赣榆区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

赣榆区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 等比数列{a n }中，a 4=2，a 5=5，则数列{lga n }的前8项和等于（ ）
A ．6
B ．5
C ．3
D ．4
2． 设集合A={x|2x ≤4}，集合B={x|y=lg （x ﹣1）}，则A ∩B 等于（
）
A ．（1，2）
B ．[1，2]
C ．[1，2）
D ．（1，2]
3． 已知在△ABC 中，a=
，b=
，B=60°，那么角C 等于（
）
A ．135°
B ．90°
C ．45°
D ．75°
4． 阅读下面的程序框图，则输出的S=（
）
A ．14
B ．20
C ．30
D ．55
5． 如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则
等（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B ∪（∁U A ）=（
）
A ．{5}
B ．{1，2，5}
C ．{1，2，3，4，5}
D ．∅
7． 设集合,集合,若 ,则的取值范围3|01x A x x -⎧⎫
=<⎨⎬+⎩
⎭
(){}2|220B x x a x a =+++>A B ⊆（
）
A ．
B ．
C.
D ．1a ≥12a ≤≤a 2≥12
a ≤<8． 一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
（）
（A）8（B ）4
（C）8 3
（D）4 3
9．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的是（）
①f（x）＜0恒成立；
②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；
③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；
④；
⑤．
A．①③B．①③④C．②④D．②⑤
10．定义运算，例如．若已知，则
=（）
A．B．C．D．
11．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）
A．13πB．16πC．25πD．27π
12．若，则等于（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）
14．已知z是复数，且|z|=1，则|z﹣3+4i|的最大值为 ．
15．若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则k的取值范围是 ．
16．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为 ．
17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2a n+1=a n，若对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2+tx+1＞S n 恒成立，则实数x的取值范围为 ．
18．求函数在区间[]上的最大值 ．
三、解答题
19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，PA=AB=BC=CD=2，PD=2，PA ⊥
PD ，Q 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：CQ ∥平面PAB ；
（Ⅱ）若平面PAD ⊥底面ABCD ，求直线PD 与平面AQC 所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）椭圆C ：＋＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，A ，B x 2
a 2y 2
b 2
是C 的长轴上的两个顶点，已知|PF |＝1，k PA ·k PB ＝－.
12
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的中心O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，求三角形PMN 面积的最大值，并求此时l 的方程．
21．如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，BC ⊥CF ，，EF=2，BE=3，CF=4．
（Ⅰ）求证：EF ⊥平面DCE ；
（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A ﹣EF ﹣C 的大小为60°．
22．如图，四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，点E是A′A的中点，AA′⊥平面ABCD．（1）求证：A′C∥平面BDE；
（2）求体积V A′﹣ABCD与V E﹣ABD的比值．
23．（本小题满分10分）选修4­1：几何证明选讲．
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E，过E的切线与AC交于D.（1）求证：CD＝DA；
（2）若CE＝1，AB＝，求DE的长．
2
24．已知函数f（x）=log2（x﹣3），
（1）求f（51）﹣f（6）的值；
（2）若f（x）≤0，求x的取值范围．
赣榆区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：∵等比数列{a n}中a4=2，a5=5，
∴a4•a5=2×5=10，
∴数列{lga n}的前8项和S=lga1+lga2+…+lga8
=lg（a1•a2…a8）=lg（a4•a5）4
=4lg（a4•a5）=4lg10=4
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．
2．【答案】D
【解析】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，
由x﹣1＞0得x＞1
∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}
∴A∩B={x|1＜x≤2}
故选D．
3．【答案】D
【解析】解：由正弦定理知=，
∴sinA==×=，
∵a＜b，
∴A＜B，
∴A=45°，
∴C=180°﹣A﹣B=75°，
故选：D．
4．【答案】C
【解析】解：∵S1=0，i1=1；
S2=1，i2=2；
S3=5，i3=3；
S4=14，i4=4；
S5=30，i=5＞4
退出循环，
故答案为C．
【点评】本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题．
5．【答案】C
【解析】解：∵M、G分别是BC、CD的中点，
∴=，=
∴=++=+=
故选C
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中将化为++，是解答本题的关键．
6．【答案】B
【解析】解：∵C U A={1，5}
∴B∪（∁U A）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}．
故选B．
7．【答案】A
【解析】
考点：集合的包含关系的判断与应用.
【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用，其中解答中涉及到分式不等式的求解，一元二次不等式的解法，集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键. 8．【答案】A
【解析】
根据三视图可知，该几何体是长方体中挖去一个正四棱锥，故该几何体的体积等于1
2232238
⨯⨯-⨯⨯⨯=
3
9．【答案】D
【解析】解：由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢．所以f（x）的图象如图所示．
f（x）＜0恒成立，没有依据，故①不正确；
②表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号，即f（x）为减函数．故②正确；
③表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]同号，即f（x）为增函数．故③不正确，
④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，
右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，
故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤．
故选D．
10．【答案】D
【解析】解：由新定义可得，=== =．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数，是基础题．
11．【答案】C
【解析】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．
则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积
S=4πr2=25π．
故选C．
【点评】本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系，属于中档题．
12．【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∴（﹣1，2）=m（1，1）+n（1，﹣1）=（m+n，m﹣n）
∴m+n=﹣1，m﹣n=2，
∴m=，n=﹣，
∴
故选B．
【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题等．
二、填空题
13．【答案】　10　cm
【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，
则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm，
∴A′B==10cm．
故答案为：10．
【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．
14．【答案】　6　．
【解析】解：∵|z|=1，
|z﹣3+4i|=|z﹣（3﹣4i）|≤|z|+|3﹣4i|=1+=1+5=6，
∴|z﹣3+4i|的最大值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查复数求模，着重考查复数模的运算性质，属于基础题．
15．【答案】　（﹣1，0）　．
【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（0，5），B（2，7），C（2，2k+5）
△ABC的形状随着直线AC：y=kx+5斜率的变化而变化，
将直线AC绕A点旋转，可得
当C点与C1（2，5）重合或与C2（2，3）重合时，△ABC是直角三角形，
当点C位于B、C1之间，或在C1C2的延长线上时，△ABC是钝角三角形，
当点C位于C1、C2之间时，△ABC是锐角三角形，
而点C在其它的位置不能构成三角形
综上所述，可得3＜2k+5＜5，解之得﹣1＜k＜0
即k的取值范围是（﹣1，0）
故答案为：（﹣1，0）
【点评】本题给出二元一次不等式组，在表示的图形为锐角三角形的情况下，求参数k的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
16．【答案】 ．
【解析】解：由题意画出几何体的图形如图
由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．
∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．
在RT△SHO中，OH=OC=OS
∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，
∴体积V=Sh=××22×1=．
故答案是．
【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．
17．【答案】　（﹣∞，]∪[，+∞）　．
【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2a n+1=a n，
∴数列{a n}是以1为首项，以为公比的等比数列，
S n==2﹣（）n﹣1，
对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2+tx+1＞S n恒成立，
∴x2+tx+1≥2，
x2+tx﹣1≥0，
令f（t）=tx+x2﹣1，
∴，
解得：x≥或x≤，
∴实数x的取值范围（﹣∞，]∪[，+∞）．
18．【答案】 ．
【解析】解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx
=+sin2x
=sin（2x﹣）+．
又x∈[，]，
∴2x﹣∈[，]，
∴sin（2x﹣）∈[，1]，
∴sin（2x﹣）+∈[1，]．
即f（x）∈[1，]．
故f（x）在区间[，]上的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查二倍角的正弦与余弦，考查辅助角公式，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连接QN，BN．
∵Q，N是PD，PA的中点，
∴QN∥AD，且QN=AD．
∵PA=2，PD=2，PA⊥PD，
∴AD=4，
∴BC=AD．又BC∥AD，
∴QN∥BC，且QN=BC，
∴四边形BCQN为平行四边形，
∴BN∥CQ．又BN⊂平面PAB，且CQ⊄平面PAB，
∴CQ∥平面PAB．
（Ⅱ）解：取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO．
由（Ⅰ）知PA=AM=PM=2，
∴△APM为等边三角形，
∴PO⊥AM．同理：BO⊥AM．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．
以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，3，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，），C（，2，0），Q（0，，）．
∴=（，3，0），=（0，3，﹣），=（0，，）．
设平面AQC的法向量为=（x，y，z），
∴，令y=﹣得=（3，﹣，5）．
∴cos＜，＞==﹣．
∴直线PD与平面AQC所成角正弦值为．
20．【答案】【解析】
解：
（1）可设P 的坐标为（c ，m ），则＋＝1，
c 2
a 2
m 2
b 2∴m ＝±，
b 2
a
∵|PF |＝1 ，
即|m |＝1，∴b 2＝a ，①
又A ，B 的坐标分别为（－a ，0），（a ，0），由k PA ·k PB ＝－得
12
·＝－，即b 2＝a 2，②b 2a c ＋a b 2
a c －a 1212
由①②解得a ＝2，b ＝，
2∴椭圆C 的方程为＋＝1.
x 2
4y 2
2
（2）当l 与y 轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P 的坐标为P （，1），此时S △PMN ＝×2×＝
212
222.
当l 不与y 轴重合时，设其方程为y ＝kx ，代入C 的方程得＋＝1，即x ＝±，
x 24k 2x 2
221＋2k 2
∴y ＝±，
2k 1＋2k 2
即M （，），N （，），
21＋2k 22k 1＋2k
2－21＋2k 2－2k
1＋2k 2
∴|MN |＝
(
41＋2k 2)2
＋(4k 1＋2k 2)
2 ＝4，
1＋k 2
1
＋2k 2点P （，1）到l ：kx －y ＝0的距离d ＝，∴S △PMN ＝|MN |d ＝·
2|2k －1|
k 2＋11212
4·
1＋k 21＋2k 2|2k －1|k 2＋1＝2·＝2
|2k －1|1＋2k 2
2k 2＋1－22k 1＋2k 2＝2 ，
1－22k
1＋2k
2当k ＞0时，≤＝1，22k 1＋2k 222k 22k
此时S ≥0显然成立，
当k ＝0时，S ＝2.
当k ＜0时，≤＝1，
－22k 1＋2k 21＋2k 2
1＋2k 2
当且仅当2k 2＝1，即k ＝－时，取等号．
22
此时S ≤2，综上所述0≤S ≤2.
22即当k ＝－时，△PMN 的面积的最大值为2，此时l 的方程为y ＝－
x .
22
222
21．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）在△BCE 中，BC ⊥CF ，BC=AD=，BE=3，∴EC=，
∵在△FCE 中，CF 2=EF 2+CE 2，∴EF ⊥CE 由已知条件知，DC ⊥平面EFCB ，
∴DC ⊥EF ，又DC 与EC 相交于C ，∴EF ⊥平面DCE 解：（Ⅱ）
方法一：过点B 作BH ⊥EF 交FE 的延长线于H ，连接AH ．由平面ABCD ⊥平面BEFC ，平面ABCD ∩平面BEFC=BC ，AB ⊥BC ，得AB ⊥平面BEFC ，从而AH ⊥EF ．所以∠AHB 为二面角A ﹣EF ﹣C 的平面角．在Rt △CEF 中，因为EF=2，CF=4．EC=
∴∠CEF=90°，由CE ∥BH ，得∠BHE=90°，又在Rt △BHE 中，BE=3，∴
由二面角A ﹣EF ﹣C 的平面角∠AHB=60°，在Rt △AHB 中，解得，
所以当时，二面角A ﹣EF ﹣C 的大小为60°
方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB ，CF 和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C ﹣xyz
．
设AB=a （a ＞0），则C （0，0，0），A （
，0，a ），B （
，0，0），E （
，3，0），F （0，4，0）．
从而，
设平面AEF的法向量为，由得，，取x=1，
则，即，
不妨设平面EFCB的法向量为，
由条件，得
解得．所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．
【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直的之间的相互转化，（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．　
22．【答案】
【解析】（1）证明：设BD交AC于M，连接ME．
∵ABCD为正方形，∴M为AC中点，
又∵E为A′A的中点，
∴ME为△A′AC的中位线，
∴ME∥A′C．
又∵ME⊂平面BDE，A′C⊄平面BDE，
∴A′C∥平面BDE．
（2）解：∵V E﹣ABD====V A′﹣ABCD．∴V A′﹣ABCD：V E﹣ABD=4：1．
23．【答案】
【解析】解：（1）证明：
如图，连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，AC ，DE 均为⊙O 的切线，∴∠AEC ＝∠AEB ＝90°，∠DAE ＝∠DEA ＝∠B ，∴DA ＝DE .
∠C ＝90°－∠B ＝90°－∠DEA ＝∠DEC ，∴DC ＝DE ，∴CD ＝DA .
（2）∵CA 是⊙O 的切线，AB 是直径，∴∠CAB ＝90°，
由勾股定理得CA 2＝CB 2－AB 2，又CA 2＝CE ×CB ，CE ＝1，AB ＝，2∴1·CB ＝CB 2－2，
即CB 2－CB －2＝0，解得CB ＝2，∴CA 2＝1×2＝2，∴CA ＝.2由（1）知DE ＝CA ＝，12
22
所以DE 的长为.22
24．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f （x ）=log 2（x ﹣3），∴f （51）﹣f （6）=log 248﹣log 23=log 216=4；（2）若f （x ）≤0，则0＜x ﹣3≤1，解得：x ∈（3，4]
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，对数的运算性质，解答时要时时注意真数大于0，以免出错．。