2018年高三最新 北京市宣武区2018学年度第一学期期末

北京市宣武区2018－2018学年度第一学期期末质量检测
高三数学（文科） 2018.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合U = {1，2，3，4，5，6，7}，A = {3，4，5}，B = {1，3，6}，则A ∩(U B)
等于（ A ）
A ．{4，5}
B ．{2，4，5，7}
C ．{1，6}
D ．{3} 2．函数f (x ) =
1
)1ln(-+x x 的定义域是（ B ）
A ．{x | x ＞－1}
B ．{x | x ＞1}
C ．{x | x ≥－1}
D ．{x | x ≥1} 3．若指数函数y = a x 的反函数的图象经过点 (2，－1)，则a 等于（ A ） A ．
2
1
B ．2
C ．3
D ．10 4．在正项等比数列{a n }中，a 1、a 99是方程x 2－10x + 16 = 0的两个根，则a 40·a 50·a 60的值为（ B ）
A ．32
B ．64
C ．±64
D ．256 5．若把一个函数的图象按= (－3
π
，－2)平移后得到函数y = cosx 的图象，则原图象的函数解析式是（ D ）
A ．y = cos (x +
3π)－2 B ．y = cos (x －3π
)－2 C ．y = cos (x +3π) + 2 D ．y = cos (x －3
π
) + 2
6．如图，四面体P －DEF 中，M 是棱EF 的中点，PD 、PE 、PF 两两垂直，必有（ C ） A ．DM ⊥平面PEF B ．PM ⊥平面DEF C ．平面PDE ⊥平面PEF D ．平面PDE ⊥平面DEF 7．若二项式 (x －
x
2)n
的展开式的第5项是常数项，则正整数n 的值为（ B ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
D
P
F M
E
8．4本不同的书全部分给3个同学，每人至少一本，则不同的分法有（ C ） A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 9．某学校有初中生1180人，高中生900人，教师120人，现对该学校的师生进行样本容量为n 的分层抽样，已知抽取的高中生为60人，则样本容量n 为 .（140） 10．已知平面向量= (0，1)，b = (x ，y )，若⊥b ，则实数y = .（0） 11．函数f (x ) = A sin (ωx +ϕ)（A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜
2
π
）的部分图象如图所示，则f (x )的解析式为 .（f (x ) = 2sin 4π
x ）
12．在等差数列{a n }中，已知a 11 = 10，那么它的前21项的和S 21 = .（210） 13．已知m 、n 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：① α⊥β，α∩β= m ，m ⊥n ，则n ⊥α或n ⊥β；② 若α∥β，α∩γ= m ，β∩γ= n ，则m ∥n ；③ 如果直线m 与平面β内的一条直线平行，那么m ∥β；④ 若α∩β= m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β. 所有正确命题的序号是 .（②④）
14．在密码学中，你直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，有一种密码，将英文的26个字母a 、b 、c ，…，z （不论大小写）依次对应1，2，3，…，26，这26个自然数，见表格：
现给出一个变换公式：x '=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤∈+≤≤∈+为偶数），，，（为奇数），，，（x x N x x x x N x x 261*132
261*21
，可将英文的明文（明码）转换成密码，按上述规定，若将英文的明文译成的密码是shxc ，那么原来的明文是 .（love ）
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分） 已知cos 2θ=
87
，θ∈(2
π，π). （I ）求sin θ的值；
（II ）求sin (θ+6π
)－sin 2θ的值. 解：（I ）∵ cos 2θ=87，∴ 1－2sin 2θ=8
7
，
∴ sin 2θ=161
.
∵θ∈(2
π，π)，∴ sin θ=41
.
（II ）∵ sin θ=41
且θ∈(2π，π)，
∴ cos θ=415-，∴ sin 2θ= 2sin θcos θ= 2×41
×(415-) =815-.
∴ sin (θ+6π)－sin 2θ= sin θ·cos 6π+ cos θ·sin 6
π
－sin 2θ
=41×23+ (415-)×21
－(815-)
=8
3
.
16．（本小题满分13分）
已知四棱锥P －ABCD ，底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD 且PA = 1，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，MQ ⊥PD 于Q. （I ）求证：AB ∥平面MNQ ； （II ）求证：平面PMN ⊥平面PAD ； （III ）求二面角P －MN －Q 的余弦值.
解：（I ）证明：∵ ABCD 为正方形且M 、N 分别为AD 、BC 的中点， ∴ AB ∥MN.
又∵ MN ⊂平面MNQ ，AB ⊄平面MNQ ， ∴ AB ∥平面MNQ.
（II ）证明：∵ ABCD 为正方形且M 、N 分别为AD 、BC 的中点， ∴ MN ⊥AD.
∵ PA ⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，∴ MN ⊥AP. 又∵ AD ∩AP = A ， ∴ MN ⊥平面PAD ，又∵ MN ⊂平面PMN ，∴ 平面PMN ⊥平面PAD.
P
D
C
Q
M N
B A
（III ）由（II ）有MN ⊥平面PAD ，PM ⊂平面PAD ，MQ ⊂平面PAD ， ∴ MN ⊥PM ，MN ⊥MQ ，
∴ ∠PMQ 为二面角P －MN －Q 的平面角. ∵ PA = AD = 1，∴ ∠PDA =︒45. 在Rt △MQD 中，MQ =
22MD =4
2，在Rt △PAM 中，PM =22AM PA +=25.
在Rt △PMQ 中，cos ∠PMQ =PM MQ
=2542
=1010.
∴ 二面角P －MN －Q 的余弦值为10
10
.
17．（本小题满分13分）
在甲、乙两个队的乒乓球比赛中，乒乓球的规则是“五局三胜制”，现有甲、乙两队每局获胜的概率分别为
32和3
1
. （I ）前两局乙队以2：0领先，求最后甲、乙两队各自获胜的概率； （II ）乙队以3：2获胜的概率.
解：（I ）在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜，所以甲队获胜的概率为P 1 = (
32)8 =27
8
. （方法1）在乙队以2：0领先的前提下，若乙队获胜则乙队可能以3：0；3：1；3：2的比分赢得比赛，所以乙队获胜的概率为：
P 2 =
31+32×31+ (32)2×31=27
19
. （方法2）“甲队获胜”与“乙队获胜”为对立事件，所以乙队获胜的概率为：
P 2 = 1－
278=27
19
. （II ）若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队取胜，前四局乙队输两局赢两局，所以乙队以3：2获胜的概率为： P 3 =2
4C ·(
32)2·(31)2·31=81
8
.
18．（本小题满分13分）
已知函数f (x ) = x 2 (ax + b )（a ，b ∈R ）在x = 2时有极值，其图象在点 (1，f (1 ))处的切线与直线3x + y = 0平行. （I ）求a 、b 的值；
（II ）求函数f (x )的单调区间.
解：（I ）∵f (x ) = x 2 (ax + b ) = ax 3 + bx 2，
∴f '(x ) = 3ax 2 + 2bx ，∵ 函数f (x )在x = 2时有极值， ∴ f '(2 ) = 0，即 12a + 4b = 0，
①
∵ 函数f (x )的图象在点(1，f (1 ))处的切线与直线3x + y = 0平行. ∴ f '(1 ) =－3，即3a + 2b =－3， ②
由①②解得，a = 1，b =－3.
（II ）f '(x ) = 3x 2－6x = 3x (x －2)，令3x (x －2)＞0， 解得：x ＜0或x ＞2，
令3x (x －2)＜0，解得：0＜x ＜2.
∴ 函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(2，+∞)，单调递减区间为(0，2).
19．（本小题满分14分）
设数列{a n }满足a 1 = 2，a n +1 = 3a n －2，n = 1，2，3，…. （I ）求证：数列{a n －1}是等比数列； （II ）求{a n }的通项公式； （III ）求{a n }的前n 项和S n .
解：（I ）证明：∵ a n +1 = 3a n －2，且a 1 = 2， ∴ a n +1－1 = 3 (a n －1)，且a n ≠1， ∴
1
1
1--+n n a a = 3，∴数列{a n －1}是等比数列.
（II ）∵数列{a n －1}是等比数列，
∴ a n －1 = (a 1－1)·q n －
1 = (2－1)·3n －
1 = 3n －
1，
∴ a n = 3n －
1 + 1.
∴ {a n }的通项公式a n = 3n －
1 + 1.
（III ）S n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n = (30 + 1) + (3 + 1) + (32 + 1) + … + (3n －
1 + 1)
= (30 + 3 + 32 + … + 3n －
1 ) + n
=31)31(1--⋅n + n =21×3n + n －2
1
.
20．（本小题满分14分） 已知函数f (x ) = x | x －a |（a ∈R ）. （I ）判断f (x )的奇偶性；
（II ）解关于x 的不等式：f (x )≥2a 2； （III ）写出f (x )的单调区间.
解：（I ）函数f (x )的定义域是R ，当a = 0时，f (－x ) =－x | －x | =－x | x | =－f (x )， ∴ f (x )是奇函数.
当a ≠0时，∵ f (a ) = 0，f (－a ) = －2a | a |， ∴ f (－a )≠f (a )且f (－a )≠－f (a )， ∴ f (x )既不是奇函数，也不是偶函数. （II ）∵ x | x －a |≥2a 2， ∴ 原不等式等价于⎩⎨
⎧≥+-2
2
2a
ax x a x ＜ ① 或⎩⎨⎧≥-≥2
2
2a
ax x a x ②
由①得⎩
⎨⎧≤+-022
2a ax x a
x ＜，无解； 由②得⎩⎨⎧≥--≥0
22
2a ax x a x ，即⎩⎨⎧≥+-≥0))(2(a x a x a
x ， ⑴ 当a = 0时，x ≥0；
⑵ 当a ＞0时，由⎩
⎨⎧≤≥≥a x a x a
x －或2，得x ≥2a .
⑶当a ＜0时，由⎩
⎨⎧≤≥≥a x a x a
x 2或－，得x ≥－a .
综上，当a ≥0时，f (x )≥2a 2的解集为{x | x ≥2a }；当a ＜0时，f (x )≥2a 2的解集为{x | x ≥－a }.
（III ）f (x ) = x | x －a | =⎪⎩⎪⎨⎧+-≥-）
＜，（，（a x ax x a x ax x 22)
.
⑴ a = 0时，如图1，函数f (x )在R 上为单调递增函数，(－∞，+∞)为单调递增区间； ⑵ a ＞0时，如图2，函数f (x )的单调递增区间为[a ，+∞)和(－∞，2
a
]，单调递减为[
2
a
，a ]； ⑶ a ＜0时，如图2，函数f (x )的单调递增区间为[
2
a
，+∞)和(－∞，a ]，单调递减为[a ，
2
a ].
图1
图3。