2023-2024学年山东省临沂市沂水县高二下学期4月月考数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年山东省临沂市沂水县高二下册4月月考数学
模拟试题
一、单选题
1．二项式8
2x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中所有项的系数和是（
）
A ．8
3B ．8
2C ．1
D ．-1
【正确答案】C
【分析】令1x =，即可求得二项式展开式中所有项的系数和，得到答案.
【详解】令1x =，可得8
2111⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，即二项式8
2x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为1.
故选：C.
2．在“3+1+2”模式的新高考方案中，“3”是指语文、数学、外语三科为必考科目，“1”指在物理和历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理中任选两科，某学生根据自己实际情况确认了要选生物，那么此同学可能的选课方式共有（）
A ．2种
B ．4种
C ．6种
D ．12种
【正确答案】C
【分析】利用分步乘法计数原理，列式计算作答.
【详解】计算可能的选课方式种数需2步：先从物理和历史中任选一门有2种方法，再从化学、政治、地理中任选一门有3种方法，由分步乘法计数原理得：236⨯=，所以此同学可能的选课方式共有6种.故选：C
3．函数()(2)x f x x e =+的单调递增区间是A ．(-3)∞，
B ．(03)，
C ．(3,0)-
D ．(3,)
-+∞【正确答案】D
【分析】先求函数的导得()(3)x f x x e '=+,再根据函数的单调性求出单调区间.【详解】解：由已知()(2)x f x x e =+,随意()(3)x f x x e '=+,
当3x <-时()0f x '<,当3x >-时()0f x '>,所以增区间为(3,)-+∞．故选：D
本题考查利用导数求函数的单调区间,关键在于求导,属于基础题.
4．为庆祝中国共产党成立100周年，树人中学举行“唱红歌”比赛.现有甲、乙、丙、丁共4人进入决赛，则甲必须在第一或第二个出场，且丁不能最后一个出场的方法有（）A ．6种B ．8种C ．20种D ．24种
【正确答案】B
【分析】根据分类计数法将甲分为第一个出场和第二个出场两种情况，然后根据分步计数原理求出这两种情况下的排列方式，即可求解.【详解】解：由题意知：
当甲第一个出场时，不同演讲的方法有12
22C A 4=（种）；
当甲第二个出场时，不同演讲方法有12
22C A 4=（种）.
所以所求的不同演讲方法有448+=（种）故选：B
5．函数()sin f x x x =+的大致图象是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【正确答案】A
【分析】判断函数的奇偶性，通过求导判断函数的单调性，利用排除法即可得解．【详解】因为()()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以()f x 是奇函数，
从而()f x 的图像关于原点对称.故排除B 和C .
因为'()1cos 0f x x =+≥，所以()f x 是增函数，故排除D .故选：A ．
6．现有5种不同的颜色，给四棱锥P-ABCD 的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，一共有种方法.A ．240B ．360
C ．420
D ．480
【正确答案】C
利用分布计数原理逐个顶点来进行涂色，注意讨论同色与不同色.
【详解】当顶点A,C 同色时，顶点P 有5种颜色可供选择，点A 有4种颜色可供选择，点B 有3种颜色可供选择，此时C 只能与A 同色，1种颜色可选，点D 就有3种颜色可选，共有
54313180⨯⨯⨯⨯=种；
当顶点A,C 不同色时，顶点P 有5种颜色可供选择，点A 有4种颜色可供选择，点B 有3种颜色可供选择，此时C 与A 不同色，2种颜色可选，点D 就有2种颜色可选，共有54322240⨯⨯⨯⨯=种；综上可得共有180240420+=种，故选C.
本题主要考查基本计数原理，两个原理使用时要注意是分步完成某事还是分类完成某事，侧重考查逻辑推理的核心素养.
7．若函数()sin cos f x x a x =+在,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，则实数a 的取值范围是（
）
A ．(],0-∞
B ．(),0∞-
C ．(],1-∞
D ．()
,1∞-【正确答案】A
【分析】根据题意可得()cos sin 0f x x a x '=-≥在,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立，参变分离1tan a x ≤，根据
(tan 1),x ∈+∞即可得解.
【详解】根据题意()cos sin 0f x x a x '=-≥在,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立，
由sin 0x >可得1tan a x ≤在,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立，
(tan 1),x ∈+∞，所以0a ≤，
故选：A.
8．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若满足()()0xf x f x '+>对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式一定成立的是（
）
A ．
()
()f f e e
ππ
<
B ．
()
()f f e e
ππ
>
C ．()()
f ef e ππ<D ．()()
f ef e ππ>【正确答案】D
【分析】令()()g x xf x =，根据题设条件可得()g x 的单调性，从而可得正确的选项.【详解】令()()g x xf x =，则()()()0g x xf x f x ''=+>，故()g x 为(0,)+∞上的增函数，故()()g g e π>即()()f ef e ππ>，故选：D.二、多选题
9．若21
55C C x x -=，则正整数x 的值是（
）A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【正确答案】AB
【分析】由组合数的性质可以列出方程，求出正整数x 的值【详解】由题意得：21x x =-或215x x +-=，解得：1x =或2x =，经过检验，均符合题意.故选：AB
10．已知二项式13n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（
）
A ．6
n =B ．展开式中的常数项为540
C ．展开式中二项式系数最大的项是第四项
D ．展开式中系数最大的项是第三项【正确答案】ACD
【分析】先赋值法求出6n =，判断出A 选项，写出二项式的展开式通项公式，求出常数项，判断B 选项，利用二项式系数的增减项得到二项式系数最大的项是第四项；先确定展开式中系数为正的为奇数项，求出各奇数项，比较大小得到结果.
【详解】由题意得：令1x =得：264n =，解得：6n =，A 正确；
二项式6
13x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式通项公式为()()()61662166313r r r r
r r r r T C x x C x ----+=-=⋅-⋅，
当620r -=得：3r =，则()3
3
346
13540T C =⋅-⨯=-，B 错误；
展开式中二项式系数最大的项是3
6C ，为第四项，C 正确；
展开式中系数为正的为奇数项，其中()0
66616
13729T C x x =⋅-⋅=，24223631215T C x x =⋅=，4222563135T C x x --=⋅=，6
066763T C x x --=⋅=，
显然展开式中系数最大的项是第三项，D 正确.故选：ACD
11．如图是导函数()y f x '=的图象，则下列说法错误的是（
）
A ．()1,3-为函数()y f x =的单调递增区间
B ．()0,3为函数()y f x =的单调递减区间
C ．函数()y f x =在0x =处取得极大值
D ．函数()y f x =在5x =处取得极小值【正确答案】BC
【分析】根据导函数函数值的正负与函数单调性的关系，以及函数极值点的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】由图可知，当1x <-时，()f x '0<，故()f x 单调递减；当()1,3x ∈-，()f x '0>，故()f x 单调递增；当()3,5x ∈，()f x '0<，故()f x 单调递减；当5x >，()f x '0>，故()f x 单调递增，且()10f '-=，()30f '=，()50f '=，
则该函数在=1x -和5x =处取得极小值；在3x =处取得极大值.故选：BC
12．已知函数()ln x
f x x
=
，则（）．
A ．()f x 的递增区间为(),e -∞
B ．()f x 极大值为1
e
C ．()f x 的极大值点为e
D ．()
2f
f f <<【正确答案】BCD
【分析】先求定义域，再求导，利用导函数求出单调区间和极值点，极值，判断出ABC 选项，根据单调性判断D 选项.【详解】函数()ln x f x x =
的定义域为()0,∞+，()2
1ln x
f x x -'=．令()0f x '=，解得e x =．列表：
x ()
0,e e
()
e,+∞()
f x '＋
0－
()ln f x x
=
单调递增极大值1
e
单调递减
对于A ：()f x 的递增区间为()0,e ，故A 错误；对于B ：由上表可知，()f x 极大值为1
e
，故B 正确；
对于C ：()f x 的极大值点为e x =，故C 正确；
对于D ：因为()f x 的递增区间为()0,e 2e <<<，
所以()2f
f f <<成立．故D 正确．
故选：BCD 三、填空题
13．有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是________．【正确答案】81
【详解】每个信号显示窗都有3种可能，故有3×3×3×3＝34＝81（种）不同信号．14．已知二项式5
1ax x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中含x 的项的系数为80．则实数a =______．
【正确答案】2
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式5
1ax x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的通项公式为：5552551()()(1)r r r r r r r
C ax C a x x ---⋅⋅-=⋅⋅-⋅，
令5212r r -=⇒=，因此有：2323
5(1)8082C a a a ⋅⋅-⋅=⇒=⇒=，
故2
15．由123456、
、、、、组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且2不在第二位，则这样的六位数共有______个．【正确答案】108
【分析】由123456、
、、、、组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有144种，再排除2在第二位的情况，问题得解.
【详解】由123456、
、、、、组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，排偶数形成4个空，将3个奇数插入即可，有33
34A A 144=个，
若2在第二位，则前1位是奇数，还剩2个偶数和2个奇数，
再排偶数形成3个空，将2个奇数插入即可，共有122
323C A A 36=个，
∴所求六位数共有14436108-=个，故108．四、双空题
16．已知()6767
1283(2)x y x y a x a x y a y +-=+++ ，则128a a a +++= __________；34x y 的系数
为__________.【正确答案】
4
240
-【分析】令1x y ==求解第一空，根据二项式定理的展开公式求解第二空.
【详解】令1x y ==，得6
1284(1)4a a a +++=⨯-= ,
()666
3(2)(2)3(2)x y x y x x y y x y +-=-+-因为6(2)x x y -的展开式的通项为716C (2)r r
r r r T x
y -+=-，
所以该展开式中34x y 的系数为44
6C (2)-=240.
因为63(2)y x y -的展开式的通项为61163C (2)k
k
k k k T x
y -++=-，
所以该展开式中34x y 的系数为33
63C (2)480-=-.
故展开式中34x y 的系数为240-.故4;240-.五、解答题
17．求值：
（用数字作答）
(1)54127
37
A 2C A -(2)333
3412C C C ++⋅⋅⋅+【正确答案】(1)2678
7
(2)715
【分析】（1）根据排列数、组合数的计算公式求得正确答案.（2）根据组合数的性质求得正确答案.
【详解】（1）5
4
1273712111098765427654321A 2C A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-26787
=.
（2）333
3412
C C C ++⋅⋅⋅+433
4412
C C C =++⋅⋅⋅+4335512
C C C =++⋅⋅⋅+4
1313121110
7154C 321
⨯⨯⨯=
=⨯⨯⨯== .
18．设函数32
1()313
f x x x x =--+．
(1)求()f x 的单调区间；
(2)当[0,4]x ∈时，求()f x 的最大值与最小值．
【正确答案】(1)单调递增区间是(],1-∞-,[)3,+∞，单调递减区间是()1,3-(2)最大值()01f =,最小值()38
f =-【分析】（1）利用导数和函数单调性的关系，求函数的单调区间；（2）利用函数的单调性，列表求函数的最值.
【详解】（1）()()()22313f x x x x x '=--=+-，
当()0f x '≥，解得：3x ≥或1x ≤-，所以函数的单调递增区间是(],1-∞-,[)3,+∞，当()0f x '<，解得：13x -<<，所以函数的单调递减区间是()1,3-，所以函数的单调递增区间是(],1-∞-,[)3,+∞，单调递减区间是()1,3-；（2）由（1）可得下表
x 0
()
0,33
()
3,44
()
f x '-
+
()
f x 1单调递减
8
-单调递
增
173
-
所以函数的最大值是()01f =，函数的最小值是()38f =-19．4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？
(4)其中甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？
(5)若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？【正确答案】(1)720(2)1440(3)144(4)960(5)840
【分析】小问1：我们可视排好的女同学为一整体有3
3A 种排法，再与男同学排队即可；小问2：先将男同学排好，共有4
4A 种排法，再利用插空法即可；小问3：根据分步乘法计数原理先排男生再排女生即可；
小问4：先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，再把甲、乙看一整体排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中即可；
小问5：从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有4
7A 种排法．再在余下的3个空位置中排女生按身高排列有一种排法，即可求解．
【详解】（1）3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有3
3A 种排法．我们可视排好的女同学为一整体，
再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有5
5A 种排法．由分步乘法计数原理，得共
有35
35A A 720=（种）不同的排法；
（2）先将男同学排好，共有4
4A 种排法，再在这4个男同学之间及两头的5个空当中插入3个女
同学有3
5A 种方案，故符合条件的不同的排法共有4345A A 1440=（种）；
（3）3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有34
34A A 144⋅=（种）；
（4）先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有4
4A 种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有2
2A 种排法；
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有2
5A 种排法．
故总共有422
425A A A 960=（种）不同的排法；
（5）从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有4
7A 种排法．再在余下的3个空位置中排女
生，由于女生要按身高排列，故仅有1种排法．故总共有4
7A 840=（种）不同的排法．20．已知函数()2
ln f x x a x =+.
（1）当2a =-时，求函数()f x 在点(e ，f (e ）处的切线方程（2）若()()2
g x f x x
=+
在[1,+)∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）2222
e y x e e
-=-（2）0
a ≥（1）利用导数的几何意义可求得结果；（2）转化为()0g x '≥，即22
2a x x
≥
-在[1,+)∞上恒成立，再构造函数求出最大值即可得解.【详解】（1）当2a =-时，()2
2f x x lnx =-，定义域为(0,)+∞，
2222()2x f x x x x -'=-=
，所以函数()f x 在点(e ，f (e ）处的切线的斜率为222
()e f e e
-'=，又2()2f e e =-，
所以函数()f x 在点(e ，f (e ）处的切线方程为22
22(2)()e y e x e e ---=-，即2222
e y x e e
-=-.
（2）因为()()2g x f x x =+2
2ln x a x x
=++在[1,+)∞上是单调增函数，
所以322
222
()2a x ax g x x x x x +-'=-+=
0≥在[1,+)∞上恒成立，
即222a x x
≥-在[1,+)∞上恒成立，因为222y x x =
-在[1,+)∞上为单调递减函数，所以当1x =时，222y x x =-取得最大值0，所以0a ≥.
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥；
②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤；
③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥；
④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；
21．已知二项式2(3)n x x +.
（1）若它的二项式系数之和为128.
①求展开式中二项式系数最大的项；
②求展开式中系数最大的项；
（2）若3,2016x n ==，求二项式的值被7除的余数.
【正确答案】（1）①101145945,2835T x T x ==②1213675103,5103T x T x ==（2）1
【分析】（1）先求出n 的值，①由于展开式共有8项，所以二项式系数最大的项为第4，5项，②设展开式中系数最大的项为第r 项，然后列不等式组可求得结果，
（2）由于201620161201520152015201620162016201620163028C 282C 282C 2
=+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯，所以将问题转化为20162被7除的余数，而201667267228(71)==+，从而可求得答案
【详解】（1）21287n n =∴= ，通项为727177C (3)3C r r r r r r r T x
x x -++==.
①二项式系数最大的项为第4，5项，
3423104324114757C (3)945,C (3)2835T x x x T x x x ====.②设展开式中系数最大的项为第r 项，则
1177117
7C 3C 3C 3C 3r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩，1,2,3,4,5,6r =，
37!7!!(7)!(1)!(8)!7!37!!(7)!(1)!(6)!r r r r r r r r ⨯⎧≥⎪⋅--⋅-⎪⎨⨯⎪≥⎪⋅-+⋅-⎩
，解得56r ≤≤，因为1,2,3,4,5,6r =，所以=5r 或6r =，
所以展开式中系数最大的项为第6，7项，
2251261261367757C (3)5103,C (3)5103T x x x T x x x ====.
（2）当3,2016x n ==时，220162016(3)(327)30n x x +=+=，
因为20162016
30(282)=+201612015201520152016201620162016201628C 282C 282C 2
=+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯，所以二项式的值被7除的余数就是20162被7除的余数，
因为2016672672
28(71)==+67216716716726727C 7C 71=+⨯+⋅⋅⋅+⨯+，
所以20162被7除的余数为1，
所以二项式的值被7除的余数为1.
22．已知函数f （x ）＝ax 2ex ﹣1（a ≠0）.
（1）求函数f （x ）的单调区间；
（2）已知a ＞0且x ∈[1，+∞），若函数f （x ）没有零点，求a 的取值范围.
【正确答案】（1）当a ＞0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞,﹣2）和（0,+∞），单调递减区间为（﹣2,0）；当a ＜0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣2,0），单调递减区间为（﹣∞,﹣2）和（0,+∞）；
（2）1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，.（1）先求导f '（x ）＝2axex +ax 2ex ＝axex （2+x ），再分a ＞0和a ＜0进行讨论即可得解；（2）根据（1）可知，当a ＞0时，f （x ）在x ∈[1，+∞）上单调递增，则保证f （1）＞0即可得解.
【详解】（1）f '（x ）＝2axex +ax 2ex ＝axex （2+x ），
令f '（x ）＝0，则x ＝0或x ＝﹣2，
①若a ＞0，
当x ＜﹣2时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；
当﹣2＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
②若a＜0，
当x＜﹣2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当﹣2＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
综上所述，当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），单调递减区间为（﹣2，0）；
当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣2，0），单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）.（2）当a＞0时，由（1）可知，f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，
若函数没有零点，则f（1）＝ae﹣1＞0，解得
1 a
e ＞，
故a的取值范围为
1
e
⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
.
本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论思想，要求较高的计算能力，在高考中考压轴题，属于难题.。