02-第二节 平面向量的运算-课时1 向量的加法运算、减法运算高中数学必修第二册人教版

= = ，所以四边形和四边形都是平行四边形，所以
= , = .
A √ 由平行四边形法则，得 + = .
B √ || = || = 1,|| = || = 1，所以|| = ||.
C × − = − = + ≠ .
D.
【解析】 + ( + ) + = + + + = .
)
2.如图所示的方格纸中有定点，，，，，
，，则 + =( C )
A.
B.
C.
D.
【解析】 设 = + ，利用向量加法的平行四
边形法则作出向量，再平移即可发现 = .
1.（多选）如图，在等腰梯形中，//， = 2，
= = = 1，为的中点，则( ABD
A. + =
B.|| = ||
C. − =
D. + =
)
【解析】 由题意得|| = || = || = 1,//,//,所以
所以△是以∠为直角的直角三角形，
从而 ⊥ ，所以平行四边形是矩形.
根据矩形的对角线相等，知|| = ||，因此| + | = 4.
（2）若|| = || = | −
|+|
|，求
.
|−|
【解析】 如图所示，平行四边形中，设 = ，
（1）若|| = 7 + 1，|| = 7 − 1，且| − | = 4，求| + |；
【解析】 如图所示，设 = ， = ，以，为邻边作
平行四边形，则|| = | − | = | − |，|| = |
+| = | + |.
因为( 7 + 1)2 + ( 7 − 1)2 = 42 ，即||2 + ||2 = ||2 ，
D正确.
4.[2024河北雄安新区模考]若|| = 2，为单位向量，则| + |的最大值
为( C )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 | + | ≤ || + || = 2 + 1 = 3，当且仅当，同向时，取到等
号.故选C.
5.如图，点，，分别为△的三边，
，的中点．求证： + + = .
2 023 2 024 − 1 ห = |1 2 024 − 1 | = |2 024 |.
因为1 2 ⋯ 2 024 是半径为1的圆的内接正2 024边形，是圆上的动
点，所以0 ≤ |2 024 | ≤ 2, 所以|1 2 + 2 3 + 3 4 + ⋯ + 2 023 2 024
A √ + + = + = 0.
B × + − + = + + = + ≠ 0.
C √ − + = − = 0.
D √ + + − = + = 0.
[4,20]
面内，如图所示，则| + + |的最小值为( A )
A.40
B.20
7
C.20 10
D.80
【解析】 由题图,知 + + = ，即 + = ,则 + +
= ，所以当叶片旋转到与重叠时,||最小，为60 − 20 = 40.
7.如图，点是平行四边形两条对角线的交点，则下列等式一定成立
的是( C )
A. − =
B. − =
C. − =
【解析】
D. + =
A × − = .
B × − = .
C √ − = + = .
变式 [2024广东东莞中学段考]已知向量，满足|| = 1，| − | =
1 3
[ ， ]
则||的取值范围为_______.
2 2
1
，
2
【解析】 因为 = − ( − )，所以
|| = | − ( − )| ≤ || + | − | =
3
，当且仅当，
2
成立. || = | − ( − )| ≥ ||| − | − || =
= ，求作向量 + − .
【解析】 如图，以，为邻边作平行四边形
,连接,,
则 = + = + ,
所以 = − = + − ，则即为所求.
第二节 平面向量的运算
课时1 向量的加法运算、减法运算
过能力 学科关键能力构建
5.[2024山东日照期中]如图，设1 2 ⋯ 2 024 是半
径为1的圆的内接正2 024边形,是圆上的动点，
则|1 2 + 2 3 + 3 4 + ⋯ + 2 023 2 024 − 1 |
[0,2]
的取值范围为______.
【解析】 由已知可得，ห1 2 + 2 3 + 3 4 + ⋯ +
− = .因为| + | = | − |，所
以|| = ||，又|| = 4，且为线段的中点，所以
|| =
1
||
2
=
1
||
2
= 2.
3.已知△的三个顶点，，及△所在平面内一点满足
+ = ，则点在( D )
1 3
等号成立.所以||的取值范围为[ ， ].
2 2
− 反向时，等号
1
，当且仅当，
2
− 同向时，
【名师点评】
向量中的三角不等式||| − ||| ≤ | ± | ≤ || + ||，注意等号成立的条
件是与共线.
11.如图所示，为△内一点， = , = ,
第六章 平面向量及其应用
过基础 教材必备知识精练
过能力 学科关键能力构建
第二节 平面向量的运算
课时1 向量的加法运算、减法运算
过基础 教材必备知识精练
知识点1 向量的加法运算 4年1考
1.[2024湖南长沙市一中期末]向量 + ( + ) + =( B
A.
B.
C.
= + = − + = − + .
9.（多选）[2024四川绵阳南山中学期中]下列各式中，化简后是零向量的
是( ACD
)
A. + +
B. + − +
C. − +
【解析】
D. + + −
3.[2024河北张家口段考]已知四边形为正方形，则下列等式中成立的
是( D )
A. + =
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B. + =
C. + =
D. + =
【解析】 如图， + = ，A错误； + = ，
B错误； + = ，C错误； + = = ，
−1 | ∈ [0,2].
6.三个大小相同的力，，作用在同一物体上，使物体沿的方向做
匀速运动，设 = ， = ， = ，判断△的形状．
【解析】 由题意得|| = || = ||.
由于合力作用后物体做匀速运动，故合力为，
即 + + = ，所以 + = −.
D √ = = −,所以 + = 0.
2.[2024江西宜春期中]设点是线段的中点，点在直线外，且
|| = 4，| + | = | − |，则|| =( C )
A.8
B.4
C.2
D.1
【解析】 以，为邻边作平行四边形，
连接,如图所示，则 + = ，
D × + = = −.
【方法总结】
向量减法运算的常用方法
8.[2024四川成都树德中学月考]如图，向量
= ， = ， = ，则向量可以表示为
( C )
A. + − B. − + C. − + D. − −
【解析】
10.若向量，满足|| = 8,|| = 12,则| − |的取值范围为_______.
【解析】 当向量与同向时，| − |最小，最小值是||| − ||| = 4；当
向量与反向时，| − |最大,最大值是|| + || = 20.综上，| − |的取
值范围是[4,20].
如图，作平行四边形，则四边形为菱形.
因为 = + = −，即|| = ||,所以|| = || = ||,所以
∠ = 120∘ .
同理∠ = ∠ = 120∘ .
又|| = || = ||，所以△为等边三角形.
7.已知,是两个非零向量.
= ，则 = − = − ,
= + = + .
因为|| = || = | − |，所以 = = ，
所以△为正三角形.
设△的边长为1，则| − | = || = 1，
| + | = 2 ×
|+|
所以
|−|
=
3
1
3
2
= 3，
= 3.
【名师点评】
以，为邻边作平行四边形，则 + ， − 分别为两条对角线
（注意方向）所对应的向量，这样就可以将，， + ， − 四者之
间的关系与平行四边形的相关性质联系起来.
A.△的内部
B.线段上
C.直线上
D.△的外部
【解析】 由 + = ，可得 = − = ，所以四边形
为平行四边形，所以点在△的外部.
4.已知风力发电机叶片的长度为20 m，每两个叶片之间的夹角都相同，风
机塔（杆）的高度为60 m，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平
【证明】
连接,,.
因为点,,分别为，,的中点，
所以四边形、四边形、四边形
均为平行四边形，
所以 = + ， = + ， = + ,
所以 + + = + + + + + = ( + ) +
( + ) + ( + ) = .
知识点2 向量的减法运算
6.[2024河南濮阳联考]在正六边形中， − + =( A )
A.
B.
C.
D.
【解析】 在正六边形中，与为相反向量，所以
− + = + ( − ) = + = .