高考数学考点突破——集合与常用逻辑用语：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
【考点梳理】
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词． (2)命题p ∧q ，p ∨q ，⌝p 的真假判断
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．
全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”简记为∀x ∈M ，p (x )．
(3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M 中的一个元素x 0，使p (x 0)成立”，简记为∃x 0∈M ，p (x 0)．
3．含有一个量词的命题的否定
【考点突破】
考点一、含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例1】(1)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若1x >1
y
，则x <y .在命题①p ∧q ；②p
∨q；③p∧(⌝q)；④(⌝p)∨q中，真命题是( ) A．①③B．①④
C．②③D．②④
(2)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1
x0
>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是( )
A．p∧(⌝q) B．(⌝p)∧q
C．p∧q D．(⌝p)∨q
[答案] (1)C (2)A
[解析] (1)由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③⌝q为真命题，则p∧(⌝q)为真命题；④⌝p为假命题，则(⌝p)∨q为假命题．
(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋1
x0
＝
17
4
>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，
24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(⌝q)为真命题，故选A.
【类题通法】
1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤
2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p的真假相反”.
【对点训练】
1.已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：
①p∨q；②p∧q；③(⌝p)∧(⌝q)；④(⌝p)∨q.
其中为假命题的序号为________．
[答案] ②③④
[解析] 显然命题p 为真命题，⌝p 为假命题．
∵f (x )＝x 2
－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14
，
∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞上单调递增． ∴命题q 为假命题，⌝q 为真命题．
∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，(⌝p )∧(⌝q )为假命题，(⌝p )∨q 为假命题． 2.若命题p ：∀x ∈R ，log 2x ＞0，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0＜0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∨(⌝q ) B ．p ∧q C ．(⌝p )∧q D ．p ∨q
[答案] A
[解析] 命题p 和命题q 都是假命题，则命题⌝p 和命题⌝q 都是真命题，故选A.
考点二、全称命题、特称命题
【例2】(1)设命题p ：∃n ∈N ，n 2
>2n
，则⌝p 为( )
A ．∀n ∈N ，n 2>2n
B ．∃n ∈N ，n 2≤2n
C ．∀n ∈N ，n 2
≤2n
D ．∃n ∈N ，n 2
＝2n
(2)下列命题中，为真命题的是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2
>1 B ．∃x 0∈(1，＋∞)，lg x 0＝－x 0 C ．∀a ∈(0，＋∞)，a 2>a
D ．∃a 0∈(0，＋∞)，x 2＋a 0>1对x ∈R 恒成立 [答案] (1) C (2) D
[解析] (1)命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2
>2n ”改为“n 2
≤2n ”，∴⌝p ：∀n ∈N ，n
2
≤2n
.
(2)对于A ，当x ＝1时不成立；
对于B ，当x ∈(1，＋∞)时，lg x >0，而－x <0，不成立； 对于C ，当a ＝1时不成立；
对于D ，∃a 0＝2∈(0，＋∞)，x 2
＋a 0＝x 2
＋2>1对x ∈R 恒成立，正确．故选D. 【类题通法】
1.命题否定2步操作
(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
2．真假判断注意特例
全称命题与特称命题的真假判断要注意“特例”的作用，说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明特称命题为真命题，只需找出一个正例．
【对点训练】
1．命题p：∀x<0，x2≥2x，则命题⌝p为( )
A．∃x0<0，x20≥2x0B．∃x0≥0，x20<2x0
C．∃x0<0，x20<2x0D．∃x0≥0，x20≥2x0
[答案] C
[解析] 全称命题的否定，应先改写量词，再否定结论，∴⌝p：∃x0<0，x20<0
2x.
2．以下四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2，其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．4
[答案] A
[解析] ∵∆＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；④中，当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2；则④为假命题.
考点三、由命题的真假求参数的取值范围
【例3】(1)已知命题“∃x0∈R，使2x20＋(a－1)x0＋1
2
≤0”是假命题，则实数a的取值范
围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1，3)
C．(－3，＋∞)D．(－3，1)
(2)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立；命题q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为________．[答案] (1)B (2)(－∞，－2]∪[1，2)
[解析] (1)原命题的否定为∀x ∈R,2x 2
＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，为真命题，
则Δ＝(a －1)2
－4×2×12＜0，
则－2＜a －1＜2，则－1＜a ＜3， ∴实数a 的取值范围为(－1，3).
(2) p 为真：Δ＝4a 2
－16<0，解得－2<a <2；
q 为真：3－2a >1，解得a <1.
∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p ，q 一真一假．
当p 真q 假时，⎩⎪⎨
⎪
⎧
－2<a <2，a ≥1
⇒1≤a <2；
当p 假q 真时，⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ≥2或a ≤－2，
a <1⇒a ≤－2.
∴实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[1，2)． 【类题通法】 1．由真假求参要转化
含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件．
2．根据命题的真假求参数的取值范围的步骤
(1)求出当命题p ，q 为真命题时所含参数的取值范围； (2)根据复合命题的真假判断命题p ，q 的真假性；
(3)根据命题p ，q 的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围． 【对点训练】
1．若命题“对∀x ∈R ，kx 2
－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________． [答案] (－4，0]
[解析] “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且∆＝(－k )2
－4×k ×(－1)＝k 2
＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围
是(－4,0]．
2．已知p ：∃x 0∈R ，mx 2
0＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2
＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m
的取值范围是( )
A ．[2，＋∞)
B ．(－∞，－2]
C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D ．[－2，2]
[答案] A
[解析] 依题意知，p ，q 均为假命题． 当p 是假命题时，mx 2
＋1>0恒成立，则有m ≥0；
当q 是假命题时，则有∆＝m 2
－4≥0，解得m ≤－2或m ≥2.
因此由p ，q 均为假命题得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ≥0，
m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.
∴实数m 的取值范围是[2，＋∞)．。