求数列通项的几种基本方法(带答案)

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2018-3-15
9、已知数列 {an } 满足 a1 1，an a1 2a2 3a3 ( n 1) an 1 ( n 2) ，求 {an } 的通项公式。 解：因为 an a1 2a2 3a3 ( n 1) an 1 ( n 2) 所以 an 1 a1 2a2 3a3 ( n 1) an 1 nan 用②式－①式得 an 1 an nan . ② ①
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公式. 解：设数列 a n 公差为 d ( d 0) ∵ a1 , a3 , a9 成等比数列，∴ a3 a1a9 ，
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即 ( a1 2d ) a1 ( a1 8d ) d a1d
2 2
∵d 0， ∵ S 5 a5
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∴ a1 d ………………………………① ∴ 5a1
则 an 1 ( n 1) an ( n 2) 故
an 1 n 1(n 2) an
③
所以 an
an an 1 a n! 3 a2 [n(n 1) 4 3]a2 a2 . an 1 an 2 a2 2
由 an a1 2a2 3a3 ( n 1) an 1 ( n 2) ， 取n 2得a2 a1 2a2 ， 则 a2 a1 ， 又 知 a1 1 ， 则
1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 n 1 n
所以 a n a1 1
1 1 1 3 1 an 1 n 2 n 2 n
3、已知数列 {an } 满足 an 1 an 2n 1，a1 1 ，求数列 {an } 的通项公式。 解：由 an 1 an 2n 1 得 an 1 an 2n 1 则
5 4 d (a1 4d ) 2 …………② 2
由①②得： a1
3 3 ，d 5 5
∴ an
3 3 3 (n 1) n 5 5 5
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。 二、累加法（ an 1 an f n 型） 2、已知数列 a n 满足 a1
又 a1
a a a 2 a3 a 4 1 1 2 3 n 1 n n a1 a2 a3 an1 2 3 4 a1 n n
2 2
2 2 ， a n 3 3n
6、设数列｛an｝是首项为 1 的正项数列，且 （n 1）a n 1 na n a n 1 a n 0(n 1,2,3, ) ，求它的通 项公式。
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2018-3-15
数列通项公式的常见求法
一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题 目． 1．等差数列 a n 是递增数列，前 n 项和为 S n ，且 a1 , a3 , a9 成等比数列， S 5 a5 ．求数列 a n 的通项
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2018-3-15
4、已知数列 {an } 满足 an 1 an 2 3 1，a1 3 ，求数列 {an } 的通项公式。
n
解：由 an 1 an 2 3 1 得 an 1 an 2 3 1 则
n n
a2 1 ，代入③得 an 1 3 4 5 n
n! n! 。所以， {an } 的通项公式为 an . 2 2
10.（2015 山东）设数列 an 的前 n 项和为 S n .已知 2 S n 3n 3 . （I）求 an 的通项公式；（II）若数列 bn 满足 an bn log 3 an ，求 bn 的前 n 项和Tn .
1 1 ， a n 1 a n 2 ，求 a n 。 2 n n
解：由条件知： a n 1 a n
1 1 1 1 分别令 n 1,2,3, , (n 1) ，代入上式得 n n n(n 1) n n 1
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(n 1) 个等式累加之，即 (a 2 a1 ) (a3 a 2 ) (a 4 a3 ) (a n a n 1 )
四、利用求和公式求通项公式 7.（2015 新课标）设 S n 是数列 an 的前 n 项和，且 a1 1 ， an 1 S n S n 1 ，则 S n ________．
解：由已知得 an 1 S n 1 S n S n 1 S n ，两边同时除以 S n 1 S n ，得
1 1 1 1 ，故数列 是以 S n 1 S n Sn
1 为首项， 1 为公差的等差数列，则
1 1 1 (n 1) n ，所以 S n ． n Sn
8、已知 1 ，求数列 a n 的通项公式。
三、累乘法（ a n 1 f ( n) a n 型） 5、已知数列 a n 满足 a1 解：由条件知
2 n ， a n 1 a n ，求 a n 。 3 n 1
a n 1 n ，分别令 n 1,2,3, , (n 1) ，代入上式得 ( n 1) 个等式累乘之，即 an n 1