质点运动微分方程

1、填空题
（1）如图所示。

起重机起吊重量G = 25 kN 的物体。

欲使在t = 0.25 s 内由静止开始均匀加速到0.6 m / s 的速度。

则
重物起吊时的加速度为： 224m /s a = ； 起重机起吊绳索受到的拉力为 86.22k N T F = 。

解：
受力分析如图所示。

运动学如图所示。

2
0.60.25
24m /s d d 25
2524
9.886.22k d d N
T v t T T G F G a g v a t v a t G
F G a
v a t G F v a g
m G a t
g
===
==+
=+⨯-=
==-=
==⎰
⎰F a
T
T
a
（2）如图所示。

在介质中上抛一质量为m 的小球。

已知小球所受的阻力F R = - k v 。

若取坐标轴x 铅垂向上，则小球的运动微分方程为：
00
20()(1)k t m
m x
k x mg m
x k v mg e
mg t x k -++==+--+ 。

解：
受力分析如图所示。

运动学如图所示。

00
000000d d 1d ()d ln ()|()ln ()()
()
1
[()]
d d d 1
[d d )d 1
d (]
R v t v v t v v v k t m
k t m
k t m
x x F mg m a k v mg m a
m
v t
k v mg
m
k v mg t
k k v mg
m
k v mg t k
k v mg k t k v mg m k v mg e
m v
k v mg v k v mg e
mg k x k v mg e mg t k a t
x t
x v k
-----=⇒
--==---+=+-+=+-=++=+=+-==⇒
-=
⇒
+=
=⎰
⎰⎰
⎰⎰
F a
00
000
2000
00222[()]d [()]|[()]())((1)k t t m
k t t m
k t m
k t m
k v mg e mg t
m
x x k v mg e
mg t k m
m
x k m
x k v mg e
mg t x k
v mg e
mg t k v mg x k
k
----=++---=+---=+--
-++-+⎰
x
O
m
v
x
O
m F R
m g
1、选择题
（1）如图所示。

质量均为m 的小球A 、B 系于刚度系数k 的弹簧两端，并用细绳悬挂在O 点。

若不计弹簧质量，在系统处于平衡状态时剪断细绳，则小球A 的加速度大小为（C ）。

A ．0
B ．g / 2
C ．g
D ．2 g
解：
受力分析如图所示。

运动学如图所示。

():():0():
(()())T T T m F T c m m g g T m a b F T a F mg m a m g a mg m a a a T m g a g
-=-=-=-===--=-+==-F a
显然结论C 正确。

附注：将A 、B 小球和无质量弹簧作为一个质点系系统，当细绳被剪断时，除重力外。

系统上并未受到其他力的作用，且系统A 、B 小球间无相对运动。

因此系统加速度加速度为重力加速度。

但当系统质点间有相对运动时，每个质点的加速度将会发生变化。

A
F x
T
a （c ）
（b ）
（a ）
（2）如图所示。

单摆重为G ，摆长为l 。

当单摆由偏角φ 0位置无初速度释放，若摆球至最低位置时的速度为v 1 ，则单摆在摆动过程中摆绳拉力的最小值为（D ）。

A ．min
F
G =
B ．2
1
min (1)v F G g l =-
C ．21
min (1)v F G g l
=+
D ．min 0cos F G ϕ=
解：
受力分析如图所示。

运动学如图所示。

010min 1
2
20
2cos cos
:00:c s cos o T T T T T s v F mg m
l l v s
F m F m a m F m a F m a F mg v F F s
v l
s
v mg l v m mg
l l
l
mg ξξηη
ηη
ϕϕϕ⎧=⎪=⇒
⎨=====⎪⎩
===+=+=-=∑∑
∑
F a
显然结论D 正确。

（3）重量为G 的物块置于铅直移动的电梯地板上。

设电梯匀速上升时，物块对电梯地板的压力为F 1 ；电梯加速上升时，物块对电梯地板的压力为F 2 ；电梯减速上升时，物块对电梯地板的压力为F 3 ；电梯减速下降时，物块对电梯地板的压力为F 4 。

则（C ）。

A ．1234F F F F === B ．2134F F F F >>> C ．2134F F F F >>< D ．2134F F F F ><<
解：
受力分析如图所示。

运动学如图所示。

1
11
1
0F G F F G m F G '''===-==F a
2
22
2
F F F F
G m m a G a m m G a '='-'==+==+F a
3
3
3
3F F F G m a F m G a m m a G '='-'===--=-F a
44
4
4
))(()(F G m a g F F F G m G m m g g a a '=-'==-'---=-=-F a
显然结论C 正确。

a = 0
a >
a <
a <
（4）重量为G 的汽车，以匀速驶过凹形路面。

试问汽车驶过路面最低点时对路面的压力为（A ）。

A ．F G > B ．F G < C ．F G =
D ．无法判断
解：
受力分析如图所示。

运动学如图所示。

220n n n n n n
n n F m a F G m a m F m a F m a s
F m
G G
s
a a s τττρρ
=+>=⎧=⎪⎨=⎪=-=⎩===
∑
∑∑ F a
显然结论A 正确。

（5）如图所示。

小球C 重G ，由绳索AC 、BC 悬挂，并处于静止状态。

此时有静力学平衡方程可求得F AC = F BC = G 。

现将BC 绳突然剪断。

试判断剪断瞬时，下述说法正确的是（B ）。

A ．AC
F G > B ．AC
F G < C ．0AC
F = D ．AC
F
G =
解：
受力分析如图所示。

运动学如图所示。

o 0
co 2
s 600
AC n n n AC
n n
F
m F m a F m m G G a F F
a a ττ=⎧=⎪⎨
=⎪-=
==⎩=∑∑∑F a
显然结论B 正确。

（6）如图所示。

质量为m 的质点，自A 点以初速度v 0向上斜抛（不计空气阻力）。

试问质点在落地前其（D ）。

A ．加速度大小不变化，方向在变化 B ．加速度大小在变化，方向不变化 C ．加速度大小在变化，方向在变化 D ．加速度大小不变化，方向不变化
解：
受力分析如图所示。

运动学如图所示。

00x y x x y x y x y y m a m g m m F m a F m a a a g a a a g =⎧==⎧⎪⎨-=⎪⎩=⎧⎪⎨
=⎪⎪⎨⎩⎩
=+==⎪∑∑a i j F a
j
计算结果表明：加速度大小不变化，方向不变化。

显然结论D 正确。

3、如图所示质量为m 的小球M 。

小球M 由两根长度为l 的杆支持构成一个机构。

当机构以不变的角速度ω绕铅直轴AB 转动，若AB = 2 a ，两杆在A 、B 端均为中间铰连接（两杆重量略去不计）。

试求AM 、BM 两杆所受的力。

解：
受力分析如图所示。

运动学如图所示。

222cos ;s 0
00cos cos sin s 0
in 0
s in in n n z n n z
z AM BM AM
BM AM BM AM B z n A z M F m a F m a F m a
F F F F mg m F m a F m a F F F mg F F m a a a r a r F a l
τττττωϕϕϕϕϕϕϕ=⎧⎪
=⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪=⎨⎪=⎩=⎧⎪⎪-=⎨⎪+-=⎪⎩⎧-⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩==⎩=
=∑∑∑F
a 22(()
2sin 2(()
2sin 2M
BM
m g ml g
a m g ml g
F a
ωϕωϕ
⎧
==+⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩
方向如图所示。

4、如图所示。

一质量为m 的物块放置在匀速转动的水平转台上。

物块与转轴之间相距为r ，物块与转台之间的摩擦因数为f S 。

试求物块不至因转台旋转而滑出时转台的最大转速。

解：
受力分析如图所示。

运动学如图所示。

max
max max 2222max
max m ma m x
x a ax 0000200
0360
S S
n n z z N
S S n n z
z
S N S n z S S S
N N
S N
S N
S F
f
F
F f m F m a F m a F m
a a a r a F F m a F m a F m a
F m r F mg F m F F r F m n g m r f m F
f g
f
F n F
τττττω
ωπωωωπω=⎧=⎪⎪
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩=⎧⎪=⎪⎨
=⎪⎪⎩
=⎧⎪====⇒=⎨⎪=⎪⎪⎨
=⎪⎪⎩
≤=⇒
⎩===≤==
∑∑∑F a
m
6、如图所示。

质量为m 的质点M 沿半径为R 的圆环上的弦运动。

质点M 受一指向圆环圆心O 的引力作用，引力的大小与质点M 到圆环圆心O 的距离成反比，比例常数为k 。

开始时刻质点M 位于M 0 处，初速度为零，圆环圆心O 到弦的垂直距离为h 。

试求质点M 经过弦中点O 1时的速度。

解：
受力分析如图所示。

运动学如图所示。

122
2202220
d d d d d ;d d 0d d d d d d 1d (2d )d d N x v x x y y y x v F m v x F F x m
v v x h k h
x m
v v x h k m F m a F m a a v h
x h x O M x O M k
F O M
v m v
x v x v a v
t t x x ------------
------
==
⎧-⎪⎪⎨
⎪-⎪⎩
-
==⎧=⎪⎨=⎪⎩====+--
=++⎰∑∑F
a
222
20
2
22
02ln ()|
ln d x v x m x h v k h R m v x h v k m
v h h v h k =-+=
=+=⇒
+⎰
7、如图所示。

质量为m 的小球从斜面上的A 点开始运动，初速度v 0 = 5 m / s ，方向与CD 平行，不计摩擦，斜面的倾角为α = 30 o 。

试求： （1）小球运动到C 点所需要的时间t = ？； （2）小球走过的距离d = ？
解： 受力分析如图所示。

运动学如图所示。

o
o
02200
000cos 60cos300
d d d d 20d d d d 22
d d 02022y x y N x y
x t
d v t x x y y z y y z z y
y
y mg m a F mg x v v t m F m a F m a F m a g a g a d x a a y g a t z x v t
g g
v t v t y g
v v t t t =⎧=⎪⎪
=⎨⎧=⎪-=⎨⎪-=⎩⎧
==-⎪⎪⎪⇒
==-⎨⎪
⎪=⎪⎩
⎧=-⎧⎪⎪⎪
⇒
⎨⎧=⎪
⎪⎨⎪
⎪⎨=-⎪=-⎪⎩⎪⎩
=⎪⎩=-
=-==-=-⇒
⎪⎩=∑∑⎰⎰⎰
⎰
∑F
a
020200
3.4326m
0.68654s
d d 4
2
y t
x y d x v g y t t d g y t t y t t g ==-=⎧⎪
⇒
⎨=-⎪=-
⎩⎩
=-⎧⎨
⎰。