吉林省长春市榆树市第一中学2020-2021学年高二数学理模拟试卷含解析

吉林省长春市榆树市第一中学2020-2021学年高二数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在空间直角坐标系中，已知点A（1，1，-2），B（1，0，1），则=（）
A．B． C．
D．
参考答案：
B
2. 等比数列中,,则（▲ ）
A． B. C.
D.
参考答案：
A
略
3. “对任意的正整数，不等式都成立”的一个充分不必要条件是（）
A . B. C. D. 或参考答案：
B
略
4. 地球半径为，在北纬的纬线上有两点、，点在东经上，点在西经，则、两点的球面距离（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
5. 若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α与β的位置关系是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．重合
参考答案：
C
【考点】平面与平面之间的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】当α∥β时，平面α内有无数条直线与平面β平行；当α与β相交时，平面α内有无数条平行直线与平面β平行．
【解答】解：由平面α内有无数条直线与平面β平行，知：
当α∥β时，平面α内有无数条直线与平面β平行；
当α与β相交时，平面α内有无数条平行直线与平面β平行．
∴α与β的位置关系是平行或相交．
故选：C．
【点评】本题考查两平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
6. 若直线（）
A． B．[－1，3]
C．[－3，1] D．
参考答案：
C
7. 用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，当“n从k到k＋1”左端需增乘的代数式为()
A．2k＋1B．2(2k＋1) C． D．
参考答案：
B
略
8. 执行如图所示的程序框图，则输出的（）
A ．3
B ．4 C. 5 D ．6
参考答案：
C
9. 下列命题中的假命题是( ) A ． B ．
C ．
D ．
参考答案：
C
10. 若是任意实数，则方程
所表示的曲线一定不是（ ）
A ．直线
B ．双曲线
C ． 抛物线
D ．圆
参考答案：
C 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知直线的斜率为3，直线
经过点
，若直线
则
______．
参考答案：
12. 不等式
的解集为
.
参考答案：
；
13. 设
,若对任意的正实数
,都存在以为三边长的
三角形,则实数的取值范围是 .
参考答案： （1,3）
14. 若抛物线
的焦点坐标为，则准线方程为 .
参考答案：
x=-1
15. 双曲线:的左右焦点分别为，过F 1斜率为的直线与双
曲线的左右两支分别交于点P 、Q ，若，则该双曲线的离心率是_________．
参考答案：
【分析】 根据，由定义得
，由余弦定理得
的方程求解即可
【详解】根据
，由双曲线定义得
，又直线的斜率为
，故
，
中由余弦定理得
故答案为
【点睛】本题考查双曲线定义及几何性质，余弦定理，运用定义得是本题关键，
是中档题
16. 已知变量
满足关系式，，则的最大值是 .
参考答案：
25
17. 已知命题p：“?x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a的取值范围为________．
参考答案：
[e，4]
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (13分)根据下面的要求，求满足1＋2＋3＋…＋n > 500的最小的自然数n．
（1）右面是解决该问题的一个程序，但有3处错误，请找出错误并予以更正；
（2）画出执行该问题的程序框图。

参考答案：
（1）错误1 S = 1，改为S = 0；
错误2 S≥ 500，改为 S≤ 500；
错误3 输出 n + 1，改为输出 n ；
略
19. 已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．
（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1：（t 为参数）距离的最小值．
参考答案：
【考点】QK：圆的参数方程；IT：点到直线的距离公式；QJ：直线的参数方程．
【分析】（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；
（2）把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．
【解答】解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；
把C2：（θ为参数）化为普通方程得： +=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；
（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），
把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，
设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）
所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，
cosα=）
从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．
【点评】此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．
20. 命题：“，”，命题：“，”，若“且”为假命题，求实数的取值范围。

参考答案：
因为“且为假命题”，所以与至少有一个为假命题。

利用补集的思想，求出与都是真命题时的取值范围，取反即可。

真：则恒成立，又，所以；真：则，解得或。

所以真且真时，实数的取值范围是或。

取反可得：。

所以“且为假命题”时，的取值范围为：。

21. （本题满分12分）数学试题中有12道单项选择题，每题有4个选项。

某人对每道题都随机选其中一个答案（每个选项被选出的可能性相同），求答对多少题的概率最大？并求出此种情况下概率的大小.（可保留运算式子）
参考答案：
解：设X为答对题的个数，则X～B(12,),
设P(X=k)最大，（k=1、2、 (12)
则，解得, 所以k=3 ………7分
所以答对3道题的概率最大，此概率为：………12分
22. 某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)从第几年开始，该机床开始盈利？
参考答案：
解：（Ⅰ）第二年所需维修、保养费用为12+4万元，
第x年所需维修、保养费用为12+4（x-1）=4x+8，
维修、保养费用成等差数列递增，依题得：
y＝50x?
y=﹣2x2+40x﹣98，x∈N*．
（2）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当y＞0时，开始盈利，
即﹣2x2+40x﹣98＞0解得，
，且x∈N*，
所以x=3，4，5, (17)
故从第三年开始盈利．
略。