数学上海七校高三联考(2016.12)

七校十二月联考数学试卷
2016.12
一. 填空题
1. 函数1()sin()3f x x π=+的最小正周期T =
2. 函数()f x x =的反函数是
3. 计算：2
23lim 51
n n n n →∞-=+ 4. 已知函数()2x
g x =，且()()2g a g b ⋅=，则ab 的最大值是
5. 方程lg(21)lg 1x x ++=的解为
6. △ABC 中，,,A B C 所对边分别为,,a b c ，1a =，7b =，3c =B =
7. 设0x 为函数()22x f x x =+-的零点，且0(,)x m n ∈，其中,m n 为相邻的整数，则 m n +=
8. 定义在R 上的函数()y f x =满足()(5)3f x f x ⋅+=，(1)2f =，则(2016)f =
9. 已知2cos()3πθ+=-，(,0)2
πθ∈-，则θ= 10. 设公比为q (0)q >的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若2232S a =+，4432S a =+， 则q =
11. 如右图在△ABC 中，若4AB =，6AC =，
60BAC ︒∠=，D 、E 分别在边AB 、AC 上，
且2AB AD =，3AC AE =，点F 为DE 的中
点，则BF DE ⋅=
12. 若不等式||2x a +≤在[1,2]x ∈时恒成立，则实数a 的取值范围是
13. 设集合1234{,,,}A a a a a =，若A 的所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 {1,3,5,8}B =-，则集合A =
14. 把自然数按右图所示排列起来，从上往下
依次为第一行、第二行、第三行……，中间用
虚线围起来的一列数，从上往下依次为1、5、
13、25、……，按这样的顺序，排在第30个
的数是
二. 选择题
15. 若0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） A. 11a b < B. 2ab b < C. 2ab a -<- D. 11a b
-<- 16. 已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2)a =，(,32)b m m =-，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c a b λμ=+(,λμ为实数)，则实数m 的取值范围为（ ）
A. (,2)-∞
B. (2,)+∞
C. R
D. (,2)
(2,)-∞+∞ 17. 下列说法中正确的是（ ）
A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题是“若21x =，则1x ≠”
B.“1x =-”是“220x x --=”的必要不充分条件
C. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题
D.“tan 1x =”是“4x π=
”的充分不必要条件 18. 已知函数2()4(2)f x x =--[2,4]x ∈对于满足1224x x <<<的任意1x 、2x ， 下列结论：①1221()()x f x x f x >；②2112()()x f x x f x >；③2121()[()()]0x x f x f x --<； ④2121()[()()]0x x f x f x -->；其中正确的是（ ）
A. ①③
B. ②③
C. ①④
D. ②④
三. 解答题
19. 已知||1a =，||2b =；
（12b =，求a b ⋅；
（2）若a 与b 的夹角为60︒
，求||a b +；
（3）若a b -与a 垂直，求a 与b 的夹角；
20. 某电器专卖店销售某种型号的空调，记第n 天*(130,)n n N ≤≤∈的日销售量为()f n （单位：台），函数()f n 图像中的点分别在两条直线上，如图所示该两条直线交点的横坐 标为m *()m N ∈，已知1n m ≤≤时，函数()32f n n =-；
（1）当30m n ≤≤时，求函数()f n 的解析式；
（2）求m 的值及该店前m 天销售该型号空调的销售总量；
（3）按照经验判断当该店此型号空调的销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增 加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时才可被认为开始旺销？
21. 单位圆上有四个点(1,0)E 、(cos ,sin )A θθ、(cos 2,sin 2)B θθ、(cos3,sin3)C θθ，
03
πθ<≤，分别设△OAC 、△ABC 的面积为1S 和2S ；
（1）用sin θ、cos θ表示1S 和2S ；
（2）求
12cos sin S S θθ
+的最大值及取最大值时θ的值；
22. 已知,a b 为实数，函数2()1f x x ax =++，且函数(1)y f x =+是偶函数，函数 ()((1))(31)(1)2g x b f f x b f x =-⋅++-⋅++在区间(,2]-∞-上是减函数，且在区间 (2,0)-上是增函数；
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）求实数b 的值；
（3）设()(1)212h x f x qx q =+-++，问是否存在实数q ，使得()h x 在区间[0,2]上有最 小值2-？若存在，求出q 的值；若不存在，说明理由；
23. 已知等差数列{}n a 的首项为c ，公差为d ，等比数列{}n b 的首项为d ，公比为c ； 其中,c d Z ∈，且11223a b a b a <<<<；
（1）求证：0c d <<，并由23b a <推导c 的值；
（2）若数列{}n a 共有3n 项，前n 项和为A ，其后n 项和为B ，再其后n 项和为C ，求 22():()B AC A C --的比值；
（3）若数列{}n b 的前n 项、前2n 项、前3n 项和分别为D 、G 、H ，试用含字母D 、G 的式子来表示H （即(,)H f D G =，且不含字母d ）；
参考答案
一. 填空题
1. 2
2. 12()f x x -=(0)x ≥
3. 35-
4. 14
5. 2x =
6. 56π
7. 1
8. 32
9. 2arccos 3- 10. 32 11. 4 12. 30a -≤≤ 13. {3,0,2,6}- 14. 1741
二. 选择题
15. D 16. D 17. C 18. B
三. 解答题
19.（12（232+（3）4
π； 20.（1）()28f n n =+；（2）8m =，销售总量220台；（3）第18天；
21.（1）1sin cos S θθ=，2sin sin cos S θθθ=-；
（2）122)1cos sin 4S S πθθθ+=-+，3
πθ=，最大值为132+； 22.（1）2()21f x x x =-+；（2）13b =-；（3）32q =-或72
； 23.（1）2c =；（2）14
；（3）2()G D H G D -=+；。