2019-2020年高三第二次质检(数学理)

2019-2020年高三第二次质检（数学理）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡上）
1．已知全集，集合和的关系的韦恩图（venn ）如图所示，则阴影部分所表示的集合是
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知,是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在
A ．第一象限
B ．第二象限
C 3．函数的最小值为 （ ） A ． B ． C ．
D ．
4．亲爱的同学们，我们济宁一中西校区的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶到其正
上方点的距离，他站在地面处，利用皮尺量得米，利用测角仪测得仰角°，测得仰角后通过计算得到，则的距离为 （ ） A ．米 B ．米 C ．米
D ．米
5．函数的零点个数为 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．下列命题错误的是 （ ）
A ．对于等比数列而言，若，则有
B ．点为函数的一个对称中心
C ．若，向量与向量的夹角为°，则在向量上的投影为
D ．“”的充要条件是“或（）” 7．在中，若有，则的形状是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形或锐角三角形
8．已知O 是平面上的一个定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足, ,则动点P 的轨
迹一定通过△ABC 的（ ） A ．垂心 B ．重心 C ．外心 D ．内心 9．在下表中，每格上填一个数字后，使得每一横行成等差数列， 每一纵列成等比数列，则的值为 （ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
A
D
B C
10．设函数在定义域内可导,的图象如图所示,则导函
数可能为
（ ）
11．函数为奇函数，该函数的部分图像如右图所表示，、分别为最高点与最低点，并且两点间
的距离为，则该函数的一条对称轴为（
） A ．
B ．
C ．
D ．
12
A ．
B ． C
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题纸的相应位置） 13．关于函数，在下列四个命题中： ①的最小正周期是； ②是偶函数； ③的图像可以由的图像向左平移个单位长度得到；④若，，则 以上命题正确的是_____________________________（填上所有正确命题的序号）
14．很难想象城市污水不经过处理我们的生活会变成什么样。

若污水经过污水处理厂的“污
水处理池”过滤一次，能过滤出有害物质的，若过滤次后，流出的水中有害物质在原来的以下，则的最小值为____________________（参考数据）． 15．若动直线与函数和的图像分别交于、两点,则线段的最大值为________________． 16．已知函数满足：①;②。

则 _____．
A B C
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

17．（本小题满分12分）
已知关于的不等式对任意恒成立；
，不等式成立。

若为真，为假，求的取值范围。

18．（本小题满分12分）
已知向量。

（1）若，求；
（2）若函数的图像向右平移（）个单位长度，再向下平移3个单位后图像对应的函数是奇函数，求的最小值。

19．（本小题满分12分）
在中，内角，，的对边分别为，已知，
（1）求的值；
（2）设，求的值．
20．（本小题满分12分）
已知点在直线上，其中
（1）若，求证：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和。

21．（本小题满分12分）
已知一个边长为的正方形
（1）如图甲，以为圆心作半径为的圆弧与正方形交于、两点，在上有一动点，过作,求矩形面积的最小值；
（2）如图乙，在正方形的基础上再拼接两个完全相同的正方形，求。

（图甲）（图乙）
22．（本小题满分14分）
已知，函数。

（1）若函数在处的切线与直线平行，求的值； （2）讨论函数的单调性； （3）在（1）的条件下，若对任意，恒成立，求实数的取值组成的集合。

参考答案
一、选择题： 1．解：易知，，所以，故选C 2．解：，所以该复数对应的点在第一象限。

故选 A ． 3．解：，令，所以，易得该函数的最小值为,故选 B ． 4．解：设，则，，在中应用正弦定理得
，即，所以，即，所以，即，所以。

故选C
5．解：“函数的零点个数”问题等价于“方程解得个数问题”，。

因
为
()1,(2)21232633
g g ππππ=⨯=<=⨯=>，画出与的草图可知道有3个交点，故选 C ．
6．解：根据射影定义则在向量上的射影应该为。

故选 C ． 7．解：由得，
所以，所以，则，所以的形状是直角三角形，故选 B ．
8．解：设边的中点为，由知道，即，所以，又因为，所以动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重
心。

9．解：由已知；第1行的各个数依次为：；第2行的各个数依次为所以，所以，故选 A ． 10．解析：从的图象可以发现只有两个极点不妨设为，因此应该只有两个根分别，所以把选
项A 、C 排除．从原函数的图象看出在区间上是增函数，；在区间上原函数是增函数，；在区间上原函数是减函数，；在区间 上原函数是增函数，，所以应该选 D ． 11解：因为为奇函数，所以，
因此，在下图的
中， ，，，所以， 因此，所以， 把代入得，
所以是一条对称轴．故选 C ． 12．解：“对任意，存在，使得”等价于在上的最小值不大于在上的最小值”，即，所以。

因
此实数的取值范围是,故选 A ． 二、填空题： 13．解：，易知②，④为正确命题
14．解：设原有有害物质为，则过滤次后有害物质还有 ，令，所以，，所以的最小值为 15．解：因为，所以 16．解：由已知得，，，，，，
所以()12[123(1)](1) (2)f n n n n n -=⨯+++⋅⋅⋅+-=-≥， ，
所以
2010
20102010
1
1111112010
()(1)1(1)12011
n n n f n n n n n =====-=+-++∑
∑∑。

三、解答题：
17．解：关于的不等式对任意恒成立，即在上恒成立。

由于在上是增函数，所以，要保证在
上恒成立，只要即可，所以。

因为在上是增函数，在上也是增函数，且，所以在上是增函数，因此不等式等价于，所
以或。

若为真，为假，所以与一真一假， 若真假，应有所以； 若假真，应有所以； 因此的范围是且。

18．解：因为，所以，
所以))x x x x =+，，所以。

因为221
()sin()cos()3(sin cos )3442
f x x x x x π
π=-
++=-+， 所以2222221sin cos 1tan 11333
()313.2sin cos 2tan 12510
x x x f x x x x --=
+=⋅+=⨯+=++ （2）函数的图像向右平移个单位长度后所对应的函数为，再向下平移1个单位得到，
是奇函数当且仅当，因为，所以，因此当时，取到最大值为。

19．解：（1）由得到，，于是 11cos cos cos sin sin cos sin()sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C A C B
A C A C A C A C A C
+++=+=== 又因为，由正弦定理得，
因此
（2）由，得，由，可得即，，
由余弦定理得， 所以，因此． 20．解：（1）因为点在直线上，所以，
所以，，即，所以数列是等差数列
（2）因为，由（1）知数列是以为首项，以为公比的等差数列， 所以，即，所以，因此
1231111
(1)2(2)2(3)2()22222n n S n =-⋅+-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+-⋅，①
23411111
2(1)2(2)2(3)2()22222
n n S n +=-⋅+-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+-⋅，②
①式②式得：
1123411
1114(12)1(1)22222()21()222122
=1+24(21)2 n n
n n n n n S n n n -+++--=-⋅+++⋅⋅⋅+--⋅=+--⋅----⋅ =(3-2n)23
n ⋅- 所以。

21．解
：（
1
）
设
，
则
，
所
以
矩
形
的
面
积
(2cos )(2sin )42(cos sin )sin cos S θθθθθθ=--=-++，令
，所以， 因为，，所以，因为在上是减函数，所以当，
即当时，
（2）说明：本题入口较宽，可以利用三角恒等变换也可以利用向量来解决。

法1：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系，则，，，，
所以cos 10||||6AH AG GAH AH AG ⋅∠=
==
法2：11
tan tan 123tan tan()111tan tan 7
123
GAB HAB GAE GAB HAB GAB HAB -
∠-∠∠=∠-∠==
=+∠⋅∠+⨯ 所以，
因为为锐角，所以 22．解：（1），因为函数在处的切线与直线平行，所以，即，，所以或。

又因为，所以。

（2）函数的定义域为，在定义域上 22(1)(31)2(1)(2)[(1)]
'()(31)a a x a x a a x a x a f x x a x x x
+-+++--+=+-+==,
①当时，。

当或时，； 当时，。

因此函数的单调增区间是和，减区间是。

②当时，。

当或时，；
当时，。

因此函数的单调增区间是和，减区间是。

③当时，，（只在处等于0），
所以函数在定义域上是增函数。

（3）当时，，由（2）知该函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。

因此在区间上，最小值只能在与中取到。

，
22
15111125 ()(1)5
2222
e e e
f e f e
-⋅+ -=+-⋅+=
因为在上单调递减，，
所以，所以，
因此在区间上的最小值是，
若要保证对任意，恒成立，应该有，即，解得，因此实数的取值组成的集合是。