《根号 2 是有理数吗》 学习任务单

《根号 2 是有理数吗》学习任务单
一、学习目标
1、理解有理数的概念和特点。

2、掌握证明根号 2 不是有理数的方法。

3、培养逻辑推理和数学思维能力。

二、学习重难点
1、重点
（1）有理数的定义和性质。

（2）根号 2 不是有理数的证明过程。

2、难点
（1）反证法的思路和应用。

（2）对无理数概念的深入理解。

三、学习过程
（一）有理数的概念
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。

例如，整数 5 可以表示为 5/1，有限小数 025 可以表示为1/4，无限循环小数 0333可以表示为 1/3。

（二）无理数的概念
无理数是不能表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数。

例如，圆周率π和根号 2 等。

（三）证明根号 2 不是有理数
假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为一个分数 p/q，其中 p 和 q 是互质的整数（即它们没有除 1 以外的公因数）。

则有√2 ＝ p/q ，两边平方得到 2 ＝ p²/q²，即 p²＝ 2q²。

由此可知，p²是偶数。

因为奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，所以 p 也是偶数。

设 p ＝ 2m （m 是整数），则（2m）²＝ 2q²，即 4m²＝ 2q²，q²
＝ 2m²。

所以 q 也是偶数。

但 p 和 q 都是偶数，这与 p 和 q 互质矛盾。

因此，假设不成立，根号 2 不是有理数，而是无理数。

（四）练习与巩固
1、思考：为什么要用反证法来证明根号 2 不是有理数？
2、练习：证明根号 3 不是有理数。

（五）拓展与应用
1、了解无理数在数学和实际生活中的应用，如在几何图形的边长
计算、物理中的一些常量等。

2、探究其他常见无理数的特点和证明方法。

四、学习总结
通过本次学习，我们明确了有理数和无理数的概念，重点掌握了证
明根号 2 不是有理数的方法——反证法。

这种方法在数学证明中经常
用到，希望同学们能够熟练掌握并灵活运用。

同时，我们也对无理数
有了更深入的认识，为后续学习更复杂的数学知识打下了基础。

五、学习评价
1、完成课后练习题，检查对有理数和无理数概念的理解以及证明
方法的掌握程度。

2、参与小组讨论，分享自己的学习心得和疑问，互相评价和学习。

3、自我评价学习过程中的表现，如学习态度、参与度、理解程度等，总结经验教训，不断提高自己的学习能力。