝cos α＋
33sin α，y ＝23
3
sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，
又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则α＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.
所以当α＋π6＝π2，即α＝π
3
时，x ＋y 取得最大值2.
第三节
平面向量的数量积及其应用
突破点(一) 平面向量的数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角．
(2)范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直．
2．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.
(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． (3)坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．
(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律
).
1.利用坐标计算数量积的步骤
第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；
第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可．
本节主要包括3个知识点： 1.平面向量的数量积； 2.平面向量数量积的应用；
3.平面向量与其他知识的综合问题.
2．根据定义计算数量积的两种思路
(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．
(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．
[典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )
A ．－7
2
B ．－12
C.32
D.52
(2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ＝23BC ，DF ＝1
6
DC ，则AE ·AF 的值为________．
[解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，所以a ·b
＝－1×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＋2×1＝52.
(2)取BA ，BC 为一组基底，则AE ＝BE －BA ＝2
3
BC －BA ，AF ＝AB ＋BC ＋
CF ＝－BA ＋BC ＋
512BA ＝－7
12
BA ＋BC ，∴AE ·AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 BC －BA ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－712 BA ＋BC ＝712
|BA |2－2518BA ·BC ＋23|BC |2＝712×4－25
18×2×1×12＋23＝29
18
.
[答案] (1)D (2)29
18
[易错提醒]
(1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．已知AB ＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A ．－322
B ．－3 5 C.32
2
D ．3 5
解析：选C 因为点C (－1,0)，D (4,5)，所以CD ＝(5,5)，又AB ＝(2,1)，所以向量AB 在CD 方向上的投影为
|AB |cos 〈AB ，CD 〉＝
AB ·CD |CD |
＝1552＝32
2.
2．在边长为1的等边△ABC 中，设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )
A ．－3
2
B ．0 C.32
D ．3
解析：选 A 依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－32. 3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD ·CD ＝( ) A ．－32a 2
B ．－34a 2
C.34
a 2 D.32
a 2 解析：选 D 如图所示，∵BD ＝BA ＋BC ，CD ＝BA ，∴
BD ·CD ＝(BA ＋BC )·BA ＝BA 2＋BC ·BA ＝a 2＋a ·a cos
60°＝32
a 2
.故选D.
4．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. 解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝
－
2
＋－
2
＝210，又|b|＝10，向
量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a||b|cos 60°＝210×10×1
2
＝10.
答案：10
5.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ＝4AC ，
则
OC ·(OB －OA )＝________.
解析：由已知得|AB |＝2，|AC |＝
24
， 则OC ·(OB －OA )＝(OA ＋AC )·AB ＝OA ·AB ＋AC ·AB ＝1×2cos 3π4＋24×2＝－12
.
答案：－12
突破点(二) 平面向量数量积的应用
平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.
1.第一，计算出这两个向量的坐标；
第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
[例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )
A ．|b |＝1
B ．a ⊥b
C ．a ·b ＝1
D ．(4a ＋b )⊥BC
(2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )
A ．－92
B ．0
C ．3 D.152
[解析] (1)在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos
120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2
＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，
故选D.
(2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0. ∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)， ∴2a －3b ＝(2k －3，－6)．
∴(2k －3，－6)·(2,1)＝0，即(2k －3)×2－6＝0. ∴k ＝3.
[答案] (1)D (2)C [易错提醒]
x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要
条件，后者是它们垂直的充要条件．
平面向量模的相关问题
(1)a 2
＝a ·a ＝|a |2
； (2)|a ±b |＝
a ±b
2
＝a 2±2a ·b ＋b 2
.
[例2] (1)(2017·衡水模拟)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π
3，那么|4a －b |
＝( )
A ．2
B ．6
C ．2 3
D ．12
(2)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1
2.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |
＝________.
[解析] (1)|4a －b |2
＝16a 2
＋b 2
－8a ·b ＝16×1＋4－8×1×2×cos π
3
＝12.∴|4a －b |＝2 3.
(2)∵e 1·e 2＝1
2，
∴|e 1||e 2
e 1，e 2＝12
，∴e 1，e 2＝60°.
又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴b ，e 1＝b ，e 2＝30°.
由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝
13
2
＝233.
[答案] (1)C (2)23
3
[方法技巧]
求向量模的常用方法
(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2
＋y 2
. (2)若向量a
，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2
＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2
＝(a ±b )2
＝a 2
±2a ·b ＋b 2
，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
平面向量的夹角问题
求解两个非零向量之间的夹角的步骤
第一步 由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积 第二步 分别求出这两个向量的模
第三步
根据公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21·x 22＋y 2
2求解出这两个向量夹角的余弦值
第四步 根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角
[例3] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝22
|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹
角为( )
A.π4
B.π2
C.3π4
D ．π
(2)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝1
3，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的
夹角为β，则cos β＝________.
[解析] (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )，
得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2
－a ·b －2b 2
＝0. 又∵|a |＝22
3|b |，设〈a ，b 〉＝θ，
即3|a |2
－|a ||b |cos θ－2|b |2＝0，
∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴cos θ＝
22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π
4
. (2)∵a 2＝(3e 1－2e 2)2
＝9＋4－2×3×2×13
＝9，
b 2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－2×3×1×1
3
＝8，
a ·
b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－9×1×1×13
＝8，∴cos β＝
a ·
b |a ||b |＝8
3×22
＝
22
3
. [答案] (1)A (2)22
3
[易错提醒]
(1)向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线． (2)向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一]若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.
22
解析：选B 由题意知⎩
⎪⎨
⎪
⎧
a ＋
b a ＝0，
a ＋b
b ＝0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＋b ·a ＝0，①2a ·b ＋b 2
＝0，②将①×2－②得，
2a 2
－b 2
＝0，∴b 2
＝|b |2
＝2a 2
＝2|a |2
＝2，故|b |＝ 2.
2.[考点三]已知|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°
D ．150°
解析：选C 设向量a 与b 的夹角为θ，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ，∴c ·a ＝(a ＋b )·a ＝a 2
＋a ·b ＝0，∴|a |2
＝－|a ||b |·cos θ，∴cos θ＝－|a |2
|a ||b |＝－|a ||b |＝－1
2
，∴θ＝120°.
3.[考点二](2016·兰州一模)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋
b |＝( )
A. 5
B.10 C ．2 5
D ．10
解析：选B ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即x －2＝0，解得x ＝2，∴a ＋b ＝(3，－1)，于是|a
＋b |＝10，故选B.
4.[考点三](2017·湖北八校联考)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k ，－2)，若(a －c )∥b ，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是( )
A.55
B.15 C ．－
55
D ．－15
解析：选A 由已知得a －c ＝(3－k,3)， ∵(a －c )∥b ，
∴3(3－k )－3＝0，∴k ＝2，即c ＝(2，－2)，
∴cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝
3×2＋－
10×22
＝
5
5
. 5.[考点一]已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量ka －b 垂直，则k ＝________.
解析：∵a 与b 为两个不共线的单位向量， ∴|a |＝|b |＝1， 又a ＋b 与ka －b 垂直， ∴(a ＋b )·(ka －b )＝0， 即ka 2
＋ka ·b －a ·b －b 2
＝0，
∴k －1＋ka ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0(θ为a 与b 的夹角)，∴(k －1)(1＋cos θ)＝0.又a 与b 不共线，
∴cos θ≠－1，∴k ＝1. 答案：1
6.[考点二](2017·泰安模拟)已知平面向量a ，b 满足|b |＝1，且a 与b －a 的夹角为120°，则a 的模的取值范围为________．
解析：在△ABC 中，设AB ＝a ，AC ＝b ，则b －a ＝AC －AB ＝BC ，∵a 与b －a 的夹角为120°，∴B ＝60°，由正弦定理得1sin 60°＝|a |sin C ，∴|a |＝sin C sin 60°＝23
3
sin C ，
∵C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴sin C ∈(0,1]，∴|a |＝⎝
⎛⎦⎥⎤0，233. 答案：⎝
⎛⎦⎥⎤
0，233
突破点(三) 平面向量与其他知识的综合问题
平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具.在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查.。