重庆市江津区2020年高二第二学期数学期末学业水平测试试题含解析

重庆市江津区2020年高二第二学期数学期末学业水平测试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．从区间[]1,8上任意选取一个实数m ，则双曲线2
221y x m
-=的离心率大于2的概率为（ ） A ．27 B ．37 C ．47 D ．57
【答案】D
【解析】
分析：求出m 的取值范围，利用几何概型的计算公式即可得出.
详解：由题意得1,,a b m c ===，
2c e a
∴=
=>，解得3m >，即38m <≤ 835817P -∴==-. 故选：D.
点睛：几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
2．设双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且满足13PF a =.若满足条件的点P 只在C 的左支上，则C 的离心率的取值范围是（ ）
A ．(1,2]
B ．(2,)+∞
C ．(2,4]
D ．(4,)+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
本题需要分类讨论，首先需要讨论“P 在双曲线的右支上”这种情况，然后讨论“P 在双曲线的左支上”这种情况，然后根据题意，即可得出结果。

【详解】
若P 在双曲线的右支上，根据双曲线的相关性质可知，此时1PF 的最小值为c a +，
因为满足题意的点P 在双曲线的左支，所以3a c a <+，即2a c <，所以2e >①， 若P 在双曲线的左支上，根据双曲线的相关性质可知，此时1PF 的最小值为
c a -， 想要满足题意的点P 在双曲线的左支上，则需要满足3a c a ?，即4a c ≥，所以4e ≤② 由①②得24e <≤，故选C 。

【点睛】
3．已知函数3()21f x x x =++，若(1)1x f ax e -+>在(0,)x ∈+∞上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,)e
B ．(0,1)
C ．(,1)-∞
D ．(1,)+∞
【答案】D
【解析】
【分析】
首先判断函数()f x 单调性为增. (0)1f =,将函数不等式关系转化为普通的不等式10x ax e -+>,再把不等式转换为两个函数的大小关系,利用图像得到答案.
【详解】
()f x 在定义域上单调递增，(0)1f =，则由(1)1(0)x f ax e f -+>=， 得10x ax e -+>，1x ax e +>
()1,()x g x ax h x e =+=，则当(0,)x ∈+∞时，存在()g x 的图象在()f x 的图象上方.
(0)1,(0)1g h ==，(),()x g x a h x e ''==，则需满足(0)(0)1g a h =>'='.选D.
【点睛】
本题考查了函数的单调性,解不等式,将不等式关系转化为图像关系等知识,其中当函数单调递增
时,()()f a f b a b >⇒>是解题的关键.
4．集合1{|()1},{|lg(2)}2x M x N x y x =≥==+，则M N ⋂等于（ ）
A ．[)0,+∞
B ．(]2,0-
C ．()2,-+∞
D ．()[),20,-∞-+∞U
【答案】B
【解析】
试题分析：Q 集合0111|1|222x x M x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≥=≥⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，{}|0M x x ∴=≤, (){}{}|lg 2|2N x y x x x ==+=>-，{}{}{}|0|2|20A B x x x x x x ∴⋂=≤⋂>-=-<≤，故选B. 考点：指数函数、对数函数的性质及集合的运算.
5．已知定义在R 上的函数f(x)的导函数为()f x ',22(2)()x f x f x e
--=(e 为自然对数的底数),且当1x ≠时, [](1)()()0x f x f x -'->,则 ( )
A ．f(1)<f(0)
B ．f(2)>ef(0)
C ．f(3)>e 3f(0)
D ．f(4)<e 4f(0)
【答案】C
构造新函数()()
x F x f x e -=，求导后结合题意()()()1'0x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦判断其单调性，然后比较大小
【详解】 令()() x F x f x e -=，()()()''x F x e f x f x -⎡⎤∴=-⎣⎦
()()()1'0x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦Q ，
1x ∴<时，10x -<，则()()'?
0f x f x -< ()'0F x ∴<，()F x 在()1，-∞上单调递减
()()()210F F F ∴->->
即()()()2
210f e f e f ->-> ()()222x f x f x e --=Q ，
()()642f f e ∴=-，()()431f f e =-
()()440f f e ∴>，()()330f f e >，
故选C
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及导数的运算，构造新函数有一定难度，然后运用导数判断其单调性，接着进行赋值来求函数值的大小，有一定难度
6．下列说法正确的是（ ）
A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”
B ．已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()00f x '=”是“x 0是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件
C ．命题“存在x ∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对任意x ∈R ，均有210x x ++<”
D ．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题
【答案】B
【解析】
试题分析：对于A ，命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”，不满足否命题的定义，所以A 不正确；对于B ，已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()00f x '=”函数不一定有极值，“0x 是函数()y f x =的极值点”一定有导函数为0，所以已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()00f x '=”是“0x
否定是：“对任意x R ∈，均有210x x ++<”，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于D ，命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”是错误命题，则逆否命题为假命题，所以D 不正确；故选B ． 考点：命题的真假判断与应用．
7．设三次函数()f x 的导函数为()f x '，函数()y x f x '=⋅的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）
A ．()f x 的极大值为(3)f ，极小值为(3)f
B ．()f x 的极大值为(3)f -，极小值为(3)f
C ．()f x 的极大值为(3)f ，极小值为(3)f -
D ．()f x 的极大值为(3)f -，极小值为(3)f
【答案】C
【解析】
【分析】
由()y x f x '=⋅的图象可以得出()y f x '=在各区间的正负，然后可得()f x 在各区间的单调性，进而可得
极值.
【详解】
由图象可知：
当3x =-和3x =时，()=0x f x ⋅'，则(3)=(3)=0f f ''-；
当3x <-时，()0x f x '⋅>，则()0f x '<；
当30x -<<时，()0x f x '⋅<，则()0f x '>；
当03x <<时，()0x f x '⋅>，则()0f x '>；
当3x >时，()0x f x '⋅<，则()0f x '<.
所以()f x 在(,3)-∞-上单调递减；在(3,0),(0,3)-上单调递增；在(3,)+∞上单调递减.
所以()f x 的极小值为(3)f -，极大值为(3)f .
本题考查导数与函数单调性的关系，解题的突破点是由已知函数的图象得出()f x '的正负性.
8．已知数列{}n a 为单调递增的等差数列，n S 为前n 项和，且满足11a =，1a 、3a 、9a 成等比数列，则10S =( )
A ．55
B ．65
C ．70
D ．75 【答案】A
【解析】
【分析】
设公差为d ，0d >，()12239,1218a a d d a =+=+，解出公差，利用等差数列求和公式即可得解.
【详解】
由题：数列{}n a 为单调递增的等差数列，n S 为前n 项和，且满足11a =，1a 、3a 、9a 成等比数列，设公差为d ，0d >，()12239,1218a a d d a =+=+，
解得1d =， 所以1010910552
S ⨯=+
=. 故选：A
【点睛】
此题考查等差数列基本量的计算，根据等比中项的关系求解公差，利用求和公式求前十项之和. 9．某校派出5名老师去海口市三所中学进行教学交流活动，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方案有（ ）
A ．80种
B ．90种
C ．120种
D ．150种 【答案】D
【解析】
【详解】
不同的分配方案有种，选D. 10．已知a ，b R ∈，则“0a b >>”是“221x y a b
-=表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
先要理解椭圆方程的基本形式，再利用两个命题的关系即可得出必要不充分．
【详解】
当0a b >>且a b =-时，221x y a b -=表示圆，充分性不成立；当22
1x y a b
-=表示椭圆时，0a b >>且a b ≠-，必要性成立，所以“0a b >>”是“22
1x y a b
-=表示椭圆”的必要不充分条件，故选B ． 【点睛】
本题考查了椭圆方程的基本形式，以及命题之间的关系．
11．由命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”可猜想：在表面积为定值的长方体中（ ） A ．正方体的体积取得最大
B ．正方体的体积取得最小
C ．正方体的各棱长之和取得最大
D ．正方体的各棱长之和取得最小
【答案】A
【解析】
【分析】
根据类比规律进行判定选择
【详解】
根据平面几何与立体几何对应类比关系：周长类比表面积，长方形类比长方体，正方形类比正方体，面积类比体积，因此命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”，类比猜想得：在表面积为定值的长方体中，正方体的体积取得最大，故选A.
【点睛】
本题考查平面几何与立体几何对应类比，考查基本分析判断能力，属基础题.
12．下列几种推理中是演绎推理的序号为（ ）
A ．由0222<，1223<，2224<，…猜想()()2
1*21n n n N -<+∈ B ．半径为r 的圆的面积2S r π=，单位圆的面积S π=
C ．猜想数列112⨯，123⨯，134
⨯，…的通项为()()*11n a n N n n =∈+ D ．由平面直角坐标系中，圆的方程为()()222x a y b r -+-=推测空间直角坐标系中球的方程为
()()()
2222x a y b z c r -+-+-=
【分析】
根据演绎推理、归纳推理和类比推理的概念可得答案.
【详解】
A. 是由特殊到一般，是归纳推理.
B. 是由一般到特殊，是演绎推理.
C. 是由特殊到一般，是归纳推理.
D. 是由一类事物的特征，得到另一类事物的特征，是类比推理.
故选：B
【点睛】
本题考查对推理类型的判断，属于基础题.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知x ∈R ，若xi x =，i 是虚数单位，则x =____________．
【答案】0
【解析】
【分析】
由xi x =，得0x xi -=，由复数相等的条件得答案．
【详解】
由xi x =，得0x xi -=，
0x ∴=．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查复数相等的条件，是基础题．
14．若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是____.
【答案】[2,2]-
【解析】
【分析】
关于x 的方程sinx ＝c 有解，即c ＝sinx cosx ＝2sin （x-
3π）有解，结合正弦函数的值域可得c 的范围．
【详解】
解：关于x 的方程＝c 有解，
由于x 为实数，则2sin （x-3π）∈[﹣2，2]， 故有﹣2≤c ≤2
【点睛】 本题主要考查两角差的正弦公式、正弦函数的值域，属于中档题．
15．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ,过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=．，则双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】2y x =±
【解析】
【分析】
先计算22BF a =，在12Rt BF F ∆中，根据勾股定理得22222(22)(2)(2)2a a c b a +=⇒=得到渐近线方程.
【详解】
如图所示：
切点为A ，连接OA ，过2F 作21BF F M ⊥于B
O 是12F F 中点，2222OA BF BF OA a ⇒==∥
1214522,222FMF MF a BM a BF a
∠=⇒==⇒=． 在12Rt BF F ∆中，根据勾股定理得：
22222(22)(2)(2)2a a c b a +=⇒=
渐近线方程为：2y x =±
故答案为2y x =±
本题考查了双曲线的渐近线，作辅助线21BF F M ⊥是解题的关键，也可以直接利用正弦定理和余弦定理计算得到答案.
16
．定积分)
2
0x dx =⎰__________． 【答案】2π+
【解析】
【分析】
根据定积分的几何意义求出
0ò，再由微积分基本定理求出20xdx ⎰，进而可得出结果. 【详解】
因为
0ò表示圆224x y +=面积的14
，所以20124ππ=⋅=⎰； 又220
21202xdx x ==⎰，
所以)
2
02x dx π=+⎰. 故答案为2π+
【点睛】
本题主要考查求定积分的问题，熟记定积分的几何意义，以及微积分基本定理即可，属于常考题型.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．2019年春节，“抢红包”成为社会热议的话题之一．某机构对春节期间用户利用手机“抢红包”的情况进行调查，如果一天内抢红包的总次数超过10次为“关注点高”，否则为“关注点低”，调查情况如下表所示：
（1）把上表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与关注点高低有关？ （2）现要从上述男性用户中随机选出3名参加一项活动，以X 表示选中的男性用户中抢红包总次数超过10次的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望()E X ．
下面的临界值表供参考：
独立性检验统计量2
2
()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++． 【答案】（1）见解析，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与关注点高低有关．
（2）见解析，
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【解析】
【分析】
（1）先补充列联表，再根据公式求出2K 的观测值并与1.841比较大小，从而得出结论；
（2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，1，结合组合数求出相应概率，由此可得分布列与期望．
【详解】
解：（1）根据题意得22⨯列联表如下：
2K 的观测值为2
16(3175) 4.27 3.84110688
k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与关注点高低有关；
（2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，1．
0335385(0)28C C P X C ===，123538
15(1)28C C P X C ===， 21353815(2)56C C P X C ===，303538
1(3)56C C P X C ===． 得X 的分布列为
5151519()0123282856568
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】
()()1122,,,A x y B x y ，且124y y =-．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线l 与y 轴交于点D ，试探究：线段AB 与FD 的长度能否相等？如果相等，求直线l 的方程，如果不等，说明理由．
【答案】（1）24y x =（2）当l 的方程为1)y x =±-时有||||AB FD =.
【解析】
【分析】
（1）设直线:2p l y k x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到方程，解方程求得p ，从而得到抛物线方程；（2）将()():10l y k x k =-≠与抛物线方程联立，利用韦达定理可得
()2122222
42k x x k k ++==+，根据焦点弦长公式可求得244AB k =+，利用两点间距离公式得
DF =AB FD =构造方程，解方程求得k ，从而得到直线l 的方程.
【详解】
（1）设直线:2p l y k x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，代入抛物线方程得：2220ky py kp --= 2124y y p ∴=-=-，解得：2p =
∴抛物线方程为：24y x =
（2）由（1）知：()():10l y k x k =-≠
联立()214y k x y x
⎧=-⎨=⎩得：()2222220k x k x k -++= 此时()224242416160k k k ∆=+-=+>恒成立
()21222
22
42k x x k k +∴+==+，121=x x l Q 过焦点F 12244AB x x p k ∴=++=+
由()0,D k -，()1,0F DF ∴=
由AB FD =244k =+，即：()()
242116160k k k +--=
210k +>Q 4216160k k ∴--=，解得：28k =+或28k =-（舍）
k ∴==±
∴当直线l 方程为：)1y x =±-时，AB FD =
【点睛】
本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到抛物线方程的求解、焦点弦长公式的应用等知识；难点在于利用等长关系构造方程后，对于高次方程的求解，解高次方程时，需采用因式分解的方式来进行求解.
19．设集合{}123,,,n M x x x N *=⋅⋅⋅⊆ *()n N ∈，如果存在M 的子集{}12,,,n A a a a =L ，
{}12,,,n B b b b =L ，{}12,,,n C c c c =L 同时满足如下三个条件：
①M A B C =U U ；
②A ，B ，C 两两交集为空集；
③()1,2,3,,i i i a b c i n +==⋅⋅⋅，则称集合M 具有性质Ω.
（Ⅰ） 已知集合{}{}1,2,5,6,7,9,1,2,3,4,5,6E F ==，请判断集合,E F 是否具有性质Ω，并说明理由；
（Ⅱ）设集合{}()
1,2,,3m M m m N *=⋅⋅⋅∈，求证：具有性质Ω的集合m M 有无穷多个. 【答案】（Ⅰ）不具有，理由见解析；（Ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由条件易得集合E 具有性质Ω，对集合F 中的6进行讨论，利用题设条件得出集合F 不具有性质Ω；
（Ⅱ）利用反证法，假设具有性质Ω的集合m M 有限个，根据题设条件得出矛盾，即可证明具有性质Ω的集合m M 有无穷多个.
【详解】
解：(Ⅰ){1,2,5,6,7,9}E =具有性质Ω，如可取{1,2},{5,7},{6,9}A B C ===；
{1,2,3,4,5,6}F =不具有性质Ω；理由如下：
对于F 中的元素6，156+=或者246+=
如果156+=，那么剩下3个元素2,3,4，不满足条件；
如果246+=，那么剩下3个元素1,3,5，也不满足条件．
因此，集合{1,2,3,4,5,6}F =不具有性质Ω.
（Ⅱ）证明：假设符合条件的m M 只有有限个，设其中元素个数最多的为0m M .
对于0m M ，由题设可知，存在{}
012,,,m A a a a =L ，012{,,,}m B b b b =L 012{,,,}m C c c c =L 满足条件. 构
造如下集合 {}
011202,2,,2,1,3,,61m A a a a m =-L L
{}01120002,2,,2,9,91,,61m B b b b m m m =-+L L
{}01120002,2,,2,91,92,,12m C c c c m m m =++L L
由于{}{}0001212120,,,,,,,,,,,1,2,3,,3m m m a a a b b b c c c m =L L L L
所以{}{}00012121202,2,,2,2,2,,2,2,2,,22,4,6,,6m m m a a a b b b c c c m =L L L L
易验证1A ，1B ，1C 对集合040{1,2,,12}m M m =⋅⋅⋅满足条件，而004m m >
也就是说存在比0m M 的元素个数更多的集合04m M 具有性质Ω，与假设矛盾．
因此具有性质Ω的集合m M 有无穷多个.
【点睛】
本题主要考查了集合的应用，涉及了反证法的应用，属于较难题.
20．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长2AB =，若1BD 与底面ABCD 所成的角的正切值为2．
（1）求正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积；
（2）求异面直线1A A 与1B C 所成的角的大小．
【答案】（1）16（2）1arctan
2 【解析】
【分析】
（1）1D BD ∠是1BD 与底面ABCD 所成的角,所以11tan 2DD D BD BD
∠=
=可得1D D ,在用柱体体积公式即可求得答案;
（2）因为正四棱柱1111ABCD A B C D -,可得11A A B B P ,所以1BB C ∠是异面直线1A A 与1B C 所成的角.
【详解】
（1）如图,连接BD
Q 正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长2AB =
∴ 22BD =
Q 1DD ⊥面ABCD
∴ 1D BD ∠是1BD 与底面ABCD 所成的角
在1Rt D BD V 中, 111tan 222
DD D BD BD ∠===14D D ∴=
∴ 111,42216ABCD A B C D V Sh -==⨯⨯=
∴正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为:16.
（2）Q 正四棱柱1111ABCD A B C D -
∴ 11A A B B P
1BB C ∴∠是异面直线1A A 与1B C 所成的角
∴在1Rt B BC V 中,1121tan 42
BC CB B B B ∠=== ∴ 异面直线1A A 与1B C 所成的角为:1arctan
2
. 【点睛】 本题考查了正四棱柱体积和空间异面直线夹角.在求解异面直线所成角的求解,通过平移找到所成角是解这类问题的关键.
21．已知数列{}n a 的前n 项和()2*21n S n n n N
=-+∈ （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足：()*
133log log n n a n b n N ++=∈，求{}n b 的前n 项和n T （结果需化简） 【答案】（1）0,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩；（2）()3899164
n n n n T -+=•； 【解析】
【分析】
（1）运用数列的递推式得1n =时，11a S =，2n ≥时，1n n n a S S -=-，化简计算可得所求通项公式；
（2）求得213n n b n -=⋅，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【详解】
（1）221n S n n =-+可得110a S ==
2n ≥时，22121(1)2(1)123n n n a S S n n n n n -=-=-+--+--=-
则0,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩
（2）数列{}n b 满足133log log n n a n b ++=，
可得3321log log n n n b -+=，即213n n b n -=⋅，
前n 项和32113233,n n T n -=⋅+⋅++⋅L
3521913233n n T n +=⋅+⋅++⋅L
两式相减可得35212183333
3n n n T n -+-=++++-⋅L 化简可得()3899164n n n
n T -+=•
【点睛】 本题考查数列的递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．
22．已知直线l
的参数方程是1{()2x t y =
+=-是参数，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C
的极坐标方程为)4πρθ+
．
（1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于A 、B 两点，若P 点的直角坐标为(1,0)，求PA PB +的值．
【答案】（1）直线l 的方程为10x y +-=,圆C 的方程为()()22112x y -++=（2
）PA PB +=【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：
(1)消去参数可得直线l 的普通方程为10x y +-=，极坐标方程转化为直角坐标方程可得圆C 的直角坐标
方程是()()22
112x y -++=
(2)
利用题意由弦长公式可得PA PB +=试题解析： 解：（1）∵直线l
的参数方程是12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 是参数），∴10x y +-=．
即直线l 的普通方程为10x y +-=．
∵2cos 2sin 4πρθθθ⎛
⎫=+=- ⎪⎝⎭
，∴22cos 2sin ρρθρθ=- ∴圆C 的直角坐标方程为2222x y x y +=-，
即22220x y x y +-+=或()()22
112x y -++= （2
）将122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
代入22220x y x y +-+=
得210t -=
，∴12121t t t t +=⋅=-． ∴
12PA PB t t +=-==。