223__向量数乘运算及其几何意义(教案).doc

2. 2.3向量数乘运算及其几何意义
【教学目标】
1、知识与技能
掌握实数与向量的积的定义，理解实数与向量的积的几何意义；掌握实数与向量的积得运算律；理解两
个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行。

2、过程与方法
通过本节的教学，培养学生数形结合和分类讨论思想，同时渗透类比和化归思想方法。

3、情感、态度与价，
通过对向量共线的充要条件的分析理解，培养学生严谨的学习习惯。

【教学重点】
实数与向量积的定义、运算律，向量共线的充要条件。

【教学难点】
向量共线定理的理解。

【教学方法】
讲练结合法。

【教学过程】
K创设情境导入新课》_ _
【导语】在物理学科中我们学习过如下的公式：F = ma,S = vt等，这些公式都是实数与向量的乘积的具体体现，并且从这些公式可以看出，实数可以与向量相乘，并且一个实数乘以一个向量的结果还是一个向量。

因此，在数学中我们就从这些公式出发，抽象出一般的实数与向量的乘积的定义以及它们的一些运算律和性质。

在小学我们由几个相同的有理数相加导出了数的乘法的运算法则，现在我们已经学过了向量的加法运算，那么由几个相同的向量相加，我们又能否得出类似的实数与向量的乘法运算呢？
已知向量G ,求向量d+Q + d和(-+ + ,并思考和向量与向量G的关系。

【总结】(1 )由于向量a + a + a是由三个向量方相加得到的，因此为了简单起见，我们将a + a + a记作：3：,因此3：是一个向量，又因为a + a + a的方向与向量方的方向相同，模长为向量方的模长的3倍，所以3。

的方向与向量a的方向相同，模长为向量。

的模长的3倍。

即：向量3a与向量a同向且3a = 3 a。

(2 )类似地，由于(-可+ (-可+(-可是由三个向量(-可相加得到的，因此为了简单起见，我们将(-a) + (-a) +
(-a)记作:3(-a),因此，3(-a)也是一个向量,又因为(-a) + (-a) + (-a)的方向与
与向量 a + a + a 互为相反向量，因此( - a)
+
又由于d + a + a 可记作：3« ,
对于任意向量二乙以及任意实数2、“ “2，恒有：=
如式嗨
向量。

的方向相反，模长为向量Q 的模长的3倍，所以3 -a 的方向与向量a 的方向相反，模长为向量a 的 模长的3倍。

即：向量3(-可与向量2反向且3(-可=3同。

由上面的作图可知：向量(匚)+ (-可+ (-可 所以a) + ") + (-。

)又可记作—3d ，从而：(-d) + (「a) + (―町=—3a ‘ 这样 > 3(―a) = —3d 。

所以, -3方的方向与向量：的方向相反，模长为向量方的模长的3倍。

即：向量-3方与向量2反向且
【导语】从另一个角度也可以这样理解上述结论：既然3：是一个记号，因此，3：也可以看成是实数3与
向量2相乘得到；同理，-3：也可以看成是实数-3与向量方相乘得到。

同时，上面这两种记法实际上是 由多个相同的向量相加而且为了简化结果而引入。

但是为了得到更一般的结论，我们规定任意实数兄与任 意向量方之间也可以相乘，但此时不代表多个相同的向量相加，而是一种实数与向量的乘法运算了。

下面 我们就来学习实数与向量的积的相关知识。

K 合作交流解读探究)1
1、实数与向量的积(也叫数乘向量)的定义：
一般地，设久是任意一个实数，。

是任意一个向量，则实数2与向量方的乘积仍然是一个 向量，记作2方，它的长度与方向规定如下：
(1) 2d =园|° ；
(2) 当2>0时，2：的方向与2的方向相同；当2v0时，的方向与方的方向相反； 当2 = 0时，加=6。

【说明】(1)实数2与向量方可以作乘积运算，其结果是一个向量；但不能作加减运算，即:
2±a 是无意义的；
(2) 加=6o 2 = 0或a =6； (3) Aall a ； (4)
的几何意义：
当2〉0时，我们可以认为久方是将向量方同向伸长(2〉1)或缩短(0<A<l) 到原来的2倍得到的；
当2<0时，我们可以认为2方是将向量方反向伸长(A<-1)或缩眼(-1<2<0) 到原来的园倍得到的；
综上：我们可以认为处是将向量2同向(2〉0)或反向(2<0)伸长(园〉1)
或缩短(园<1)到原来的|2|倍得到的。

(5)向量的线性运算：向量的加法、减法和实数与向量的乘积的综合运算，通常叫
做向量的线性运算(或线性组合，也叫初等运算)。

这里只有定义向量的加法、减法和数乘运算，没有定义向量与向量的除法运算,
是没有定义的，在解题过程中不能随便创造符号与运算。

【例1】点P 是线段上的一点，且AP :PB = 2:3 ,设向量PA = a ,试用向量：表示向量N 瓦丙和
BPo
+ a + a
AC
(2)求园：|Z|
去括号、添括号、分解因式等。

A.2a-b
(2 )设向量a =
C.b-a r -
3i + 2j,b = 2i_j ,贝！I -a-b -
丿
B2b_a D.a一b
Q 訶+（2口）=
【变式1】仁课本心练习1、2
【总结】已知直线上三点久B C ,用向量而表示向量X?时，实系数2的求法：
(1)根据向量而与向量犹的方向决定2的正负：同向为正，反向为负;
—A
AB\
(3)由(1) (2)求出2的值。

B c
2、如图所示，D是AABC的边AB1.的中点，则向量丽=_G4 + _CB = _BC + _BAo
2、实数与向量的积得运算律：
设入“是任意两个实数；方Z是任意两个向量，则：
(1) 结合律：2伽卜(3)° ="(加)；
(2) 第一分配律：(几+ “) a =加 + “a ；
(3) 第二分配律：+可=加+菽；
【说明】由以上运算律可知，实数与向量的积的运算法则与实数中的多项式运算法则一样, 可以按多项式的运算法则进行运算；同时也提公因式、
【例2】课本心例5
【例3】(1 )丄丄(2： + 8可一(4方一2可的结果是()
3
【变式2】1、课本心练习3、5
2、化简| (4方一3可+ ”一右(6：—7可｝
3、若3m + 2n = a,m-3n=h ,其中a,为是已知向量，求m.n o
3、共线向量定理：
定理1：向量为与非零向量方共线当且仅当有且只有一个(有唯一一个)实数2,使得 b —加o 即:
若贝^hll a <^>h = Aa (2wR 且 2 唯一)
【证明】“<=”
若d兀，由实数与向量的积的定义可知：(兀)// a,:.b a ;
' II
“ y n
若初a ,则先证存在性再证唯一性。

存在性：
(1 )当b = O时，则b = O = Oa，此时2 = 0o
故存在一个实数；1 = 0使得b = Aci成立；
(2)当^0时，有以下两种情况：
②当hila 且反向向时，令
A = ，此时，
i
h -
Aa =
-Cl —
—
a
I
a
③根据①②确定
2的彳
且与a 反向，又与a 反向，.•./? = 2d 。

综上所述：若初/ a ,则存在唯一的一个实数2使得b = Aa 成立。

唯一性:(反证法) 假设还存在一个实数“使得：b = /Lia ，且2工〃，则：b = Aa,b = “a ,
—# «-e —# —> —
/. Aa = pia => (2-“)。

= 0,v 2 H //,/. Q-“ H 0,.*. a=0 , 这与a 矛盾，
・•.兄是唯一一个使得等式成立的实数。

综上所述：当初/方时，存在唯一一个实数2使得b = Aa o
【说明】(1)定理中的限制条件“：工6”不能去掉。

若方=0,则：
当h = b 时，兄有无数多个，此时不满足唯一性； 当^6时，z 不存在，此时不满足存在性； 综上所述：a 工6。

(2)若乙// a 9则式子"乙=加”中2的求法：
%1 根据乙,方的方向确定2的正负：同向为正，反向为负； —0
b
%1 求园：|2| =—；
a
(3)若不共线，且加=“亦则必有2 = “ = 0。

(4) 与非零向量方共线的单位向量是±1。

a
(5) 该定理可应用于证明或判断向量共线和几点共线(转化为有公共点的向量共线)。

定理2：两个向量：与方共线当且仅当存在两个不全为0的实数2,“使得兀+历=6。

即:
• •
all b o + = 6(入“ € R 月.才 +〃2
工 0)。

【证明】略。

【说明】若a,乙不共线,且加+历=6,则2 = “ = 0。

【例4】如图：已知AD = 3AB,DE = 3BC ,试判断向量況与疋是否共线。

-- b
一 b - b
①当bll a 且同向时，令久=二，此
/L a =- — = a =h C 1
a a
,且加
与G 同向，又方与d 同向,.\h = Aa
b
求证：
M 、N C 三点共线。

【变式3】课本心练习4
定理3：若型在色4、兰所塞直线外,上不同的三点A 、B C 共线 o ABII 疋或砺 BC AC BC
<=>AC = AAB 或商=“荒 7^C = yBC
o 0C = mOA + nOB+ n = 1)
o xOA-\- yOB + zOC = 6 (兀+)； + z 二0,兀,y,z 不全为 0 )
【证明】现只证明倒数第二个等价结论。

••―、
”
若不同的点 A 、B C 共线，则 AC = AAB ,即：OC-~OA = ^[OB-OA^ ,
0C = (1 — a)0A + AOB ，令 x = 1 — 2, y =兄，贝！I : 0C — xOA + yOB,兀 + y = 1。

«”
若 OC = xOA + y~OB,x + y = \ ,贝U : OC ={\-y^OA +yOB ,
.•.dC -O4 = y(dB-0^)=>XC = jAB , ACII AB , 又v AC, AB 有公共点A ,・••点A 、B C 共线。

【例5】课本心例6
【例6】已知非零向量石不共线。

(1 )若 AB =弓 +e 2, BC = 2e } + 8e 2, CD = 3(q -勺),求证:A 、B D 三点共线。

(2 )欲使k^ + el 和石+
共线，试确定实数£的值。

【变式4】已知非零向量石和&不共线，若农=2石+ 3瓦，旋=6石+ 2石,乙万=4石—8&, 求证：4、B D 三
点共线。

【例7】如图所示，已知在 ABCD^ ,点M 为AE 的中点，点N 在BD 上,且3BN = BD 。

［变式5】晌在AABC 中，在AC 上取点N 歸皿扣，在上取点旳伽^十B ,
在的延长线上取点P ,使得NP = -BN ,在CM 的延长线上取一点Q ,使得MQ = XCM 时有 2
K应用迁移
K当堂检巩固提高》（本节无其它提升例题和练习题）随堂巩固』
AP = QA成立，试确定2的值。

【例8】在四边形ABCD中，AB = a^-2b,BC = -4a-b,CD = -5a-3h，求证：四边形ABCD为梯形。

【例9】课本垃9例7
【变式6】课本心练习6
1、数乘向量的定义。

2、共线向量定理的应用。

K课后检测信息反馈》
1、课本& 习题2.2A组9、10 B组4
2、课时活页规范训练
K板书设计U
【教学反思】
【课时活页规范训练】
2.2平面向量的线性运算
2. 2. 3 向量数乘运算及其几何意义
双基达标（限时20分10.若2(*— gfl)-*(b + c-3jr) + b = 0,其中a・b・c 为已
1•下列说法正确的是A. 2o与。

不能相等C. 2a//a
( ).
B. |2a|>|a|
D. I2a|#l
2•化简4(a ~b) — 3(a + b) — b
=
A. a —2b
B. a
C. a —6h I), a— 86
3•设a、b为不共线的非零向械•乔=2a + 3b,贷=一80 —
2b・？B=-6a-4b •那么( )
A. AD 与斎同向.RIADOIBCI
B. AD与斎同向.H.I4DKIBCI
C. AD与斎反向•且|応|>|茨|
I). AD#BC
4•若|a| =3>向旺b与a反向•且b|=2・则。

= _______ b.
--- > 2 ►► 9 ►►―►
5.已知AD= yAB>AE=yAC,则DE= ____________ BC.
6.已知匚MBCD 中.AJi = a.AD'=b.对
角线AC. HD交于点O•用a・b表示
OA<BO.
综合提高（限时25分钟）
-- ► Q ---- ►-- ►
7.已知点C在线段AB上•且AC=2AB•则AC等于0
2 -
A.yBC
3 —►
B. yBC D. -yBC
& 已知向 1 a.b.若A5 = a + 2b•斎=-5a + 6b•丽=7a 2b・则一定共线的三点
A.A、B、D B・A、B、C C・B、C、D D.A.C.D 9•已知a#0d€R・下列叙述正确的序号是________ •
①M 〃“②Aa与a方向相同;③晋是单位向量;④若Ml
>|ah 则入>1.
知向就•则未知向旺X= ________ •
11 •已知e, ,e2是两个非零不共线的向就・0 = 2引一巾』=
如】+ % •若a与b是共线向址•求实数k的值.
12•(创新拓展)在厶ABC中.已知说=
A F 1 —►―►
箭专•设BC=a・CA = b.
・・ 1
求证:DE=*(b-a)・。