37831_江西南省昌市2011届高三第二次模拟考试(数学理)

江西省南昌市
2010—2011学年度高三第二次模拟
数学试题（理）
考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上
粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若
在
试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差 锥体体积公式公式
其中x 为样本平均数
其中S 为底面积，h 为高
柱体体积公式
球的表面积，体积公式 V Sh =
24πS R =，34π3
V R =
其中S 为底面积，h 为高 其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1．设全集{1,2,3,4,U =，集合{1,3,5A =,集合{3,4}B =，则()U C A B = （）
A ．
{}4
B ．{3,4}
C ．{2,3,4}
D ．{3}
2．若复数(1-i )(a +i )是实数(i 是虚数单位)，则实数a 的值为
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
3．1-=m 是直线01)12(=+-+y m mx 和直线033=++my x 垂直的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．一个几何体的三视图如右图所示，这个几何体的体积是 （）
A ．253π
B ．343
π
C ．1633
π+ D ．16123
π+
5．定义行列式运算：
,32414
3
21a a a a a a a a -=将函数cos () sin x
f x x
=
的图象向左平
移m 个单位(0)m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 （）
A ．8π
B ．3π
C ．π6
5 D ．32π
6．四所同时向甲、乙、丙、丁四位学生发出录取通知书，若这四名学生都愿意进这四所大学的任一所就读，则仅有两名学生被录取到同一所大学的就读方式有 （） A ．288种 B ．144种 C ．108种 D ．72种 7．已知函数
x x f x 2log )3
1
()(-=，正实数a 、b 、c 成公差为正数的等差数列且满足
0)()()(<⋅⋅c f b f a f ，若实数0x 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列不等式中不可能成
立的是
（）
A ．a x <0
B ．b x >0
C ．c x <0
D ．c x >0
8．已知抛物线2
y ＝2px （p>1）的焦点F 恰为双曲线2221x a b
2
y －＝
（a>0,b>0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F ，则双曲线的离心率为 （）
A
B
＋1C ．2D ．2
9．如图正四棱锥S ABCD -
的底面边长为，高8SE =，点F 在高SE 上，且SF x =，
记过点,,,,A B C D F 的球的半径为(R x ，则函数()R x 的大致图像是
（）
10．已知函数21(0)
()(1)1(0)x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩
，把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序
排列成一个数列，则该数列的通项公式为
（） A ．*(1)
()2
n
n n a
n N -=
∈ B ．*
1()n a n n N =-∈
C ．*
(1)()n a n n n N =-∈
D ．*22()n
n a n N =-∈
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．已知向量,a b 满足||||1,||1a b a b ==-=，则||a b +=_________. 12．在程序框图(见右图)中输入611π=
a 、3
5π
=b ， 则输出=c ___.
13．随机地向区域内204
0y x y x ⎧≤≤⎪
≥⎨⎪≥⎩
内投点，点落在区域的每个位置是等可能的，则坐标原点与该
点连线的倾斜角小于
3
π
的概率为_____. 14．设M 1(0，0)，M 2(1，0)，以M 1为圆心，|M 1M 2|为半径作圆交x 轴于点M 3(不同于M 2)，记作
⊙M 1；以M 2为圆心，|M 2M 3|为半径作圆交x 轴于点M 4(不同于M 3)，记作
⊙M 2；……；以M n 为圆心，|M n M n +1|为半径作圆交x 轴于点M n +2(不同于M n +1)，记作⊙M n ；…… 当n ∈N*时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M n 交于A n ，B n ．考察下列论断： 当n ＝1时，|A 1B 1|＝2；当n ＝2时，|A 2B 2|
；当n ＝3时，|A 3B 3|
当n ＝4时，|A 4B 4|
由以上论断推测一个一般的结论：对于n ∈N*，|A n B n |＝．
三、选作题：本大题共2小题，任选一题作答.若做两题，则按所做的第①题给分，共5分． 15．①在极坐标系中，点
A 的极坐标是()1,π，点P 是曲线:2sin C ρθ=上的动点，则PA 的
最最大值是__________.
②不等式
1211x x -++>的解集是___________.
四、解答题：本大题共6小题，共75分。

其中(16)～(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤 16．已知)cos 2,sin (cos ),sin ,sin (cos x x x b x x x a -=+=,设b a x f ⋅=)(.
（1）求函数)(x f 的单调增区间；（2）三角形
ABC 的三个角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，
且满足(),103
A f
B π
=
=+=，求边c .
17．某校一课题小组对南昌市工薪阶层关于“楼市限购令”态度进行调查，随机抽调了50人，
他们月收入频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表。

（1）完成下图的月收入频率分布直方图（注意填写纵坐标）及2×2列联表；
（2）若从收入（单位：百元）在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调
查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.
18．如图：多面体111ABCA B C 中，三角形ABC 是边长为4的正三角形，111////AA BB CC ，
1AA ⊥平面ABC ，11124AA BB CC ===.
（1）若O 是AB 的中点，求证：1OC ⊥11A B ； （2）求平面11AB C 与平面111A B C 所成的角的余弦值.
19．已知函数32(1)
()ln (1)x x bx c x f x a x
x ⎧-+++<=⎨
≥⎩的图象过点(1,2)-，且在2
3
x =处取得极值．
（1）求实数,b c 的值；
（2）求()f x 在[1,]e -（e 为自然对数的底数）
上的最大值.
20．已知椭圆:C 22
221x y a b
+=()0a b >>的左右焦点分别是()()12,0,,0F c F c -，直线
:l x my c
=+与椭圆C 交于两点,M N
且当m =时，M 是椭圆C 的上顶点，且△12MF F 的周长为6.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 的左顶点为A ，直线,AM AN 与直线：4x =分别相交于点,P Q ，问当m 变
化时，以线段PQ 为直径的圆被x 轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由.
21．将各项均为正数的数列
{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成数表，如图所
示。

记表中各行的第一个数1247,,,,
a a a a 构成数列为
{}n b ，各行的最后一个数
13610,,,,
a a a a 构成数列为
{}n c ，第n 行所有数的和为n s ()1,2,3,4,n =。

已知数列
{}n b 是公差为d 的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与
它前面一个数的比是常数q ，且113315
1,3
a a a ===.
（1）求数列
{}{},n n c s 的通项公式。

（2）记1
2121
n n n n n n d s c s +-+=
++()
n N +∈，求证：1234239
n n d d d d +++
+>
-。

参考答案
一、选择题（本大题共10题，每小题5分，共5分）
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）
1112.3313.3214三、选做题（本大题共2小题，任选一题作答.共5分） 15．1+②2
(,)(0,)3
-∞-
⋃+∞ 四、解答题（本大题共6小题，共75分） 16．(1)
x f ⋅=)(=x x x x x x cos 2sin )sin (cos )sin (cos ⋅+-⋅+
=x x x x cos sin 2sin cos 2
2
+-=x x 2sin 2cos +=)2sin 2
22cos 22(
2x x + 123a a a
cos2cos sin 2)44x x π
π+=)4
2sin(2π
+x ………………………………………3分
由()f x 递增得：2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+即3,88
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈ ∴
)(x f 的递增区间是3[,],88
k k k Z ππ
ππ-
++∈………………………………6分 （2）由(
)1sin 242f B B π⎛⎫=⇒+= ⎪⎝
⎭0B π<<得4B π=，…………………8分 设sin sin sin a b c k A B C ===，
则5i 210104342k k ππ+=⇒=⇒=…10分
所以sin 4sin()4(sin
cos
cos
sin )34
34
c k C
A B π
π
π
π
==+=+=12分 17．解：（1）各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1，
所以图中各组的纵坐标分别是：0.02,0.04,0.06,0.04,0.02,0.02，
()22
842251062884
01045225
C C P C C ξ==⋅=⨯=
， 所以ξ的分布列是
所以ξ的期望值是4
022********
E ξ=+++=。

………………………………12分
18．解：（1）设线段11A B 的中点为E ，由1AA ⊥平面ABC 得：1AA AB ⊥，
又11//BB AA ，所以11AA B B 是正方形，点O 是线段AB 的中点，
所以1//OE AA ，所以11OE A B ⊥，……………………………………………………2分
由1AA ⊥平面ABC 得：1AA AC ⊥，…………………………………………………3分 又
111
////BB AA CC ，所以
111,,BB BC CC AC CC BC
⊥⊥⊥，且
114,4,2AC AA CC ===，
所以：11AC =11B C ，所以111C E A B ⊥，………………………………………………5分 所以：11A B ⊥平面1OC E ，所以1OC ⊥11A B ；……………………………………6分
（2）如图以O 为原点，
,,OE OA OC 所在方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系
O xyz -，则
()()()
(1110,2,0,4,2,0,4,2,,2,A A B C -， 设平面11AB C 的法向量为()1
111,,n x y z ，则有
…………………10分 …6分
………6分 …6分
()()(
)(11111111
11,,4,4,00
0,,2,00x y z n AB x y z n AC ⋅-=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨
⋅-=⋅=⎪⎪⎩⎩ 1110x y z =⎧⇒⎨=⎩， 令11x =，则1
(1,1,0)n =…………………………………8分
设平面111A B C 的法向量为()2
222,,n x y z ，则有
222
y x =⎧⎪⇒⎨
=⎪⎩，令21z =，则2(3,0,1)n =………………………………………10分
所以：121212
cos ,2n n n n n n ⋅<>===
⋅
所以：平面11AB C 与平面111A B C 所成的角的余弦值是
12分 19．解：（1）当1x <时，2
'()32f x x x b =-++，……………………………………1分
由题意得：()122'03f f -=⎧⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭
⎩，即2244
3093b c b -+=⎧⎪
⎨-⨯++=⎪⎩，…………………………………3分 解得：0b c ==。

…………………………………5分
（2）由（1）知：32(1)
()ln (1)x x x f x a x
x ⎧-+<=⎨≥⎩
①当11x -≤<时，'()(32)f x x x =--，
解'()0f x >得203x <<；解'()0f x <得10x -<<或213x << ∴()f x 在(1
0)-，和2(,1)3
上单减，在2(0)3，上单增， 由'()(32)0f x x x =--=得：0x =或2
3
x =，………………………………………6分
∵ 24
(1)2()(0)0(1)0327
f f f f -====，，，，
∴()f x 在[1,1)-上的最大值为2。

……………………………………………………8分 ②当1x e ≤≤时，()ln f x a x =，
当0a ≤时，()0f x ≤；当0a >时，()f x 在[1,]e 单调递增；
∴()f x 在[1,]e 上的最大值为a 。

……………………………………………………10分 ∴当2a ≥时，()f x 在[1,]e -上的最大值为a ；……………………………………11分 当
2a <时，()f x 在[1,]e -上的最大值为2。

……………………………………12分
20．解：（1）当3m =-时，直线的倾斜角为120︒
，所以：226
cos60a c c a
+=⎧⎪
⎨=︒⎪⎩…………3分
解得：2,1a c b ==⇒=
，………………………………………………………5分
所以椭圆方程是：22143
x y +=；………………………………………………………6分
（1）当0m =时，直线l 的方程为：1x =，此时，,M N 点的坐标分别是331,,1,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 又A 点坐标是()2,0-，由图可以得到,P Q 两点坐标分别是()()4,3,4,3-，以PQ 为直径
的
圆过右焦点，被x 轴截得的弦长为6，猜测当m 变化时，以PQ 为直径的圆恒过焦点2F ，被x
轴截得的弦长为定值6，…………………………………………………………………8分
证明如下：设点,M N 点的坐标分别是
()()1122,,,x y x y ，则直线AM 的方程是：
1122
y x y x +=+， 所以点P 的坐标是1164,
2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理，点Q 的坐标是2264,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，…………………9分
由方程组22
14
31x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得到：()
()2
2223
141234690my y m y my ++=⇒++-=，
所以：
121222
69
,3434
m y y y y m m --+=
=++，……………………………………11分 从而：()()()()()()
1212
2212123636414192233y y y y F P F Q x x my my ⋅=--+=+++++
()12222212123693699399182736
y y m y y m y y m m m -⨯=+
=++++--++=0，
所以：以PQ 为直径的圆一定过右焦点2F ，被x 轴截得的弦长为定值6。

………13分 21．解：（1）1n b dn d =-+，前n 行共有()
11232
n n n +++++=个数，
因为45
1332⨯=
+，所以2135a b q =⨯，即()2411d q += 又因为783132⨯=+，所以2318a b q =⨯，即()25
713d q +=，
解得：1
2,3
d q ==，……………………………………………………………………4分
所以：21n b n =-，1
1121
33n n n n n c b ---⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
，()()1211331321123
13
n n n
n n S n ⎛⎫
-- ⎪-⎝⎭==-⋅-……7分
（2）12121n n n n n n d S c S +-+=
++()()112121
3313
312212123233n n
n n n
n n n n ++-+=+-⎡⎤-+-+⎢
⎥⎣⎦ 1123333131n n n n ++⎡⎤=+⎢⎥+-⎣⎦()()()11
2312112223313133131n n n n n
++⎡
⎤-⎡⎤⎢⎥=+-=-⎢⎥-+-+⎣⎦⎢⎥
⎣⎦
……10分
又因为()()()()()()1
112
2312312331331313331n
n
n n n n n n +++--<=
<+-+-+ 所以：1232312111223333n n d d d d n +⎡⎤
⎛⎫++++>
-+++
⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦。

1232312
211142242
22333339339
n n n n n d d d d n ++⎡⎤⎛⎫+++
+>
-+++
=-+>- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦……14分。