数学分析(一)：一元微积分 南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.8.1) 曲线的长度和微元法

曲线的长度
设 σ 为 C1 曲线, 我们用以直化曲的方法来求它的长度.
将 [α, β] 分割为 α = t0 < t1 < · · · < tn = β, 曲线上的点 (x(ti ), y (ti )) 把曲线分 成若干段, 每一段的长度可以近似地用直线段的长度表示, 即
n
L(σ) ≈
i =1
(x (ti ) − x (ti−1))2 + (y (ti ) − y (ti−1))2,
n i =1
|y
(ηi ) − y
(ξi )|∆ti
≤
n i =1
ωi
(y
)∆ti
→
0,
因此有
n
L(σ) = lim
(x (ti ) − x (ti−1))2 + (y (ti ) − y (ti−1))2
π →0
i =1
n
= lim
(x (ξi ))2 + (y (ξi ))2∆ti
π →0
i =1
设 σ 为 C1 曲线, 我们用以直化曲的方法来求它的长度.
将 [α, β] 分割为 α = t0 < t1 < · · · < tn = β, 曲线上的点 (x(ti ), y (ti )) 把曲线分 成若干段, 每一段的长度可以近似地用直线段的长度表示, 即
n
L(σ) ≈
i =1
(x (ti ) − x (ti−1))2 + (y (ti ) − y (ti−1))2,
σ(t) = (x(t), y (t)), t ∈ I. 如果 x(t), y (t) ∈ C0(I), 则称 σ 为 R2 上的连续曲线. 如果 x(t), y (t) ∈ C1(I), 则 称 σ 为 C1 曲线.
曲线的长度
设 σ 为 C1 曲线, 我们用以直化曲的方法来求它的长度.
曲线的长度
(x − x0)2 + (y − y0)2 = r 2. 我们选择其参数为
x = x0 + r cos θ, y = y0 + r sin θ, θ ∈ [0, 2π]. 注意到 (x )2 + (y )2 ≡ r 2, 因此利用上述公式可得圆的周长公式 2πr .
思考
问题 2: 现在你知道为什么连接两点的最短线是直线段吗?
一元微积分与数学分析
— 曲线的长度和微元法
梅加强
南京大学数学系
曲线的长度
在平面几何中, 我们知道连接两点的最短线是直线段.
曲线的长度
在平面几何中, 我们知道连接两点的最短线是直线段. 问题 1: 怎样求曲线的长度?
曲线的长度
在平面几何中, 我们知道连接两点的最短线是直线段. 问题 1: 怎样求曲线的长度? 推动微积分发展的重要原因之一就是人们想要计算曲线的长度, 曲面的面积等 等.
由微分中值定理, 存在 ξi , ηi ∈ (ti−1, ti ), 使得
x (ti ) − x (ti−1) = x (ξi )(ti − ti−1), y (ti ) − y (ti−1) = y (ηi )(ti − ti−1),
曲线的长度
设 σ 为 C1 曲线, 我们用以直化曲的方法来求它的长度.
(x (ξi ))2 + (y (ηi ))2 ∆ti − (x (ξi ))2 + (y (ξi ))2 ∆ti ≤ |y (ηi ) − y (ξi )|∆ti ,
当 π = max{|ti − ti−1|} → 0 时
n i =1
|y
(ηi ) − y
(ξi )|∆ti
≤
n i =1
ωi(yBiblioteka )∆ti→0,
曲线的长度
√
√
利用不等式 | a2 + b2 − a2 + c2| ≤ |b − c| 可得
(x (ξi ))2 + (y (ηi ))2 ∆ti − (x (ξi ))2 + (y (ξi ))2 ∆ti ≤ |y (ηi ) − y (ξi )|∆ti ,
当 π = max{|ti − ti−1|} → 0 时
曲线的长度
在平面几何中, 我们知道连接两点的最短线是直线段. 问题 1: 怎样求曲线的长度? 推动微积分发展的重要原因之一就是人们想要计算曲线的长度, 曲面的面积等 等. 基本的手法就是以直化曲. 比如, 用折线的长度去逼近曲线的长度.
曲线的长度
在平面几何中, 我们知道连接两点的最短线是直线段. 问题 1: 怎样求曲线的长度? 推动微积分发展的重要原因之一就是人们想要计算曲线的长度, 曲面的面积等 等. 基本的手法就是以直化曲. 比如, 用折线的长度去逼近曲线的长度. 设 I = [α, β], σ 是从 I 到平面的映射, 用分量表示为
当 dt → 0 时可得
ds =
(x (t))2 + (y (t))2
1
2 dt
微元法
这样我们就得出了曲线长度的计算公式. 我们可以将以上推导过程中的要点提 炼出来并加以简化.
以 dt 代替 ∆ti = ti − ti−1, 记 σ 在 [t, t + dt] 这一段的长度为 ds, 则 (ds)2 ≈ [x(t + dt) − x(t)]2 + [y (t + dt) − y (t)]2 ≈ |x (t)|2(dt)2 + |y (t)|2(dt)2,
将 [α, β] 分割为 α = t0 < t1 < · · · < tn = β, 曲线上的点 (x(ti ), y (ti )) 把曲线分 成若干段, 每一段的长度可以近似地用直线段的长度表示, 即
n
L(σ) ≈
i =1
(x (ti ) − x (ti−1))2 + (y (ti ) − y (ti−1))2,
由微分中值定理, 存在 ξi , ηi ∈ (ti−1, ti ), 使得
x (ti ) − x (ti−1) = x (ξi )(ti − ti−1), y (ti ) − y (ti−1) = y (ηi )(ti − ti−1), 从而有
(x (ti ) − x (ti−1))2 + (y (ti ) − y (ti−1))2 = (x (ξi ))2 + (y (ηi ))2 ∆ti .
当 dt → 0 时可得
ds =
(x (t))2 + (y (t))2
1
2 dt
积分即得曲线长度公式, 这就是所谓的微元法. ds 称为无穷小线元, s 称为弧长 参数.
圆的周长
例1 求平面上半径为 r 的圆的周长.
圆的周长
例1 求平面上半径为 r 的圆的周长. 解. 以 (x0, y0) 为中心, 以 r 为半径的圆周满足方程
=
β
(x (t))2 + (y (t))2
1
2 dt .
α
微元法
这样我们就得出了曲线长度的计算公式. 我们可以将以上推导过程中的要点提 炼出来并加以简化.
微元法
这样我们就得出了曲线长度的计算公式. 我们可以将以上推导过程中的要点提 炼出来并加以简化. 以 dt 代替 ∆ti = ti − ti−1, 记 σ 在 [t, t + dt] 这一段的长度为 ds, 则 (ds)2 ≈ [x(t + dt) − x(t)]2 + [y (t + dt) − y (t)]2 ≈ |x (t)|2(dt)2 + |y (t)|2(dt)2,
微元法
这样我们就得出了曲线长度的计算公式. 我们可以将以上推导过程中的要点提 炼出来并加以简化.
以 dt 代替 ∆ti = ti − ti−1, 记 σ 在 [t, t + dt] 这一段的长度为 ds, 则 (ds)2 ≈ [x(t + dt) − x(t)]2 + [y (t + dt) − y (t)]2 ≈ |x (t)|2(dt)2 + |y (t)|2(dt)2,
思考
问题 2: 现在你知道为什么连接两点的最短线是直线段吗? 提示: 根据三角不等式, 折线段的长度不会小于直线段的长度.
思考
问题 2: 现在你知道为什么连接两点的最短线是直线段吗? 提示: 根据三角不等式, 折线段的长度不会小于直线段的长度. 问题 3: 你能计算椭圆的周长吗?
思考
问题 2: 现在你知道为什么连接两点的最短线是直线段吗? 提示: 根据三角不等式, 折线段的长度不会小于直线段的长度. 问题 3: 你能计算椭圆的周长吗? 提示: 请在网上搜索“椭圆函数”.
曲线的长度
√
√
利用不等式 | a2 + b2 − a2 + c2| ≤ |b − c| 可得
(x (ξi ))2 + (y (ηi ))2 ∆ti − (x (ξi ))2 + (y (ξi ))2 ∆ti ≤ |y (ηi ) − y (ξi )|∆ti ,
曲线的长度
√
√
利用不等式 | a2 + b2 − a2 + c2| ≤ |b − c| 可得