中考数学难点突破与经典模型精讲练全等三角形中的半角模型(解析版)

专题02 全等三角形中的半角模型【模型展示】
【模型拓展】
条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，△EAF=45°，BD为
对角线，交AE于M点，交AF于N点。

结论△：图1、2中，EF=BE+FD
证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，
△△EAF’=90°-△EAF=90°-45°=45°=△EAF，
且AE=AE，AF=AF’，
△△FAE△△F’AE(SAS)，
△EF=EF’，
又△D=△ABF’=90°，△ABE=90°，△△ABE+△ABF’=90°+90°=180°，
△F’、B、E三点共线，
△EF’=BE+BF’=BE+DF。

结论△：图2中MN²=BM²+DN²；
证明：如图4中，将AN 绕点A 顺时针旋转90°，N 点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，
△△N’AM=90°-△EAF=90°-45°=45°=△MAN ，
且AM=AM ，AN=AN’，
△△MAN’△△MAN(SAS)，
△MN=MN’，
又△ADN=45°=△ABN’，△ABD=45°，
△△MBN’=△ABD+△ABN’=45°+45°=90°，
△在Rt△MBN’中，MN’²=BM²+BN’²，
即MN²=BM²+BN’²。

结论△：图1、2中EA 平分△BEF ，FA 平分△DFE 。

结论△：图1、2中ADF ABE AEF S S S ∆∆∆+=。

证明：如图5中，过A 点作AH△EF 于H 点，由结论△可知：△AEH=△AEB ，
且△AHE=△ABE=90°，AE=AE ，△△AEB△△AEH(AAS)，
△AH=AB=AD ，进而可以证明△AHF△△ADF(AAS)，
△ADF ABE AHF AHE AEF S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=.
【题型演练】
一、单选题
1．如图，四边形ABCD 内接于△O ，AB ＝AD ，△BCD ＝120°，E 、F 分别为BC 、CD 上一点，
△EAF ＝30°，EF ＝3，DF ＝1．则BE 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【分析】延长CB 到H ，使BH =DF =1，连接AH ，则可证得△ABH △△ADF ，从而AH =AF ，△BAH =△DAF ，易证△AHE △△AFE ，可得HE =EF =3，则可求得BE 的长．
【详解】延长CB 到H ，使BH =DF =1，连接AH ，如图
△四边形ABCD 内接于△O
△△ABC +△ADC =180゜
△△ABH +△ABC =180゜
△△ABH =△ADF
在△ABH 和△ADF 中
AB AD ABH ADF BH DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
△△ABH △△ADF
△AH =AF ，△BAH =△DAF
△△BAD +△BCD =180゜，△BCD =120゜
△△BAD =180゜-△BCD =60゜
△△EAF =30゜
△△BAE +△DAF =△BAD -△EAF =30゜
△△EAH =△BAE +△BAH =30゜
在△AHE 和△AFE 中
AH AD EAH EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
△△AHE △△AFE
△HE =EF =3
△BE =HE -BH =3-1=2
故选：B
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等三角形的问题的关键与难点．
2．如图，点M 、N 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的两个动点，在运动过程中保持△MAN ＝45°，连接EN 、FM 相交于点O ，以下结论：△MN ＝BM +DN ；△BE 2+DF 2＝EF 2；△BC 2＝BF •DE ；△OM
（ ）
A ．△△△
B ．△△△
C ．△△△
D ．△△△△
【答案】A
【分析】由旋转的性质可得AM '=AM ，BM =DM '，△BAM =△DAM '，△MAM '=90°，△ABM =△ADM '=90°，由“SAS”可证△AMN △△AM ′N ，可得MN =NM ′，可得MN =BM +DN ，故△正确；由“SAS ”可证△AEF △△AED '，可得EF =D 'E ，由勾股定理可得BE 2+DF 2=EF 2；故△正确；通过证明△DAE △△BF A ，可得DE AD AB BF =，可证BC 2=DE •BF ，故△正确；通过证明点A ，点B ，点M ，点F 四点共圆，△ABM =△AFM =90°，△AMF =△ABF =45°，△BAM =△BFM ，可证MO
，由△BAM ≠△DAN ，可得OE ≠OF ，故△错误，即可求解．
【详解】解：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADM ′，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABD '，
△AM '=AM ，BM =DM '，△BAM =△DAM '，△MAM '=90°，△ABM =△ADM '=90°，
△△ADM '+△ADC =180°，
△点M '在直线CD 上，
△△MAN =45°，
△△DAN +△MAB =45°=△DAN +△DAM '=△M 'AN ，
△△M ′AN =△MAN =45°，
又△AN=AN，AM=AM'，
△△AMN△△AM′N（SAS），
△MN=NM′，
△M′N=M′D+DN=BM+DN，
△MN=BM+DN；故△正确；
△将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'，
△AF=AD'，DF=D'B，△ADF=△ABD'=45°，△DAF=△BAD'，
△△D'BE=90°，
△△MAN=45°，
△△BAE+△DAF=45°=△BAD'+△BAE=△D'AE，
△△D'AE=△EAF=45°，
又△AE=AE，AF=AD'，
△△AEF△△AED'（SAS），
△EF=D'E，
△D'E2=BE2+D'B2，
△BE2+DF2=EF2；故△正确；
△△BAF=△BAE+△EAF=△BAE+45°，△AEF=△BAE+△ABE=45°+△BAE，△△BAF=△AEF，
又△△ABF=△ADE=45°，
△△DAE△△BF A，
△DE AD AB BF
，
又△AB=AD=BC，
△BC2=DE•BF，故△正确；
△△FBM=△F AM=45°，
△点A，点B，点M，点F四点共圆，
△△ABM=△AFM=90°，△AMF=△ABF=45°，△BAM=△BFM，同理可求△AEN=90°，△DAN=△DEN，
△△EOM=45°=△EMO，
△EO=EM，
△MO，
△△BAM≠△DAN，
△△BFM≠△DEN，
△EO≠FO，
△OM FO，故△错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题
3．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，△BAC＝△BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，△CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，△MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．
【答案】
【分析】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，由旋转得出△NAE＝90°，AN＝AE，△ABE ＝△ACD，△EAB＝△CAN，求出△EAM＝△MAN，根据SAS推出△AEM△△ANM，根据全等得出MN＝ME，求出MN＝CN＋BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周长＝BD＋DC，代入求出答案即可．
【详解】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：
由旋转得：△NAE ＝90°，AN ＝AE ，△ABE ＝△ACD ，△EAB ＝△CAN ，
△△BAC ＝△D ＝90°，
△△ABD +△ACD ＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
△△ABD +△ABE ＝180°，
△E ，B ，M 三点共线，
△△MAN ＝45°，△BAC ＝90°，
△△EAM ＝△EAB +△BAM ＝△CAN +△BAM ＝△BAC ﹣△MAN ＝90°﹣45°＝45°，
△△EAM ＝△MAN ，
在△AEM 和△ANM 中，
AE AN EAM NAM AM AM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
△△AEM △△ANM （SAS ），
△MN ＝ME ，
△MN ＝CN +BM ，
△在Rt△BCD 中，△BDC ＝90°，△CBD ＝30°，BC ＝4，
△CD ＝1
2BC ＝2，BD
△△DMN 的周长为DM +DN +MN ＝DM +DN +BM +CN ＝BD +DC ＝
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查直角三角形、全等三角形的性质和判定、旋转的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
4．如图，在边长为6的正方形ABCD 内作45EAF ∠=︒，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到ABG ，若2BE =，则EF 的长为______．
【答案】5
【分析】由题意易得,,90BG DF AG AF GAF ==∠=︒，则有45GAE FAE ∠=∠=︒，然后可证GAE FAE ≌，则有GE EF =，设GB DF x ==，则有6,4,2CF x CE EF x =-==+，进而根据勾股定理可求解．
【详解】解：△四边形ABCD 是正方形，且边长为6，
△6,90CD BC C ABC D ==∠=∠=∠=︒，
△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到ABG ，
△,,90BG DF AG AF GAF ABC D ==∠=∠=∠=︒，
△点G 、B 、E 三点共线，
△45EAF ∠=︒，
△45GAE FAE ∠=∠=︒，
△AE =AE ，
△GAE FAE ≌，
△GE EF =，
设GB DF x ==，则有6,4,2CF x CE EF x =-==+，
△在Rt △ECF 中，由勾股定理可得22
2EC CF EF ，
即()()221662x x +-=+，
解得：3x =，
△5EF =；
故答案为5．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质及勾股定理是解题的关键．
5．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，若F 是BC 的中点，且△EDF ＝45°，则DE 的长为 _____．
【答案】【分析】延长BA 到点G ，使AG =CF ，连接DG ，EF ，利用SAS 证明△ADG △△CDF ，得△CDF =△GDA ，DG =DF ，再证明△GDE △△FDE （SAS ），得GE =EF ，设AE =x ，则BE =6-x ，
EF=x+3，再利用勾股定理解决问题．
【详解】解：延长BA到点G，使AG＝CF，连接DG，EF，
△AD＝CD，△DAG＝△DCF，
△△ADG△△CDF（SAS），
△△CDF＝△GDA，DG＝DF，
△△EDF＝45°，
△△EDG=△ADE+△ADG＝△ADE+△CDF＝45°，
△DE＝DE，
△△GDE△△FDE（SAS），
△GE＝EF，
△F是BC的中点，
△AG=CF=BF=3，
设AE＝x，则BE＝6﹣x，EF＝x+3，
由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得x＝2，
△AE＝2，
△DE
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键．
三、解答题
6．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且△EDF=45°.将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM.
（1）求证：EF=FM
（2）当AE=1时，求EF的长．
【答案】(1)见解析；（2）52
. 【分析】（1）由折叠可得DE =DM ，△EDM 为直角，可得出△EDF +△MDF =90°，由△EDF =45°，得到△MDF 为45°，可得出△EDF =△MDF ，再由DF =DF ，利用SAS 可得出三角形DEF 与三角形MDF 全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF =MF ；
（2）由第一问的全等得到AE =CM =1，正方形的边长为3，用AB -AE 求出EB 的长，再由BC +CM 求出BM 的长，设EF =MF =x ，可得出BF =BM -FM =BM -EF =4-x ，在直角三角形BEF 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为EF 的长．
【详解】(1)△△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，
△DE =DM ，△EDM =90°，
△△EDF + △FDM =90°，
△△EDF =45°，
△△FDM =△EDM =45°，
△ DF = DF ，
△△DEF △△DMF ，
△ EF =MF
（2） 设EF =x ，
△AE =CM =1 ，
△ BF =BM -MF =BM -EF =4-x ，
△ EB =2，
在Rt △EBF 中，由勾股定理得222EB BF EF +=，
即2222(4)x x +-=， 解得，52
x =. 7．已知，如图所示，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边BC ，CD 上，且45EAF ∠=︒，AE ，AF 分别交BD 于H ，G ，连EF ，求证：
△DF BE EF += △222DG BH HG +=.
【答案】见解析
【分析】△把△ABE 逆时针旋转90°得到△ADG ，根据旋转的性质可得BE=GD ，AE=AG ，再根据△EAF=45°求出△FAG=45°，然后利用边角边定理证明△AEF 与△AGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF ，即EF=GD+FD ，即可证明EF=BE+DF ；
△把△ADH 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABN ，连接GN ，根据旋转的性质得到△NAE=△EAF ，根据全等三角形的性质得到GH=GN ，求得△NBG=△ABN+△ABG=45°+45°=90°，根据勾股定理得到BG 2+HD 2=GH 2；
【详解】△如图，把△ABE 逆时针旋转90°得到△ADM ，
△BE=MD ，AE=AM ，
△△EAF=45°，
△△FAM=90°-45°=45°，
△△EAF=△FAM ，
在△AEF 和△AMF 中，
AE AM EAF FAM AF AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
△△AEF△△AMF （SAS ），
△EF=MF ，
即EF=MD+DF ，
△BE+DF=EF ；
△如图，把△ADH 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABN ，连接GN ，
△BN=DH ，AN=AH ，△BAN=△DAH ，△ABN=△ADH ，
△△EAF=45°，
△△NAE=△BAN+△BAE=△DAH+△BAE=△BAD -△EAF=90°-45°=45°，
△△NAE=△EAF ，
在△ANG 和△AGH 中，
AN AH NAG EAF AG AG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
△△AGN△△AGH （SAS ），
△GH=GN ，
在正方形ABCD 中，△ABE=△ADH=45°，
△△NBG=△ABN+△ABG=45°+45°=90°，
△BG 2+BN 2=NG 2，
即BG 2+HD 2=GH 2.
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质；熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键．
8．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，将ADF 绕点A 顺时针旋转90︒ 后，得到ABM ，连接EM ，AE ，且使得45∠=︒MAE ．
（1）求证：=ME EF ；（2）求证：222EF BE DF =+.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）直接利用旋转的性质证明△AME△△AFE （SAS ），即可得出答案；
（2）利用（1）中所证，再结合勾股定理即可得出答案．
【详解】证明：（1）△将ADF 绕点A 顺时针旋转90°后，得到ABM ，
∴MB DF ＝，AM AF ＝，∠∠BAM DAF ＝，
MA AF ∴⊥，
45∠︒MAE ＝，
45∴∠︒EAF ＝，
∴∠∠MAE FAE ＝，
在△AME 和AFE △中
AM AF MAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()AME AFE SAS ∴≅，
∴=ME EF ；
（2）由（1）得：=ME EF ，
在Rt MBE 中，222+MB BE ME =，
又△MB DF =，
222∴+EF BE DF =．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，正确得出△AME△△AFE 是解题关键．
9．已知：边长为4的正方形ABCD ，△EAF 的两边分别与射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且△EAF ＝45°，连接EF ．求证：EF ＝BE +DF ．
思路分析：
(1)如图1，△正方形ABCD 中，AB ＝AD ，△BAD ＝△B ＝△ADC ＝90°，
△把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADE '，则F 、D 、E '在一条直线上，
△E 'AF ＝ 度，……
根据定理，可证：△AEF △△AE 'F ．
△EF ＝BE +DF ．
类比探究：
(2)如图2，当点E 在线段CB 的延长线上，探究EF 、BE 、DF 之间存在的数量关系，并写出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 在BC 上，△BAC ＝2△DAE ．若S △ABC ＝14，S △ADE ＝6，求线段BD 、DE 、EC 围成的三角形的面积．
【答案】(1)45
(2)DF ＝BE +EF ，证明见解析
(3)2
【分析】（1）把ABE ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ADE '∆，则F 、D 、E '在一条直线上，ADE ABE '∆∆≌，再证AEF ∆≌△AE F '，得EF E F '=，进而得出结论；
（2）将ABE ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到ADE '∆，由旋转的性质得ADE ABE '∆∆≌，再证AEF ∆≌△AE F '，得E F EF '=，进而得出结论；
（3）将ABD ∆绕点A 逆时针旋转得到ACD '∆，连接ED '，则ACD ABD '∆∆≌，得CD BD '=，因此14ABC AD CD S S ∆'==四边形，同（2）得ADE ∆≌△AD E '，则DE D E '=，6ADE AD E S S '∆==，得BD 、DE 、EC 围成的三角形面积ED C S
'=，即可求解．
（1） 解：如图1，△正方形ABCD 中，AB ＝AD ，△BAD ＝△B ＝△ADC ＝90°，
△把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至ADE '∆，
则F 、D 、E '在一条直线上，ADE '∆△△ABE ，
△DE '＝BE ，△DAE '＝△BAE ，AE '＝AE ，
△△E AE '＝△EAD +△DAE '＝△EAD +△BAE ＝△BAD ＝90°，
则△E AF '＝△E AE '﹣△EAF ＝45°，
△△EAF ＝△E AF '，
△△AEF △△AE F '（SAS ），
△E F EF '=，
△E F DE DF ''=+，
△EF ＝BE +DF ．
故答案为：45；
（2）
解：DF ＝BE +EF 理由如下：
将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADE ，
△△ADE △△ABE ，
△AE ＝AE '，BE ＝DE '，△DAE '＝△BAE ，
△△E AE '＝△BAE +△E AB '＝△E AD '+△E AB '＝△BAD ＝90°，
则△E AF '＝△E AE '﹣△EAF ＝45°，
△△E AF '＝△EAF ＝45°，
在△AEF 和△AE F '中，
AE AE E AF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠='⎨'⎪⎩
，
△△AEF △△AE F '（SAS ），
△E F EF '=，
△DF DE E F '=+'，
△DF ＝BE +EF ；
（3）
解：将△ABD 绕点A 逆时针旋转得到△ACD '，连接ED '，
则△ACD '△△ABD ，
△CD '＝BD ，
△14ABC AD CD S S ∆'==四边形，
同（2）得：△ADE △△AD E '（SAS ），
△DE D E '=，6ADE AD E S S '∆==，
△BD 、DE 、EC 围成的三角形面积为CD '、D E '、EC 围成的三角形面积
2ADE AD E AD CD ED C S S S S '''∆==--四边形．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型．
10．如图1，在菱形ABCD 中，AC ＝2，BD ＝
AC ，BD 相交于点O ．
(1)求边AB 的长；
(2)求△BAC 的度数；
(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD 的顶点A 处，绕点A 左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC ，CD 相交于点E ，F ，连接EF ．判断△AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由．
【答案】（1）2；（2）60︒ ；（3）见详解
【分析】（1）由菱形的性质得出OA=1，
（2）得出△ABC 是等边三角形即可；
（3）由△ABC 和△ACD 是等边三角形，利用ASA 可证得△ABE△△ACF ；可得AE=AF ，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形推出即可．
【详解】解：（1）△四边形ABCD
△AC△BD ，
△△AOB 为直角三角形，且111,22
OA AC OB BD ====
△2AB =；
（2）△四边形ABCD 是菱形，
△AB=BC ，
由（1）得：AB=AC=BC=2，
△△ABC 为等边三角形，
△BAC=60°；
（3）△AEF 是等边三角形，
△由（1）知，菱形ABCD 的边长是2，AC=2，
△△ABC 和△ACD 是等边三角形，
△△BAC=△BAE+△CAE=60°，
△△EAF=△CAF+△CAE=60°，
△△BAE=△CAF ，
在△ABE 和△ACF 中，
BAE CAF AB AC
EBA FCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
△△ABE△△ACF （ASA ），
△AE=AF ，
△△EAF=60°，
△△AEF 是等边三角形．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质以及图形的旋转．解题的关键是熟练掌握菱形的性质．
11．（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，△ECG =45°，求证EG =BE +GD ．
（2）请用（1）
的经验和知识完成此题：如图2，在四边形ABCD 中，AG //BC (BC >AG )，△B =90°，AB =BC =12，E 是AB 上一点，且△ECG =45°，BE =4，求EG 的长？
【答案】（1）证明见解析；（2）EG =10．
【分析】（1）延长AD 至F ，使DF =BE ，连接CF ，根据正方形的性质，可直接证明△EBC △△FDC ，从而得出△BCE =△DCF ，根据△GCE =45°，得△GCF =△GCE =45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG △△FCG ，即GE =GF ，即可证出EG =BE +GD ；
（2）过C 作CD △AG ，交AG 延长线于D ，则四边形ABCD 是正方形，设EG =x ，则AE =8，根据（1）可得：AG =16-x ，在直角△AGE 中利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图3所示，延长AD 至F ，使DF =BE ，连接CF ，
△四边形ABCD是正方形，
△BC=DC，△ABC=△ADC=△BCD=90°，
△△CDF=180°-△ADC，
△△CDF=90°，
△△ABC=△CDF，
△BE=DF，
△△EBC△△FDC，
△△BCE=△DCF，EC=FC，
△△ECG=45°，
△△BCE+△GCD=90°-△ECG=90°-45°=45°，
△△GCD+△DCF=△FCG=45°，
△△ECG=△FCG．
△GC=GC，EC=FC，
△△ECG△△FCG，
△EG=GF．
△GF=GD+DF= BE+GD，
△EG= BE+GD．
（2）解：如图4，过C作CD△AG，交AG延长线于D，
在直角梯形ABCG中，
△AG BC，△A=△B=90°，
又△CDA=90°，AB=BC，
△四边形ABCD为正方形．
△AD=AB=BC=12．
已知△ECG=45°，根据（1）可知，EG=BE+DG，
设EG=x，则AG=AD-DG= AD-(EG-BE)=12-(x-4)=16-x，
△AE=12-BE=12-4=8．
在Rt△AEG中
△EG2=AG2+AE2，
即x2=（16-x）2+82，
解得：x=10．
△EG=10．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，注意每个题目之间的关系，正确作出辅助线是解题的关键．
12．如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF△CB，垂足为F，GH△AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．
(1)求证：GEF EDC
(2)求证：四边形BFGH是正方形；
(3)求证：ED平分△CEI
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）先证明△FEG=△EDC，即可利用AAS证明全等；
（2）首先证明四边形FBHG是矩形，再证明FB=FG即可解决问题；
（3）延长BC到J，使得CJ=AI．证明△IDE△△JDE（SAS）即可解决问题．
（1）
△四边形ABCD是正方形，
△BC=CD，△DCE=△ABC=△ABF=90°，
△GF△CF，GH△AB，
△△F =△GHB =△FBH =90°，
△四边形FBHG 是矩形，
△ED =EG ，△DEG =90°，
△△DEC +△FEG =90°，△DEC +△EDC =90°，
△△FEG =△EDC ，
在△DCE 和△EFG 中
F DCE FE
G EDC GE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
△△DCE △△EFG （AAS ），
（2）
△△DCE △△EFG
△FG =EC ，EF =CD ，
△CB =CD ，
△EF =BC ，
△BF =EC ，
△BF =GF ，
△四边形FBHG 是矩形
△四边形FBHG 是正方形．
（3）
延长BC 到J ，使得CJ =AI ．
△DA =DC ，△A =△DCJ =90°，AI =CJ ，
△△DAI △△DCJ （SAS ），
△DI =DJ ，△ADI =△CDJ ，
△△IDJ =△ADC =90°，
△△IDE =45°，
△△EDI =△EDJ =45°，
△DE =DE ，
△△IDE △△JDE （SAS ），
△△DEI =△DEJ ，
△DE 平分△IEC ．
【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：
“如图1，在正方形ABCD 中，△EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”
小明同学的思路：△四边形ABCD 是正方形，△AB ＝AD ，△B ＝△ADC ＝90°．
把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置，然后证明AFE AFE '≌△△，从而可得=EF E F '．
E F E D DF BE DF ''=+=+，从而使问题得证．
(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：
如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，△B ＝△D ＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF ，
BE ，DF 之间的数量关系．
(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，△B ＋△D ＝180°，12EAF BAD ∠=∠，求证：EF ＝BE ＋DF ．
(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O 的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系．
【答案】(1)BE ＋DF ＝EF
(2)证明见解析 (3)
PB PC +
【分析】（1）将△ABE 绕A 点逆时针旋转，旋转角等于△BAD 得△ADE ，证明△AEF △△AE F '，等量代换即得结论；
（2）将△ABE 绕点A 逆时针旋转，旋转角等于△BAD ，先证明△EAF ='E AF ∠，再证明△AEF △△AE F '，等量代换即得结论；
（3）将△ABP 绕点A 逆时针旋转90°得到ACP '△，先利用圆内接四边形的性质证明P ，C ，
P '在同一直线上，再证明△PAP '为等腰直角三角形，等量代换即得结论．
（1）
解：结论：BE ＋DF ＝EF ，理由如下：
证明：将△ABE 绕点A 逆时针旋转，旋转角等于△BAD ，使得AB 与AD 重合，点E 转到点E '的位置，如图所示，
可知ABE ADE '≌
△△， △BE DE '=．
由△ADC +△ADE =180°知，C 、D 、E '共线， △12
EAF BAD ∠=∠，
△△BAF +△DAF =△EAF ，
△△DAE '+△DAF =△EAF ='E AF ∠，
△△AEF △△AE F '，
△EF =E F '=BE +DF ．
（2）
证明：将△ABE 绕点A 逆时针旋转，旋转角等于△BAD ，使得AB 与AD 重合，点E 转到点E '的位置，如图所示，
由旋转可知ABE ADE '≌
△△， △BE DE '=，B ADE '∠=∠，BAE DAE '∠=∠，AE AE '=．
△△B ＋△ADC ＝180°，
△180ADC ADE '∠+∠=︒，
△点C ，D ，E '在同一条直线上． △12
EAF BAD ∠=∠， △12BAE DAF BAD ∠+∠=∠， △12
DAE DAF BAD '∠+∠=， △12
FAE BAD '∠=∠， △EAF FAE '∠=∠．
△AF ＝AF ，
△FAE FAE '≌△△，
△FE FE '=，即BE ＋DF ＝EF ．
（3）
结论：PB PC +，理由如下：
证明：将△ABP 绕点A 逆时针旋转90°得到ACP '△，使得AB 与AC 重合，如图所示，
由圆内接四边形性质得：△AC P '+△ACP =180°，
即P ，C ，P '在同一直线上．
△BP CP '=，AP AP '=，
△BC 为直径，
△△BAC =90°=△BAP +△P AC =△CA P '+△P AC =PAP '∠，
△△PAP '为等腰直角三角形，
△PP '=，
即PB PC +=．
【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定及性质等知识点．解题关键是利用旋转构造全等三角形．。