【全套解析】高三数学一轮复习 7-7 立体几何中的向量方法课件 (理) 新人教A版

为____________．(请写出化简后的结果)
答案：x－2y－z＋3＝0
5 ．如下图，已知三棱锥 A—BCD 中， A( － 1,0,0) ， B(0,1,0) ，
C(－4,0,0)，D(0,0,2)，则该三棱锥的高为________．
→ ＝(1,1,0)，BC → ＝(－4，－1,0)，BD → ＝(0， 解析：由题意知AB －1,2)，设平面 BCD 的一个法向量 n＝(x，y，z)， → ＝0 n· BC －4x－y＝0 则由 ，得 ， → ＝0 －y＋2z＝0 BD n·
(1)取 AB 中点为 N，则 N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)， → ＝(－2,4,0)， ∴DE → ＝(－2,4,0)， NC → ＝NC →， ∴DE ∴DE∥NC.又∵NC 在平面 ABC 内， 故 DE∥平面 ABC.
→ (2)B 1F＝(－2,2，－4)， → ＝(2，－2，－2)，AF → ＝(2,2,0)． EF → → ＝(－2)×2＋2×(－2)＋ B EF 1F· (－4)×(－2)＝0， → → 则B 1F⊥EF，∴B1F⊥EF， → → ＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∵B AF 1F· → → ∴B 1F⊥AF，即 B1F⊥AF，
→ ＝(4－1，－4＋2，－3－3)＝(3，－2，－6)，CD →＝ 解析：AB → CD → 方向上的单位向量是 e＝ (8－2,6－4,6－3)＝(6,2,3)，而CD ＝ → |CD| 6，2，3 6 2 3 6 2 → e＝(3，－2，－6)· ( ，， 2 2 2＝(7，7，7)，∴A′B′＝AB· 7 7 6 ＋2 ＋3 3 4 7)0<θ≤2 cosθ＝|cos〈a，b〉| 求法 ＝ |a· b| |a||b| cos〈a，b〉＝ a 与 b 的夹角〈a，b〉 0<〈a，b〉<π
a· b |a||b|
2.求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所
成的角为θ，
4 答案：－ 7
4 ．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向 量．在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求 出过点 A(2,1)且法向量为 n＝(－1,2)的直线 (点法式)方程为－ (x－2)
＋2(y－1)＝0，化简后得x－2y＝0.类比以上求法，在空间直角坐标
系中，经过点 A(2,1,3) ，且法向量 n＝ ( － 1,2,1)的平面( 点法式 ) 方程
1 ．已知点 A( － 3,1 ，－ 4) ，则点 A 关于原点的对称点坐标为 ( ) A．(1，－3，－4) C．(3，－1,4) B．(－4,1，－3) D．(4，－1,3)
解 析 ： 设 A 点 关 于 原点 的 对 称 点 坐 标 为 (x ， y ， z) ， 则
x－3＝0 y＋1＝0， ∴x＝3，y＝－1，z＝4. z－4＝0
则sinθ＝
|cos〈a，n〉| ＝
.
3．求二面角的大小 (1)若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面 直线，则二面角的大小就是
→ 与CD → 的夹角(如下图①)． 向量AB
(2)设n1，n2分别是二面角α—l—β的两个面α，β的法向量，则向 量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是 平面角的大小 (如上图②③)． 二面角的
2．证线面平行与垂直
若直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，则：
(1)l∥α⇔v⊥n.(2)l⊥α⇔v∥n.
3．证面面平行与垂直
若平面α和β的法向量分别为n1，n2，则 (1)α∥β⇔n1∥n2.(2)α⊥β⇔n1⊥n2.
[例1]
如下图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰
直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F 分别为B1A、
立体几何问题中的应用.
一、平面的法向量 1．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与 平面垂直 的 向 量，显然一个平面的法向量有 无数 多个，它们是 共线 向量． 2．在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法 向量且经过点A的平面是 唯一的．
二、利用向量求空间角 1．求两条异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
x＝－y 4 ∴ z＝y 2
，
令 y＝4，则 x＝－1，z＝2， ∴n＝(－1,4,2)， →· |－1＋4| |AB n| 21 ∴三棱锥的高 h＝ ＝ ＝ 7 . |n| －12＋42＋22
21 答案： 7
热点之一
利用空间向量证明平行、垂直问题
1．证线线平行与垂直 若直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则： (1)l1∥l2⇔v1∥v2.(2)l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.
C1C、BC的中点．
(1)求证：DE∥平面ABC；
(2)求证：B1F⊥平面AEF.
[思路探究] 可利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定
理；也可用向量法建立空间直角坐标系，用向量的坐标运算来解
决．
[课堂记录 ] 如下图建立空间直角坐标系 A—xyz ，令 AB＝ AA1
＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．
答案：C
15 2．已知向量 a＝(2，－3,5)，b＝(3，λ， 2 )，且 a∥b，则 λ 等于( 2 A.3 ) 9 B.2 9 2 C．－2 D．－3
2x＝3 －3x＝λ 解析：∵a∥b，则 b＝xa，∴ 5x＝15 2
答案：C
9 ，解得 λ＝－2.
3．已知 A(1，－2,3)，B(4，－4，－3)，C(2,4,3)，D(8,6,6)， → 在向量CD → 方向上的射影 A′B′＝________. 则向量AB
第七节
立体几何中的向量方法
1.理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、 平面与平面的垂直、平行关系． 3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的
一些定理(包括三垂线定理)．
4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、 平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究