北师大版七年级数学下册难点探究专题：全等三角形中的动态问题

难点研究专题：全等三角形中的动向问题
◆种类一全等三角形中的动点问题
1．如图，在△MAB 中， MA ＝ MB ，过 M 点作直线个动点，在点P 挪动的过程中，若NA ＝ NB ，则∠ PAM
MN 交 AB 于 N点．P是直线
与∠ PBM 能否相等？说明原因．
MN上的一
2．如图①，在△ABC 中，∠ BAC ＝ 90°， AB ＝AC( ∠ ABC ＝∠ ACB ＝45°)，点 D 为直线BC 上一动点 (点 D 不与 B， C 重合 )，以 AD 为边在 AD 右边作正方形ADEF ，连结 CF.
(1)察看猜想：如图①，当点 D 在线段 BC 上时，
①BC 与 CF 的地点关系为________；
②线段 BC， CD ，CF 之间的数目关系为______________ ( 将结论直接写在横线上)；
(2)数学思虑：如图②，当点 D 在线段CB的延伸线上时，结论①，②能否仍旧建立？若建立，
请赐予证明；若不建立，请你写出正确结论再赐予证明．
◆种类二全等三角形中的动图问题
3．已知等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°.如图，△ ABC与△ CDE都是等边三角形，连结 AD ， BE.
(1)假如点 B ，C， D 在同一条直线上，如图①所示，试说明：AD ＝ BE ；
(2)假如△ ABC 绕 C 点转过一个角度，如图②所示，(1)中的结论还可否建立？请说明原因．
◆种类三全等三角形中的翻折问题
4．如图，将 Rt△ ABC 沿斜边翻折获得△ ADC ，E，F 分别为 DC ，BC 边上的点，且∠ EAF ＝1 2
∠ DAB. 试猜想 DE ， BF， EF 之间有何数目关系，并说明原因．参照答案与分析
1．解：∠PAM＝∠PBM.原因以下：∵NA＝NB，MA＝∴△ AMN ≌△BMN (SSS)，∴∠ MAN ＝∠ MBN ，∠ MNA ＝∠ MNB .又∵MB，MN 是公共边，NA＝NB， PN 是公共边，
∴△ PAN≌△ PBN(SAS) ，∴∠ PAN＝∠ PBN.∴∠ PAM ＝∠ PBM .
2．解： (1)①垂直② BC＝CD＋CF
(2)CF ⊥ BC 建立； BC＝ CD ＋ CF 不建立，正确结论： CD ＝ CF＋ BC.证明以下：∵正方形ADEF
AD ＝AF ，
中，AD ＝ AF ，∠ DAF ＝∠ BAC ＝ 90°，∴∠ BAD ＝∠ CAF.在△ DAB 与△ FAC 中， ∠ BAD ＝∠ CAF ，
AB ＝ AC ，
∴△ DAB ≌△ FAC(SAS) ，∴∠ ABD ＝∠ ACF ， DB ＝ CF .∵∠ ACB ＝∠ ABC ＝ 45°，∴∠ ABD ＝ 180° － 45°＝ 135°，∴∠ BCF ＝∠ ACF －∠ ACB ＝∠ ABD －∠ ACB ＝ 90°，∴ CF ⊥ BC.∵ CD ＝DB ＋ BC ，
DB ＝ CF ，∴ CD ＝ CF ＋ BC.
3．解：(1) ∵△ ABC ，△CDE 都是等边三角形， ∴ AC ＝ BC ，CD ＝ DE ，∠ ACB ＝∠ DCE ＝ 60°.∵ 点 B ， C ， D 在同一条直线上，∴∠ ACE ＝ 60°，∴∠ BCE ＝∠ ACD ＝ 120°.在△ ACD 与△ BCE 中，
AC ＝ BC ，
∵ ∠ ACD ＝∠ BCE ， ∴△ ACD ≌△ BCE(SAS) ．∴ AD ＝ BE.
CD ＝ CE ，
(2)建立．原因以下：∵∠ ACB ＝∠ DCE ＝ 60°，∴∠ ACB ＋∠ ACE ＝∠ DCE ＋∠ ACE ，即∠ BCE ＝∠ ACD.又∵ AC ＝ BC ，CD ＝ CE ，∴△ ACD ≌△ BCE ，∴ AD ＝BE .
4．解： DE ＋ BF ＝EF .原因以下：延伸 CB 至 G ，作∠ 5＝∠ 1，以下图．∵将
Rt △ ABC 沿斜
边翻折获得△ ADC ，∠ EAF ＝1
∠ DAB ，∴ AB ＝ AD ，∠ ABC ＝∠ ADE ＝ 90°，∠ 2＋∠ 3＝∠ 1＋∠
4， 2
∴∠ ABG ＝ 90°＝ ADE .∵∠ 5＝∠ 1，∴∠ 2＋∠ 3＝∠ 4＋∠ 5，∴∠ GAF ＝∠ EAF .在△ AGB 和△ AED
∠ GAB ＝∠ EAD ，
中， AB ＝AD ，
∴△ AGB ≌△ AED (ASA) ，∴ AG ＝ AE ， BG ＝ DE .在△ AGF 和△ AEF 中，
∠ ABG ＝∠ ADE ， AG ＝ AE ，
∠ GAF ＝∠ EAF ，∴△ AGF ≌△ AEF(SAS) ，∴ GF ＝ EF ，∴ BG ＋BF ＝ EF ，∴ DE ＋ BF ＝ EF. AF ＝ AF ，。