甘肃省天水市高二数学上学期第二学段考试试题 理 新人教A版

数学试题（理）
选择题(每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案) 1. 命题“存在0x ∈
R ，0
2
x ≤0”的否定是（ ）
A ．不存在
0x ∈R ,02x >0 B ．存在0x ∈
R , 02x ≥0
C ．对任意的x ∈R , 2x
≤0 D ．对任意的R x ∈,2x
>0 2. 若命题“q p ∧”为假，且p ⌝为假，则（ ） A ．“q p ∨”为假 B ．q 假 C ．q 真 D ．p 假
3. “9>k ”是“方程1
942
2=-+-k y k x 表示双曲线”的（ ）.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
4. R ∈θ，则方程4
sin 2
2
=+θy x 表示的曲线不可能是（ ）
A 、圆
B 、椭圆
C 、双曲线
D 、抛物线
5. 抛物线
2
81
x y -=的焦点坐标是（ ） A ．(0,－4)
B ．()0,2-
C ．)0,21
(- D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,321
6. 已知点(,)P x y 在椭圆2214x y +=上，则2
2
324x x y +-的最大值为（ ）
A.2-
B.-1
C.2
D.7
7. 双曲线2
2
1
2x y -=的渐近线方程为（ ）
A. 2y x =±
B. y =
C.
2y x =±
D. 1
2y x =±
8. 28
y x =的焦点相同，离心率为 ）
A ．2211216x y +=
B ．221
1612x y += C ．2214864x y += D ．22
16448x y +=
9. 如图,正方体1111D C B A ABCD -中，AC 与D A 1所成角的大小为（ ）
Ａ 0
30 Ｂ 0
60 Ｃ 0
45 Ｄ 0
90 10. ABC ∆的周长是8，)0,1(),0,1(C B -，则顶点Ａ的轨迹方程是（ ）
A.)3(18922±≠=+x y x
B.)0(1892
2≠=+x y x C.)0(13422≠=+y y x D.)0(1432
2≠=+y y x
11. 若向量a )2,1,2(),2,,1(-==b λ，且a 与b 的夹角余弦值为98
，则λ等于（ ） A ．2 B ．2- C ．2-或552 D ．2或552
-
12. 正四棱柱ABCD —A1B1C1D1中，已知AB=2，E ，F 分别是D1B ，AD 的中点，，则二面角D1—BF —C 的余弦值为（ ）
A
.66 B .
21
Ｃ .
23 Ｄ 32
二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 命题“∃
00sin ,x x R x =∈”的否定是_______________________.
14. 以椭圆的右焦点2F 为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于点M ，N ， 若过椭圆左焦点1F 的直线MF1是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为
15. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其侧面积为 。

16. 在空间四边形ABCD 中,1====DA CD BC AB ,若2=BD ,则AC 的取值范围
是________.
三、解答题（本小题满分10分） 17．如图，已知三棱柱
111
ABC A B C -的侧棱与底面垂直，
11
AA AB AC ===，AB AC ⊥，M ，N 分别是1
CC ，BC 的
中点，点P 在直线
11
A B 上，且
111A P A B λ=；
证明：无论λ取何值，总有AM PN ⊥；
18. （本小题满分12分） 如图，椭圆
22
22:1(0)
x y M a b a b +=>>的离心率为3
，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面
积为8.
(1)求椭圆M 的标准方程；
(2) 设直线:,(5,1)l y x m m =+∈--与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||
||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值.
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 是正三角形,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥平面
,ABCD F 为PD 的中点.
(1)求证：AF ⊥平面PCD ；
(2)求直线PB 与平面ABF 所成角的正切值.
20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22
221x y a b +=（0a b >>）
的左焦点为
1(1,0)
F -，且点(0,1)P 在C 上.
（1）求椭圆C 的方程；
A 1
C 1
B 1
M
B
A
P
F
D
B
C
P A
（2）已知直线l 的斜率为2且经过椭圆C 的左焦点.求直线l 与该椭圆C 相交的弦长。

21．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA AD =，点M 、
N 分别为侧棱PD 、PC 的中点
（1）求证：CD ∥平面AMN ； （2）求证：AM ⊥平面PCD .
22．（本小题满分12分）抛物线24y x =的焦点为F ，11221212(,),(,)(,0,0)
A x y
B x y x x y y >><在抛物线上，且存在实数λ，使AF BF λ+=0→
，
25
||4AB =
（1）求直线AB 的方程；
（2）求△AOB 的外接圆的方程。

天水一中2011级2012-2013学年第一学期第二学段考试数学答案 一、选择题
DBADB DCBBA CA 二、填空题
13． x x R x sin ,≠∈∀ 14。

3—1 15. 85 16. （0，2）
三、解答题 17.略
18. （1）根据已知中的离心率和矩形的面积得到a,b,c 的方程，进而求解椭圆方程。

（2）将已知中的直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理得到根与系数的关系，那么得到弦长公式，同时以及得到点S,T 的坐标，进而得到比值。

(I)
222
334c a b e a a -==⇒=……① 矩形ABCD 面积为8，即228a b ⋅=……②
由①②解得：2,1a b ==， ∴椭圆M 的标准方程是2
21
4x y +=.
(II)222244,
58440,x y x mx m y x m ⎧+=⇒++-=⎨
=+⎩，
设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844
,55m x x m x x -+=-=
，
当(5,1)m ∈-- 22
6420(44)0m m ∆=--> 2
22
84442||245555m PQ m m -⎛⎫
=--=- ⎪⎝⎭当51m -<<-时，有(1,1),(2,2),||2(3)S m T m ST m ---+=+， 222||45446
1||5(3)5PQ m ST m t t
-==-+-+，
其中3t m =+，由此知当134t =，即45,(5,1)33t m ==-∈--时，||||PQ ST 2
5
5.
考点：本试题主要考查了椭圆方程的求解以及直线与椭圆位置关系的综合运用。

点评：解决该试题的关键是运用代数的方法来解决解析几何问题时，解析几何的本质。

能结合椭圆的性质得到其方程，并联立方程组，结合韦达定理和判别式的到比值。

19（Ⅰ）证明AF ⊥平面PCD ，利用线面垂直的判定定理，只需证明AF ⊥PD ，CD ⊥AF 即可； （Ⅱ）证明∠PBF 为直线PB 与平面ABF 所成的角，求出PF ，BF 的长，即可得出结论． (Ⅰ)证明:如图,由PAD 是正三角形,F 为PD 中点,所以AF PD ⊥,又因为平面PAD ⊥平
面ABCD ,
且AD =面PAD
面ABCD ; 又底面ABCD 为正方形,即CD AD ⊥ 所以CD ⊥平面PAD ,
而AF ⊂平面PAD , 所以CD AF ⊥,且CD PD D =, 所以AF ⊥平面
PCD .………………6分;
(Ⅱ)由(Ⅰ)证明可知,CD ⊥平面PAD ,所以AB ⊥平面PAD 所以AB PD ⊥,又由(Ⅰ)知AF PD ⊥,且AF
AB A =,所以PD ⊥平面ABF ,
即PBF ∠为直线PB 与平面ABF 所成的角…………………9分
且2AB =,易知3,1AF PF ==,Rt BAF ∆中,
22
7BF AF AB =+=所以
7
tan PF PBF BF ∠=
=,即求.………………12分
考点：本题考查线面垂直，考查线面角，属于中档题．
点评：解题的关键是正确运用线面垂直的判定，作出线面角.
20. （1）根据椭圆的性质可知焦点坐标得到c 的值，然后结合点在椭圆上得到a,b 的关系式，进而求解椭圆方程。

（2）根据题意设出直线方程，那么与椭圆联立方程组，结合韦达定理得到弦长公式。

（Ⅰ）因为椭圆C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22
221x y a b +=，得2
11b =，即1b =，所以2222a b c =+=，所以椭圆C 的方程为22
12x y +=.
（Ⅱ）直线l 的方程为22y x =+，
2
21222x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得2
91660x x ++=，12169x x +=-，126
9x x =
12AB x =-
9，
考点：本试题主要考查了椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知
识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想。

点评：解决该试题的关键是能够熟练的利用a,b,c 的关系式，求解椭圆的方程，以及能运用设而不求的思想，设点，接和韦达定理表示出弦长公式。

21. （1）根据题意要证明CD ∥平面AMN ，只要证明CD MN 即可得到。

（2）要证明线面垂直只要证明一条直线垂直于平面内的两条相交直线即可得到。

（1）证明：M 、N 分别为侧棱PD 、PC 的中点，
∴
CD MN
CD AMN CD AMN
MN AMN ⎫
⎪
⊄⇒⎬⎪⊆⎭面面面
（2）PA AD AM PD
M PD =⎫
⇒⊥⎬⎭为中点
PA CD CD DA CD PAD CD AM
PA AD A AM PAD ⊥⎫
⎫⎪⎪
⊥⇒⎬⎪
⇒⊥⎬⎪⋂=⎭⎪
⎪⊂⎭面,又PD CD D ⋂=,AM ∴⊥平面PCD 考
点：本试题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用，考查逻辑推
理能力．
点评：解决该试题的关键是熟练利用线面垂直的判定定理和线面平行的判定定理得到结论。

注意性质定理和判定定理的互相的转化运用。

22. （Ⅰ）抛物线24y x =的准线方程为1x =-．
∵AF BF λ+=0，∴A ，B ，F 三点共线．由抛物线的定义，得|AB |=122x x ++…1分
设直线AB ：(1)y k x =-，而
由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++=．
|AB |=122x x ++=
AB ，即4340x y --=
（2）由2
4340,4,
x y y x --=⎧⎨=⎩ 求得A （4
，4），B 1）
设△AOB 的外接圆方程为
22
0x y Dx Ey F +
+++=，则
故△AOB
考点：本试题主要考查了直线与抛物线的综合问题．考查综合运用能力． 点评：解决该试题的关键是能根据向量的工具性得到D,F,E 三点共线，然后结合根与系数的关系得到参数的值。