上海交通大学附属中学-度第一学期高三数学期中试卷(理科)

上海交通大学附属中学2007-2008学年度第一学期
高三数学期中试卷（理科）
（满分150分，120分钟完成。

答案一律写在答题纸上。

）
一、填空题（每小题4分，共48分）
1. 复数Z=22(23)(1)m m m i --+-为纯虚数,则实数m=
2. 已知1312sin =
θ, ∈θ[ 0, 2
π], 则=2tan θ
3.
函数y =的定义域是 4. 不等式
1
1x
-≥2的解集为 5. 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如右
图所示，则ω= ，ϕ= ．
6. 在极坐标系中，若过点()4,0且与极轴垂直的直线交曲线
6c o s ρθ=于,A B 两点，则=AB ．
7. 在三角形ABC 中,角2
...., 2sin cos 212
B C
A B C a b c A +-=所对的边分别为且
则角A 的大小为
8. 若关于x 的方程04)4(2
=++++mi x i x (∈m R )有实数根，则m 等于 9. 函数2arcsin(1)y x =-的单调递增区间是 ： 10. 函数22(12)y x x x =-≤≤反函数是 . 11. 方程)3
sin(||lg π
+
=x x 有＿＿＿个实数根。

12. 已知α、β是实数，给出下列四个论断：（1）||||||βαβα+=+，（2）
||||βαβα+≤-，（3）22||>α，22||>β，（4）5||>+βα．以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______
二、选择题（每小题4分，共16分） 13. 已知集合M={|4
k π
θθ=
，k Z ∈}，N={|cos 20x x =}，P={|sin 21αα=}，则下列关系式中成立的是
（ ）A ． P N M ⊂⊂ B .P N M =⊂ C. P N M ⊂= D.
P N M ==
5题
14. 定义：复数b ai +是z a bi =+（a 、b R ∈）的转置复数．．．．
，记为z b ai '=+；复数a bi -是z a bi =+（a 、b R ∈）的共轭复数．．．．，记为z a bi =-.给出下列三个命题： ①z i z '=⋅； ② 0z z '
'+=； ③12120z z z z ''⋅+⋅=；其中真命题的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
15. 已知函数f (x )≠-1，且对定义域内任意x 总有关系1()
()1()
f x f x f x π-+=
+，那么下列结
论中一定正确的是 ( )
A. f (x )不一定有周期性
B. f (x )是周期为π的函数
C. f (x )是周期为2π的函数
D. f (x )是周期为2
π
的函数 16. 已知函数①()3ln f x x =；②1
2()f x x
-
=；③
()3x f x e =；④()3cos f x x =．其中对于
()f x 定义域内的任意一个自变量1x ，都存在唯一一个自变量2x
3
=成立的函数是
（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②③④ 三、解答题
17.
（本小题满分16分）
复数2
1i z ⎤-=是实系数一元二次方程2
10ax bx ++=(),a b R ∈的一个根，求（1）
a 和
b 的值；（2）若u z ci =+()c
R ∈，且u ≤，求c 的取值范围。

18. （本小题满分18分） 已知f(x)=2sin(x+
2θ)cos (x+2θ)+23cos 2
(x+2
θ)－3 （1）求f(x)的最小正周期
（2）若0≤θ≤π求使f(x)为偶函数的θ的值。

（3）在（2）条件下，求满足f(x)=1, x∈[－ππ,]的x 的集合。

19. （本小题满分16分） 已知集合1
{|3}2
P x x =≤≤，函数22()log (22)f x ax x =-+的定义域为Q 。

（1）若12
[,),(2,3]23
P
Q P Q ==-，求实数a 的值
（2）若P Q φ=，求实数a 的取值范围。

20. （本小题满分16分）
如图，AC 是某市一环东线的一段，其中A 、B 、C 分别是林上路、佛陈路、花卉大道出口，经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东︒30方向km 8处，位于点B 的正北方向，位于点C 的北偏西︒75方向上，并且km AB 5=．
(1) 求佛陈路出口B 与花卉世界D 之间的距离；（精确到0.1km ） (2) 求花卉大道出口C 与花卉世界D 之间的距离．（精确到0.1km ）
21. （本小题满分20分） 已知函数f(x)=
x
a a
x --+1(a∈R 且x≠a)
（1）求证：f(x)+2+f(2a －x)=0对定义域内的所有x 都成立。

（2）当f(x)的定义域为[a+
2
1
，a+1]时，求f(x)的值域。

（3）设函数g(x)=x 2
+|(x －a)f(x)|，求g(x)的最小值。

[参考答案]
http//
1、3
2、
2
3
3、 [2，3）
4、_[)
11,00,3
⎛⎤- ⎥⎦⎝
___（文科：1,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦_ 5、
12； 38π
6、a 、b ）
7、23
π
8、2
9、⎡⎤⎣⎦
（文科：(,1)-∞）
10、(0≤x ≤1)
11、6
12、①③⇒②④___（文科_①②③）
三、解答题 17
、解：i i i z 2
123]4)31)(1(2[
2+=+
-=，∴1
2z i
=
…………………（4分） ∴,11b z
z a
z z a
⎧
+=-=
⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
1a b =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩ …………………（8分）
（2）∵12z i =-，∴ 1
()2u c i =+- u =
=，∴2013c c ≤-+≤，∴[]1,2c ∈- ………（16分） 18、解：①f(x)=sin(2x+θ)+3[2cos 2
(x+
2
θ
－1)] =sin (2x+θ)+3cos (2x+θ)=2cos (2x+θ－
6
π
)…………………（5分） （或f(x)=2sin(2x+θ+
3π
)） ∴f(x)的最小正周期为ππ
=2
2…………………………………………6分
②f(－x)=cos (－2x+θ－6π)=cos[2x －(θ－6
π)] =cos2xcos (θ－6π)+sin2xsin(θ－6π
)
f(x)=cos(2x+(θ－6π)=cos2xcos(θ－6π)－sin2xsin(θ－6
π
)………………（9分）
∵f(x)是偶函数，∴f(x )=f(－x)即sin2xsin(θ－6π)=0，∴sin(θ－6
π
)=0
∵0≤θ≤π，－6π≤θ－6π≤π65，∴(θ－6π)=0，θ=6
π
…………………（12分）
③由f(x)=1得2cos2x=1，∴cos2x=2
1
∵x∈[π-，π]，∴x=±π65或x=±6π
………………………………（15分）
所以x 的集合是{－π65，π65，－6π，6
π
}…………………………（16分）
19、解：（1）∵12[,),23P Q =(2,3]P Q =-∴22,3Q ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭…………………（6分）
则-2，23是方程2
220ax x --=的两实根，∴32
a =- …………………（8分）
（2）易知：,a R Q φ∈≠， ∵P
Q φ=，∴在1,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内任意一个x 值使2220ax x --≤恒成立，……（11分）
由222a x x ≤-=2
111
222
x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， …………………（13分）
由x ∈1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦得11,23x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
得最小值为-4，∴(,4]a ∈-∞-… …………（16分）
20、解：（1）设x BD =，则由余弦定理222
5816cos30x x =+-︒，┅┅┅┅ 4分
即039382
=+-x x ，解得334±=x ， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分
8334>+舍去．所以9.3334=-=x .
故佛陈路出口B 与花卉世界D 之间的距离约为3.9km ．┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分
（2）在∆ABD 中，由正弦定理得ADB AB
ABD AD ∠=∠sin sin ，┅┅┅┅┅┅┅ 11分
所以5
4
sin sin =∠=∠CBD ABD .
在∆CBD 中，sin sin()0.79DCB CBD BDC ∠=∠+∠=，
由正弦定理得，4 3.95sin BD
CD DCB
=⨯
=∠. ┅┅┅┅┅ 14分 花卉大道出口C 与花卉世界D 之间的距离约为3.9km ．┅┅┅┅┅┅┅ 16分
21、
（I ）证明：f(x)+2+f(2a －x)=
a x x a x a a x x a a a x a x a a x -+-++--+=+--+-++--+1
2121221
=
01
221=--+--+-+x
a x a x a a x ∴结论成立………………………4分 （Ⅱ）证明：f(x) =x
a x a x a -+-=-+--1
11)(………………………………6分
当a+21≤x≤a+1时，－a-1≤-x≤-a-21,-1≤a -x≤-21,-2≤
11
-≤-x
a 则－3≤－1+x
a -1
≤－2，即f(x)值域为[－3，－2]…………………10分
（Ⅲ）解：g(x)=x 2
+|x+1－a|(x≠a)=
)
1(1),1(12
2-<+--≠-≥-++a x a x x a x a x a x x ……13分
（1） 当x≥a－1且x≠a 时，g(x)=x 2
+x+1－a=(x+21)2+a -4
3
如果a －1=－21即a≧2
1
时，则函数在[a －1,a]和（a,+∞）上单调调递增
g(x)min =g(a －1)=(a －1)2
如果a －1<－21即a<21且a≠－21时，g(x)min =g(－21)=4
3
－a 当a=－
2
1
时，g(x)最小值不存在……………………………………15分 （2）当x<a －1时g(x)=x 2
-x －1+a=(x －21)2+a －54
如果a －1>21即a>32时，g （x ）min =g(21)=a －45
如果a －1≤21即a≤2
3
时g(x)在（－∞,a －1）上是减函数，g(x)>g(a －1)=
(a －1)2
……………………………………………………………………………17分
当a>
23时(a －1)2－(a －45)=（a －23）2>0,即（a －1）2
>(a —45) 当a<21且a≠－21时，(a －1)2－(43－a)=(a －21)2>0,即(a －1)2
>( 4
3－
a)……………………………………………………………………………………19分
综合得：
a<
21且≠－2
1是g(x)最小值是43
－a
当21≤a≤23时 g(x)最小值是(a －1)2 当a>23时 g(x)最小值为a －45
当a=－2
1
时 g(x)最小值不存在…………………………………………………20分
文科17、
由21sin 12
sin 6S S ac
B a c B =⇒=
==
∴)2
2
2220
2cos 12
145
4b a c
ac B =+-=
+
-
=，∴2b =
22
2
222
121cos 22a b
c
C ab
+-+-===，∴0
60C =
或
sin
sin sin sin c b c B C C B b ⋅=⇒==1c a =，∴060C = ∴2b =，060C =。