人教版高三数学下学期平面向量多选题单元 易错题自检题学能测试试卷

人教版高三数学下学期平面向量多选题单元 易错题自检题学能测试试卷
一、平面向量多选题
1．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，
AB =BC =1，0PA PB PC PA
PB
PC
+
+
=，以下正确的是
（ ） A ．∠APB =120° B ．∠BPC =120° C ．2BP =PC D ．AP =2PC
【答案】ABCD 【分析】
根据条件作几何图形，由向量的关系可得P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形，∠APB =∠BPC =∠APC =120°，进而可确定P 为Rt △ABC 的费马点，利用相似可确定BP 、 AP 、 PC 之间的数量关系. 【详解】
在直线PA ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，G ，使得|PM |=|PN |=|PG |=1， 以PM ，PN 为邻边作平行四边形PMQN ，则PM PN PQ +=， ∵
0PA PB PC PA
PB
PC
+
+
=，即0PM PN PG ++=，即0PQ PG +=，
∴P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形， ∴∠APB =∠BPC =∠
APC =120°，故A 、B 正确； ∵AB =BC =1，∠ABC =90°， ∴AC =2，∠ACB =60°，
在△ABC 外部分别以BC ､AC 为边作等边△BCE 和等边△ACD ，直线CP 绕C 旋转60°交PD 于P’，
∴120CE CB ECA BCD CA CD =⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪=⎩，即ECA BCD ≅，故EAC BDC ∠=∠， EAC BDC CA CD
PCA P CD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪'∠=∠⎩
，即CPA CP D '≅，故CP CP '=， ∴CPP '为等边三角形，120CP D CPA '∠=∠=︒，则B ，P ，D 三点共线，同理有A ，P ，E 三点共线， ∴△BPC ∽△BCD ，即
1
2
BP BC CP CD ==，即PC =2BP ，故C 正确， 同理：△APC ∽△ACB ，即AP AC
CP BC
==2，即AP =2PC ，故D 正确. 故选：ABCD.
【点睛】
关键点点睛：根据已知条件及向量的数量关系确定P 为Rt △ABC 的费马点，结合相似三角形及费马点的性质判断各项的正误.
2．在三棱锥M ABC -中，下列命题正确的是（ ）
A ．若12
33
AD AB AC =
+，则3BC BD = B ．若G 为ABC 的重心，则111
333
MG MA MB MC =++
C ．若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MB AC ⋅=
D ．若三棱锥M ABC -的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则2PQ = 【答案】BC 【分析】
作出三棱锥M ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】
对于A ，由已知12
322233
AD AB AC AD AC AB AD AC AB AD =+⇒=+⇒-=-，即2CD DB =，则
3
2
BD BD DC BC =+=，故A 错误； 对于B ，由G 为ABC 的重心，得0GA GB GC ++=，又MG MA AG =+，
MG MB BG =+，MG MC CG =+，3MA MB MC MG ∴++=，即
111
333
MG MA MB MC =++，故B 正确；
对于C ，若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MC MA BC AB ⋅+⋅=，即
()00
MA BC AC CB MA BC AC C MC C M B M C ⋅++=⇒⋅++⋅⋅=⋅()
00MA BC A MC MC MC MC C BC MA BC AC ⋅⋅⋅⇒⋅+-=⇒-+=⋅()
000MC M CA BC AC AC CB AC CB AC C MC ⇒+=⇒+=⇒+=⋅⋅⋅⋅⋅，即0MB AC ⋅=，故C 正确；
对于D ，111
()()222
PQ MQ MP MB MC MA MB MC MA ∴=-=
+-=+- ()
2
11
22
PQ MB MC MA MB MC MA ∴=+-=
+-，又
(
)
22
2
2
222MB MC MA MB MC MA MB MC MB MA MC MA
+-=+++⋅-⋅-⋅
2221112222222222228222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，1
PQ ∴==，故
D 错误. 故选：BC 【点睛】
关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
3．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB
是圆()()2
2
:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB 的中点，AB =（ ）
A ．弦A
B 的中点轨迹是圆
B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()2
2
222x y -+-=上
C ．线段PG 长的最大值为1
D ．PA PB ⋅
的最小值6+ 【答案】ABC 【分析】
对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用
1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算
得到2
3PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r =
--问题，即可判断.
【详解】
对于选项A ：设()00,G x y
，
2AB =
G 为弦AB 的中点， GB ∴=，
而()()2
2
:114C x
y +++=， 半径为2，
则圆心到弦AB 的距离为1CG ==，
又圆心()1,1C --，
()()22
00111x y ∴+++=，
即弦AB 的中点轨迹是圆. 故选项A 正确； 对于选项B ： 由310
310
mx y m x my m --+=⎧⎨
+--=⎩，
得222
232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩
， 代入()()22
22x y -+-整理得2， 故选项B 正确；
对于选项C ：由选项A 知：
点G 的轨迹方程为：()()2
2
111x y +++=，
由选项B 知：点P 的轨迹方程为：(
)()2
2
222x y -+-=，
()()11121,1,1,2,2,G r P r ∴--=
所以线段1112max 11PG PG r r =++=+=，
故选项C 正确； 对于选项D ：
()()
PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+ ()
2
PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅ 2
2
2
03PG PG GB PG =+⋅-=-，
故()
(
)
2
min
min
3
PA PB
PG ⋅=-，
由选项C 知：1112min 11PG PG r r =--=-=，
所以()
()
2
min
136PA PB
⋅=-=-，
故选项D 错误； 故选：A B C. 【点睛】
关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.
4．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且
AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ）
A ．0AC BD ⋅=
B ．0OA OE ⋅=
C ．3
OA OB OC ++= D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为
712
【答案】BCD 【分析】
根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项. 【详解】
由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅，
||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，
B C =，
同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.
2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.
如图建立坐标系，30,2A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫
⎪⎝⎭，13,63D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，解得30,4O ⎛ ⎝⎭
， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；
1323,,,2233AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，AC BD ⋅=12331=023236⨯--≠，故A 错误； 3
2OA OB OC OA OE OE ++=+==
，故C 正确； 136ED ⎛= ⎝⎭，13,22BA ⎛= ⎝⎭
，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】
如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式
a b b
⋅进行求解.
5．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且
2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（ ）
A ．1233AE AC AD =+
B ．2
5
DF DB =
C ．,3
AB AD π
=
D ．27
25
FB FC ⋅=
【答案】BCD 【分析】
根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】
对于选项A ：()
222
33
133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确； 对于选项B ：易证DEF BFA ，所以
23DF DE BF AB ==，所以22
35
DF FB DB ==，故选项B 正确；
对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()
223AD A B D AB A ⎛
⎫
+
-=- ⎪⎝⎭
，所以 2221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以114233
2
AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=，
11
cos ,212
AB AD AB AD AB AD
⋅=
=
=⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3
AB AD π
=
，
故选项C 正确； 对于选项D ：()()
33
255
5AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫
⋅=
⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭
()(
)(
)
3
23
325
55
55AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫
=
-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
229693627
34252525252525AB AB AD AD =
⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEF BFA ，即可得
2
3
DF DE BF AB ==，选项D 的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.
6．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列
B ．12
33
BE BA BC =
+
C ．数列{a n }为等比数列
D ．14n
n n a a +-=
【答案】BD 【分析】 证明12
33
BE
BA BC =
+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}
是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14n
n n a a +-=，所以选项D 正确，易得
321a =，选项C 不正确.
【详解】
因为2AE EC =，所以2
3
AE AC =， 所以2
()3
AB BE AB BC +=+, 所以12
33
BE BA BC =
+，所以选项B 正确；
设BD tBE =（0t >），
则当n ≥2时，由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-，所以
()()1111
23n n n n BE a a BA a a BC t t
-+=
-+-， 所以
()11123n n a a t --=，()11233
n n a a t +-=， 所以()11322n n n n a a a a +--=-， 易得()114n n n n a a a a +--=-，
显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；
因为2a -1a =4，
11
4n n
n n a a a a +--=-， 所以数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以14n
n n a a +-=，所以选项D 正确，
易得321a =，显然选项C 不正确. 故选：BD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，
则（ ）
A ．12
AF AD AB =+ B ．1
()2
EF AD AB =
+ C ．2133
AG AD AB =
- D ．3BG GD =
【答案】AB 【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+
、1
()2
EF AD AB =+、21
33AG AD AB =
+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 11
22
AF AD DF AD DC AD AB =+=+
=+，即A 正确 11
()()22
EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确
连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示
由其性质有||||1
||||2
GF GE AG CG == ∴211121
()333333
AG AE AC AD AB BC AD AB =
+=++=+，即C 错误
同理21212
()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =
+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1
()3
GD AD AB =-
∴2BG GD =，即D 错误 故选：AB 【点睛】
本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系
8．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足AB a =、AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．2b = B ．a b ⊥
C ．2a b ⋅=
D ．(2)a b BC +⊥
【答案】AD 【分析】
本题首先可以根据向量的减法得出BC b =，然后根据ABC 是边长为2的等边三角形得出A 正确以及B 错误，再然后根据向量a 、b 之间的夹角为120计算出2a b ⋅=-，C 错误，最后通过计算得出(2)0a b BC +⋅=，D 正确. 【详解】
因为AB a =，AC a b =+，所以BC AC AB a b a b =-=+-=， 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2b BC ==，A 正确， 因为AB a =，BC b =，
所以向量a 、b 之间的夹角为120，B 错误， 所以1cos1202222a b a b ⎛⎫
⋅=⋅⋅=⨯⨯-
=- ⎪⎝⎭
，C 错误， 因为()2
2(2)(2)22220a b BC a b b a b b +⋅=+⋅=⋅+=⨯-+=， 所以(2)a b BC +⊥，D 正确， 故选：AD. 【点睛】
本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量a 、b 之间的夹角为θ，则
cos a b a b θ⋅=⋅⋅，若0a b ⋅=，则a b ⊥，考查推理能力与计算能力，是中档题.
9．在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是（ ） A ．0AB AC AD +-=
B．0 DA EB FC
++=
C ．若
3 |||||
|
AB AC AD
AB AC AD
+=，则BD是BA在BC的投影向量
D．若点P是线段AD上的动点，且满足BP BA BC
λμ
=+，则λμ的最大值为
1
8
【答案】BCD
【分析】
对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B 正确.对选项C，首先根据已知得到AD为BAC
∠的平分线，即AD BC
⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据,,
A P D三点共线，设(1)
BP tBA t BD，01
t
≤≤，再根据已知得
到1
2
t
t
λ
μ
=
⎧
⎪
⎨-
=
⎪⎩
，从而得到2
1111
()()
2228
t
y t t，即可判断选项D 正确.
【详解】
如图所示：
对选项A，20
AB AC AD AD AD AD
+-=-=≠，故A错误.
对选项B，
111
()()()
222
DA EB FC AB AC BA BC CA CB
++=-+-+-+
111111
222222
AB AC BA BC CA CB
=------
111111
222222
AB AC AB BC AC BC
=--+-++=，故B正确.
对选项C，
||
AB
AB
，
||
AC
AC
，
||
AD
AD
分别表示平行于AB，AC，AD的单位向量，
由平面向量加法可知：
||||
AB AC
AB AC
+为BAC
∠的平分线表示的向量.
因为
3
||||||
AB AC AD
AB AC AD
+=，所以AD为BAC
∠的平分线，
又因为AD为BC的中线，所以AD BC
⊥，如图所示：
BA 在BC 的投影为cos BD BA
B BA BD BA ，
所以BD 是BA 在BC 的投影向量，故选项C 正确.
对选项D ，如图所示： 因为P 在AD 上，即,,A P D 三点共线， 设(1)BP tBA t BD ，01t ≤≤.
又因为12BD BC =，所以(1)2
t BP tBA BC . 因为BP BA BC λμ=+，则12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩
，01t ≤≤. 令21111()2
228
t y t t ， 当12t =时，λμ取得最大值为18
.故选项D 正确. 故选：BCD
【点睛】 本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.
10．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）
A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个
B ．满足10OA OB -=的格点B 共有3个
C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+
D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个
【答案】BCD
【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．
【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ， 设(,)B m n ，若10OA OB -=，
所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确． 若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．
【点睛】
本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．。