2017-2018年九年级数学 第3讲 二次函数探究—二次函数与直角三角形的综合问题教案

二次函数与直角三角形的综合问题
知识点二次函数综合;勾股定理；相似三角形的性质；
教学目标1.熟练运用所学知识解决二次函数综合问题2．灵活运用数形结合思想
教学重
点
巧妙运用数形结合思想解决综合问题;
教学难
点
灵活运用技巧及方法解决综合问题；
考点1 二次函数的基础知识
1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y 叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数,这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数．
2。

二次函数y=ax2+bx+c(a，b,c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式:y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标
才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1)（x－x2),通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式;
对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－2b a，
2
4
4
ac b
a
）．对于
y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h,k），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．
考点2 勾股定理及逆定理
1。

定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2=c2）
2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：
（1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边和另两边的关系,求直角三角形的另两边
（3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
3。

逆定理:如果三角形的三边长:a,b，c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意:
(1）首先确定最大边，不妨设最长边为c.
（2）验证c2和a2+b2是否具有相等的关系,若a2+b2=c2，则△ABC 是以∠C为直角的直角三角形.
考点3 探究直角三角形的一般思路
探究直角三角形的存在性问题时,具体方法如下：
(1）先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论;（2）找点:当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下：
①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线,与数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点;
②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；
(3）计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边（表示线段时，注意代数式的符号）。

再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点坐标.
例题精析
例1 如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C （0,－
3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对
称轴交于点D ．
（1)求抛物线的函数表达式; （2）求直线BC 的函数表达式；
（3)点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于 点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段
3
4
PQ AB
时，求tan∠CED 的值；
②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请 直接写出点P 的坐标．
例2如图，直线
43
4
+-
=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的
坐标是(—2，0）．
（1）试说明△ABC 是等腰三角形；
(2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动,运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时,△MON 的面
积为S ．
① 求S 与t 的函数关系式；
② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？ 若存在,求出对应的t 值；若不存在请说明理由;
③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．
例3如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6,0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
(2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合）,点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式,并求出m为何值时，S取得最大值；
②当S最大时，在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上若存在点F,使△FDQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．
例4如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB,动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；
（2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标．
课程小结
有针对性的对勾股定理、相似三角形的性质及二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与直角三角形的综合问题提供有利的依据。

在探究二次函数与直角三角形的综合问题时，抓住已有的信息及条件在函数图像中构造出直角三角形,并能运用直角三角形的性质解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。

例1【规范解答】
(1）设抛物线的函数表达式为2
(1)
y x n
=-+，代入点C(0，－3），
得
4
n =-．所以抛物线的函数表达式为
22(1)423
y x x x =--=--．
（2）由2
23(1)(3)
y x
x x x =--=+-，知A(－1,0)，B(3，0)．设直线BC
的函数表达式为y kx b =+，代入点B(3，0)和点C （0，－3)，得
30,3.
k b b +=⎧⎨
=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．
（3）①因为AB ＝4，所以3
34
PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x
＝1对称，所以点P 的横坐标为12
-．于是得到点P 的坐标为
17,24⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
,
点F 的坐标为
70,4⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭．所以
75344FC OC OF =-=-
=,522
EC FC ==． 进而得到51
322
OE OC EC =-=-
=，点E 的坐标为
10,2⎛⎫- ⎪
⎝
⎭．
直线BC ：3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2)．
过点D 作DH⊥y 轴,垂足为H ． 在Rt△EDH 中,DH ＝1,13
222
EH OH OE =-=-
=,所以tan∠CED
2
3
DH EH =
=．
②1
(12,2)
P -
-，
265(1,)22
P -
-．
【总结与反思】
1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．
2．第（3）题的关键是求点E 的坐标，反复用到数形结合，注意y 轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．
3．根据C 、D 的坐标，可以知道直角三角形CDE 是等腰直角
三角形，这样写点E 的坐标就简单了． 例2【规范解答】（1）直线
43
4
+-
=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、
与y 轴的交点C （0，4）．Rt△BOC 中，OB ＝3，OC ＝4,所以BC ＝5．点A 的坐标是（—2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．
（2)①如图2，图3,过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt△BNH 中，BN ＝t ，
4sin 5B =
，所以4
5NH t
=．
如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时
211424
(2)22555S OM NH t t t t =
⋅⋅=-⨯=-+．此时
0＜t ≤2．
如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时
211424(2)22555S OM NH t t t t =
⋅⋅=-⨯=-．此时
2＜t ≤5．
图2 图3
②把S ＝4代入22455
S t t
=-，得224
4
55t t -=．解得1211t =+，2211t =-(舍去
负值）．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，
此时211t =+
．
③如图4,当∠OMN ＝90°时，在Rt△BNM 中，BN ＝t,BM
5t =-，
3cos 5B =
，所以535t t -=．解得25
8t =
．
如图5，当∠MON ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝
90°的可能． 所以，当258t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．
图4 图5 【总结与反思】1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形,暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．
2．不论M 在AO 上还是在OB 上,用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含t 的式子表示OM 要分类讨论．
3．将S ＝4代入对应的函数解析式,解关于t 的方程．
4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能． 例3【规范解答】（1)将A 、C
两点坐标代入抛物线249y x bx c =-++ c ＝8，436609b c -⨯++=，
解得 b ＝43， c ＝8 ，∴抛物线的解析式为244893y x x =-++
（2)①∵OA=8,OC=6∴
2210AC OA OC =+=过点Q 作QE⊥BC 与E 点，则3sin 5QE AB ACB QC AC ∠===
∴3105QE m =-∴()3105QE m =-∴()()22113331510352
2510102S CP QE m m m m m =⋅⋅=⨯-=-+=--+ ∴当m=5时，S 取最大值；
②在抛物线对称轴l 上存在点F,使△FDQ 为直角三角形,∵抛物线的
解析式为244893y x x =-++的对称轴为32x =，
D 的坐标为（3，8)，Q （3,4)，
当∠FDQ=90°时，F1（32 ，8），当∠FQD=90°时，则F2（32 ，4), 当∠DFQ=90°时,设F(3
2，n ）,则FD 2+FQ 2=DQ 2，即
()()2299841644n n +-++-=，解得:
762n =±， ∴F3（32 ，7
62+)，F4(32，762-），
满足条件的点F 共有四个，坐标分别为 F1（32 ，8），F2（32，4),F3(32,762+），F4（32，762-）．
【总结与反思】
1. 将A 、C
两点坐标代入抛物线244893y x x =-++即可求得抛物线的解
析式；
2. ①先用m 表示出QE 的长度,进而求出三角形的面积S 关于m 的函数，化简为顶点式,便可求出S 的最大值；
②直接写出满足条件的F 点的坐标即可，注意不要漏写．
例4【规范解答】解：(1)由A(4，0）,可知
OA=4,∵OA=OC=4OB，∴OA=OC=4,OB=1，
∴C（0，4），B(﹣1，0）．设抛物线的解析式是y=ax 2+bx+c ，则，解得：，
则抛物线的解析式是：y=﹣x 2+3x+4；
（2）存在．第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作
CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．∵∠ACP1=90°，
∴∠MCP1+∠ACO=90°．∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP1=∠OAC．
∵OA=OC，∴∠MCP1=∠OAC=45°，
∴∠MCP1=∠MP1C,∴MC=MP1，
设P（m，﹣m2+3m+4），则m=﹣m2+3m+4﹣4，解得：
m1=0（舍去)，m2=2．
∴﹣m2+3m+4=6，即P（2，6）．
第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．∴P2N∥x轴,由∠CAO=45°,∴∠OAP=45°,∴∠FP2N=45°，
AO=OF．∴P2N=NF，
设P2（n，﹣n2+3n+4），则n=（﹣n2+3n+4）﹣1，解得:n1=﹣2，n2=4（舍去)，∴﹣n2+3n+4=﹣6，
则P2的坐标是（﹣2，﹣6)．
综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6)；
（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则
OD=EF．根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF 最短．由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，则
AC==4，根据等腰三角形的性质,D是AC的中点．又∵DF∥OC,∴DF=OC=2,∴点P的纵坐标是2．则﹣x2+3x+1=2,解得：x=,
∴当EF最短时,点P的坐标是：（,0）或(，0）．
【总结与反思】
(1）根据A的坐标，即可求得OA的长，则B、C的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
(2)分点A为直角顶点时，和C的直角顶点两种情况讨论，根据OA=OC,即可列方程求解;
（3）据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短，根据等腰三角形的性质,D是AC的中点，则DF=OC，即可求得P的纵坐标，代入二次函数的解析式,即可求得横坐标,得到P 的坐标．。