贝叶斯决策举例

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三、风险型决策
其主要的步骤如下：
（1）已知条件概率密度参数表达式和先验概率；
（2）利用贝叶斯公式转换成后验概率； （3）根据后验概率大小进行决策。 利用已学过的条件概率、乘法公式及全概率公式得到后验概率的贝叶斯 公式如下：
公式成立表示在A成立的情况下, 事件Bi成立的概率,=P(Bi A)/P(A).
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P（Bi│A） =
P（A│Bi ）P（Bi ）
∑ P（A│Bi ）P（Bi ）
i=1 n
， i = 1,2,3，…，n
（2.5）
公式表示若事件B1，B2，…，Bn构成一 个完备事件组且都有正概率，则对任意一 个事件A都有公式成立
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三、风险型决策
贝叶斯决策是决策分析中最重要的方法之一，但需要解决两方面问题。
经营该产品是有利可图的，下一步应该决策是否需要聘请博瑞咨询公司。 根据咨询公司对市场预测的准确性，H1=预测市场畅销，H2=预测市场 滞销，根据题意得
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三、风险型决策
P（H1 │Q1）=0.95， P（H2│Q1）=0.05
P（H1 │Q2）=0.10， P（H2│Q2）=0.90
由全概率公式得，咨询公司预测该产品畅销和滞销的概率分别为
= =
0.95×0.8 0.78 0.10×0.2 0.78
≈ 0.9744 ≈Βιβλιοθήκη 0.0256Page 24
P（H1 │Q2）P（Q2）
三、风险型决策
P（Q1 │H2）=
P（Q2 │H2）= P（H2│Q1）P（Q1） P（H2） P（H2）
=
= 0.05×0.8 0.22 0.90×0.2 0.22
P（H1）= ∑ P（H1│Qj）P（Qj） =0.95×0.8+0.10×0.2=0.78
j=1 2
2
P（H2）= ∑ P（H2│Qj）P（Qj）=0.05×0.8+0.90×0.2=0.22
j=1
由贝叶斯公式，计算条件概率得
P（Q1 │H1）= P（Q2 │H1）=
P（H1 │Q1）P（Q1） P（H1） P（H1）
≈ 0.1818
≈ 0.8182
P（H2 │Q2）P（Q2）
用补充信息对状态变量进行修正，得到状态变量的概率分布：
P（Qj│Hi），i=1,2；j=1,2
此为状态变量的后验分布。
（2.6）
当市场咨询预测结果为畅销时，用后验概率代替先验概率得到A1的期望 收益为
E（A1│H1）=0.9744×30000-0.0256×7000=29052.8（万元） E（A2│H1）=0（万元）
E = E（A1│H1）× P（H1 ）+ E（A2│H2） × P（H12）
= 29052.8 ×0.78+0 ×0.22=22661.2（万元）
E -E（A1）=22661.2-22600=61.2（万元）
因此，只要大唐公司支付给咨询公司额市场调查费用不超过61.2万元， 就可以进行市场调查，否则不应该进行市场调查。若调查结果畅销，则 应该选择经营该产品，若调查结果滞销，则不应该经营该产品。
故当咨询公司预测畅销时，最佳决策为A1 ，即经营该产品。
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三、风险型决策
同样，当预测结果为滞销时，用后验概率代替先验概率，求得期望收益
E（A1│H2）=0.1818×30000-0.8182×7000=-273.4（万元） E（A2│H2）=0（万元）
故当咨询公司预测滞销时，最佳决策为A2，即不经营该产品。 总的期望收益值为
（1）如何利用新信息对先验概率进行修正。
（2）由于获得新信息通常会产生一定的费用，这就需要对新信息的价 值进行估计，并确定是否有必要获得新信息。
信息是否可靠会直接影响到决策的质量，但因信息不对称，获得可靠信 息需要付出成本，可能是时间成本，也可能是经济成本。只有当信息带
来的价值大于获得信息的成本是，才有必要去获取新的信息。因此，通
常把信息本身带来的新的收益称为信息的价值。
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三、风险型决策
例题2.4
大唐公司经营智能监控产品，假设市场可能存在畅销和滞销两种状态。 若市场畅销，可以获利30000万元；若市场滞销，则亏损7000万元。根 据历年的市场销售资料，该产品畅销的概率为0.8，滞销的概率为0.2。 为了更加准确地掌握该产品的市场销售情况，大唐公司打算聘请博瑞咨 询公司进行市场调查和分析。根据以往预测准确率的记录，该咨询公司 对该类产品预测为畅销的准确率为0.95，预测为滞销的准确率为0.90。 试根据市场咨询分析结果，判断大唐公司是否应该聘请博瑞公司进行咨 询？
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三、风险型决策
解：
大唐公司有两种可供选的方案：A1 —经营该产品，A2 —不经营该产品。 该产品的市场销售状态有两种，及Q1 —畅销，Q2 —滞销。先验概率
p（Q1）=0.8，p（Q2）=0.2。
利用先验概率计算各方案的期望收益值：
E（A1 ）=30000×0.8+（-7000）×0.2=22600（万元） E（A2）=0
三、风险型决策
3、贝叶斯决策
求解风险型决策问题的基础是设定自然状态的概率分布和后果期望值函 数。对自然状态的概率分布所做估计的准确性，会直接影响到决策的期
望损益值。这种仅仅依靠决策人的经验主观设定的自然状态的概率分布
（即先验概率）精度不可能有很大改进。 贝叶斯（Bayes）决策是通过调查抽样、科学实验等方法收集新信息， 然后用更准确的新信息修正和改进原来对自然状态的概率分布所做的估 计，并利用经过修正的概率分布（即后验概率）做出决策。