原创1：1.1.1 第一课时 空间向量的线性运算
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∴四边形ABCD为平行四边形．
课堂小结
课堂小结
1．空间向量与平面向量的关系
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
成为同一平面内的两个向量．
已知空间向量，
Ԧ b可以在任意平面α内，
以任意点O为起点，作向量＝，＝
Ԧ
b.
课堂小结
2．熟练应用三角形法则和平行四边形法则
(1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”
向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确．
跟踪练习
练习1：设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO + OB= DO + OC ，则四边
形ABCD是( A )
A．平行四边形
B．空间四边形
C．等腰梯形
D．矩形
解析 ∵ AO + OB= DO + OC ，
∴ A= D.
∴ A与D平行，| A |＝| D |.
向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
典例精析
例3: 化简( − ) − ( − )
解析： ( − ) − ( − )
结合律
= − − +
化为加法
= + + +
= + + ( + )
= +
(2)不相等的两个空间向量的模必不相等；
(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
(4)向量与向量的长度相等．
典例精析
解析： (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，
但不能把二者完全等同起来．
(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，
只要它们的方向不相同即可．
第一章
空间向量与立体几何
1.1.1 第一课时 空间向量的线性运算
学习目标：
1.理解并掌握空间向量的有关概念；
2.掌握空间向量的加法、减法，数乘运算及几何意义.
教学重点：空间向量的有关概念及线性运算法则.
教学难点：空间向量的加法、减法，数乘运算及几何意义.
新知探索
知识点一：空间向量的概念
(1)定义： 空间中具有 大小 和 方向 的量叫做向量．
灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，
务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得
运算结果．
跟踪练习
①
练习1：下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________．
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．
进行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量
的终点指向被减向量的终点．
(2)平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算．
注意：平行四边形的两条对角线所表示的向量恰为两邻边
表示向量的和与差．
本
课
结
束
更多精彩内容请登录：
Ԧ + = + Ԧ
(2)加法的结合律:
Ԧ + + Ԧ = Ԧ + ( + )
Ԧ
b
cԦ
b
cԦ
新知探索
向量的减法运算
B
b
−
+
O
a
C
−
−
A
向量的加减法统一
在平行四边形中
− = + (−)
三角形法则
由减向量的终点指向
作图关键：有共同起点
被减向量的终点：
[思路探索] 可根据向量相等的两个条件来进行判断，
任何一条不具备，则两向量不相等．
典例精析
①若空间向量 、
Ԧ b 满足| |＝|
Ԧ
b |，则 Ԧ = b ；解析：命题①，
②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有
= 1 1 ；
③若空间向量、、 p 满足＝，＝ p ，
则＝p；
(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，
这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点．
(4)真命题， 与仅是方向相反，它们的长度是相等的．
典例精析
反思感悟
空间向量的概念问题
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概
念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两
= 0.
结合律
另解： − − −
= − − +
=( − ) − +
= − +
= +
相反向量的和
= 0.
同起点
典例精析
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，
1.平行四边形法则
3.多边形法则
作图关键：有共同起点.
首尾相接的若干向量之和，
2.三角形法则
等于由起始向量的起点指向
作图关键：首尾相接.
末尾向量的终点的向量．
A3
A4
1 2 + 2 3 + 3 4 + ⋯
+ −1 = 1
新知探索
空间向量的加法运算
a a+b
a
(1)加法的交换律：
结合律：λ(μa)= (λμ)a
典例精析
例1：给出以下命题：
①若空间向量、
Ԧ b满足||＝|
Ԧ
b|，则Ԧ = b ；
②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有 = 1 1 ；
③若空间向量、、p满足＝，＝p，则＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确的命题序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．
− =
新知探索
数乘运算的概念
定义：与平面向量的数乘运算相同，
实数λ与空间向量的乘积λa，
Ԧ
Ԧ
称为向量的数乘.
方向
λa
大小
运算律
当λ>0时，λa与向量a的方向相同
λ>0
当λ<0时，λa与向量a的方向相反
λ<0
|λa|=|λ|·||
Ԧ
分配律： λ(a + )= λa + λ
(2)表示：
B
有向线段
向
量
的
表
示
几何表示
代数表示
A
新知探索
(3)特殊的向量
(4)相等向量
方向相同且大小相等的向量
由模定义
由方向及模定义
相等向量揭示了空间向量为
相反向量
自由向量
即空间向量可以在空间中作
任意的平移
单位向量
相等向量
与表示向量的有向线段的起点无关
新知探索
B
C
b
A1
O
An
An-1②平行且模相等的两个向量是相等向量；
③若a≠b，则|a|≠|b|；
④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
解析：根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；
平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；
当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等
④空间中任意两个单位向量必相等．
②③
其中正确的命题序号为________
据向量相等的定义，要保证两个向量相等，
不仅模要相等，而且方向还要相同，故①
错；
命题②符合两个向量相等的条件，②正确；
命题③正确；
命题④，任意两个单位向量只是模相等，
方向不一定相同，故④错．
典例精析
例2: 判断下列命题的真假．
(1)空间向量就是空间中的一条有向线段；
课堂小结
课堂小结
1．空间向量与平面向量的关系
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
成为同一平面内的两个向量．
已知空间向量，
Ԧ b可以在任意平面α内，
以任意点O为起点，作向量＝，＝
Ԧ
b.
课堂小结
2．熟练应用三角形法则和平行四边形法则
(1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”
向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确．
跟踪练习
练习1：设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO + OB= DO + OC ，则四边
形ABCD是( A )
A．平行四边形
B．空间四边形
C．等腰梯形
D．矩形
解析 ∵ AO + OB= DO + OC ，
∴ A= D.
∴ A与D平行，| A |＝| D |.
向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
典例精析
例3: 化简( − ) − ( − )
解析： ( − ) − ( − )
结合律
= − − +
化为加法
= + + +
= + + ( + )
= +
(2)不相等的两个空间向量的模必不相等；
(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
(4)向量与向量的长度相等．
典例精析
解析： (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，
但不能把二者完全等同起来．
(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，
只要它们的方向不相同即可．
第一章
空间向量与立体几何
1.1.1 第一课时 空间向量的线性运算
学习目标：
1.理解并掌握空间向量的有关概念；
2.掌握空间向量的加法、减法，数乘运算及几何意义.
教学重点：空间向量的有关概念及线性运算法则.
教学难点：空间向量的加法、减法，数乘运算及几何意义.
新知探索
知识点一：空间向量的概念
(1)定义： 空间中具有 大小 和 方向 的量叫做向量．
灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，
务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得
运算结果．
跟踪练习
①
练习1：下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________．
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．
进行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量
的终点指向被减向量的终点．
(2)平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算．
注意：平行四边形的两条对角线所表示的向量恰为两邻边
表示向量的和与差．
本
课
结
束
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Ԧ + = + Ԧ
(2)加法的结合律:
Ԧ + + Ԧ = Ԧ + ( + )
Ԧ
b
cԦ
b
cԦ
新知探索
向量的减法运算
B
b
−
+
O
a
C
−
−
A
向量的加减法统一
在平行四边形中
− = + (−)
三角形法则
由减向量的终点指向
作图关键：有共同起点
被减向量的终点：
[思路探索] 可根据向量相等的两个条件来进行判断，
任何一条不具备，则两向量不相等．
典例精析
①若空间向量 、
Ԧ b 满足| |＝|
Ԧ
b |，则 Ԧ = b ；解析：命题①，
②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有
= 1 1 ；
③若空间向量、、 p 满足＝，＝ p ，
则＝p；
(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，
这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点．
(4)真命题， 与仅是方向相反，它们的长度是相等的．
典例精析
反思感悟
空间向量的概念问题
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概
念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两
= 0.
结合律
另解： − − −
= − − +
=( − ) − +
= − +
= +
相反向量的和
= 0.
同起点
典例精析
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，
1.平行四边形法则
3.多边形法则
作图关键：有共同起点.
首尾相接的若干向量之和，
2.三角形法则
等于由起始向量的起点指向
作图关键：首尾相接.
末尾向量的终点的向量．
A3
A4
1 2 + 2 3 + 3 4 + ⋯
+ −1 = 1
新知探索
空间向量的加法运算
a a+b
a
(1)加法的交换律：
结合律：λ(μa)= (λμ)a
典例精析
例1：给出以下命题：
①若空间向量、
Ԧ b满足||＝|
Ԧ
b|，则Ԧ = b ；
②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有 = 1 1 ；
③若空间向量、、p满足＝，＝p，则＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确的命题序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．
− =
新知探索
数乘运算的概念
定义：与平面向量的数乘运算相同，
实数λ与空间向量的乘积λa，
Ԧ
Ԧ
称为向量的数乘.
方向
λa
大小
运算律
当λ>0时，λa与向量a的方向相同
λ>0
当λ<0时，λa与向量a的方向相反
λ<0
|λa|=|λ|·||
Ԧ
分配律： λ(a + )= λa + λ
(2)表示：
B
有向线段
向
量
的
表
示
几何表示
代数表示
A
新知探索
(3)特殊的向量
(4)相等向量
方向相同且大小相等的向量
由模定义
由方向及模定义
相等向量揭示了空间向量为
相反向量
自由向量
即空间向量可以在空间中作
任意的平移
单位向量
相等向量
与表示向量的有向线段的起点无关
新知探索
B
C
b
A1
O
An
An-1②平行且模相等的两个向量是相等向量；
③若a≠b，则|a|≠|b|；
④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
解析：根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；
平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；
当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等
④空间中任意两个单位向量必相等．
②③
其中正确的命题序号为________
据向量相等的定义，要保证两个向量相等，
不仅模要相等，而且方向还要相同，故①
错；
命题②符合两个向量相等的条件，②正确；
命题③正确；
命题④，任意两个单位向量只是模相等，
方向不一定相同，故④错．
典例精析
例2: 判断下列命题的真假．
(1)空间向量就是空间中的一条有向线段；