新人教版高中数学选择性必修第一册1

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03
课堂巩固 自测
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1．已知向量 a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线 l1，l2 的一个方向向 量，若 l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝125
√ C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝125
解析：由题意得32 ＝x4 ＝5y ，所以 x＝6，y＝125 .
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所
以
→ AE＝－1，0，12 Nhomakorabea，
→ FC1
＝
－1，0，12
，
→ EC1
＝
0，1，12
，
→ AF
＝
0，1，12，
所以A→E＝F→C1，E→C1＝A→F，
所以A→E∥F→C1，E→C1∥A→F
又因为F∉AE，F∉EC1， 所以AE∥FC1，EC1∥AF， 所以四边形AEC1F是平行四边形．
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3．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若
α∥β，则k＝( )
A．2
B．－4
√C．4
D．－2
解析：因为 α∥β，所以－12
＝－24
－2 ＝k
，所以 k＝4.
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4.如图，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，点 M，N 分别是面 对角线 A′B 与面对角线 A′C′的中点．求证：MN∥侧面 AD′； MN∥AD′，并且 MN＝12 AD′. 证明：设A→B ＝a，A→D ＝b，A→A′ ＝c，
则A→M ＝12 (a＋c)，A→N ＝c＋12 (a＋b)， 所以M→N ＝A→N －A→M ＝12 (b＋c)， 即M→N 与 b，c 共面．
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因为MN⊄平面AD′， 所以MN∥平面AD′， 又因为 b＋c＝A→D′ ，
所以M→N
＝12
→ AD′
，
所以 MN∥AD′，MN＝12 AD′.
即x2－z2＝0，
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令z2＝1，得x2＝1，y2＝0， 所以n2＝(1，0，1). 因为n1＝n2，所以平面EFG∥平面PBC.
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证明面面平行问题的两种方法 (1)转化为相应的线线平行或线面平行；(2)分别求出这两个平面的法向量， 然后证明这两个法向量平行．本例题采用的是方法(2)，解题过程虽复杂， 但思路清晰，是证明面面平行的常用方法．
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方法三：因为B→1C＝A→1D，B1∉A1D， 所以 B1C∥A1D. 又 A1D⊂平面 ODC1，B1C⊄平面 ODC1， 所以 B1C∥平面 ODC1.
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利用空间向量证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面 内的一个基底表示． (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线 面平行判定定理得证． (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平 面的法向量垂直．
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2．已知平面α的一个法向量是(2，－1，－1)，α∥β，则下列向量可作为平
面β的一个法向量的是( )
A．(4，2，－2)
B．(2，0，4)
√ C．(2，－1，－5) D．(4，－2，－2)
解析：因为α∥β，所以β的法向量与α的法向量平行，又(4，－2，－2)＝
第一章 空间向量与立体几何
1.4.2 空间中直线、平面的平行
目录 CONTENTS
必备知识 落实 关键能力 提升 课堂巩固 自测 课后达标 检测
01
必备知识 落实
知识点 空间平行关系的向量表示 (1)两直线平行的判定方法 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔____u_1∥__u_2____⇔∃λ∈R， 使得___u_1_＝__λ_u_2__．
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因为ABCD为等腰梯形，所以∠BAD＝∠ABC＝60°. 取AF的中点M，连接DM， 则DM⊥AB，所以DM⊥CD. 以D为原点，DM，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角 坐标系， 则 D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A( 3 ，－1，0)，F( 3 ，1，0)，C(0，2， 0)，C1(0，2，2)，
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如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，侧棱 A1A⊥底面 ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD ＝CD＝ 5 ，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点．求 证：MN∥平面 ABCD. 证明：如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可
得 A(0，0，0)，C(2，0，0)，D(1，－2，0)，B1(0，1，2)， D1(1，－2，2).
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因为 M，N 分别为 B1C，D1D 的中点，所以 M1，21，1 ，N(1，－2，1). 依题意，可得 n＝(0，0，1)为平面 ABCD 的一个法向量，又M→N ＝ 0，－52，0 ，则M→N ·n＝0，又直线 MN⊄平面 ABCD，所以 MN∥平面 ABCD.
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考点三 平面与平面平行的证明 如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正
由nn··OO→→DC1＝＝00，，得－－1122xx00＋－1212yy00＝－0z0，＝0，解得yz00＝＝－x0，x0， 令 x0＝1，得 n＝(1，1，－1)，B→1C·n＝－1＋1＝0，所以B→1C⊥n，又 B1C ⊄平面 ODC1，所以 B1C∥平面 ODC1.
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方法二：因为B→1C＝B→1C1＋B→1B＝B→1O＋O→C1＋D→1O＋O→D＝O→C1＋O→D， 所以B→1C，O→C1，O→D共面． 又 B1C⊄平面 ODC1，所以 B1C∥平面 ODC1.
＋12
×12
→ (DC
＋D→P
)＝14
→ BD
＋14
→ DC
＋14
→ DP
＝14
→ BC
＋14
→ DP
＝14
→ (AD
＋D→P
)
＝14
→ AP
，又 M∉AP，所以 MN∥AP.
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证明直线平行的两种思路
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如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E， F 分别为 DD1 和 BB1 的中点，求证：四边形 AEC1F 是平行 四边形．
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(2)直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔___u_⊥__n______ ⇔_u_·_n_＝__0__． (3)平面和平面平行的判定方法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔___n_1_∥__n_2___⇔∃λ∈R，使得__n_1_＝__λ_n_2___．
方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F， G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面 EFG∥平面PBC. 【证明】 由题意知 AB，AP，AD 两两垂直，以 A 为原点，
AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所
示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，
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2．(2022·辽宁高二月考)若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向
量为n＝(－2，1，1)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
√C．l⊂α或l∥α
D．l与α斜交
解析：因为a＝(1，0，2)，n＝(－2，1，1)，所以a·n＝1×(－2)＋0×1＋
2×1＝0，所以l⊂α或l∥α.故选C.
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所以D→D1＝(0，0，2)，D→A＝( 3，－1，0)，C→F＝( 3，－1，0)，C→C1＝(0， 0，2)， 所以D→D1∥C→C1，D→A∥C→F， 又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA⊂平面AA1D1D，CC1，CF⊂平 面FCC1， 所以平面AA1D1D∥平面FCC1.
0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0).
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所以F→E ＝(0，－1，0)，F→G ＝(1，1，－1)，B→C ＝(0，2，0)，P→B ＝(2，
0，－2)，
设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 GEF 的法向量，
则 n1⊥F→E
，n1⊥F→G
考点二 直线与平面平行的证明 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 是 B1D1 的
中点，求证：B1C∥平面 ODC1. 【证明】 方法一：建立空间直角坐标系 Dxyz，如图所示，设正方体的 棱长为 1，
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则可得 B1(1，1，1)，C(0，1，0)，O12，12，1，C1(0，1，1)，D(0，0，0)， 所以B→1C＝(－1，0，－1)，O→D＝－21，－12，－1，O→C1＝－21，12，0. 设平面 ODC1 的法向量为 n＝(x0，y0，z0)，
n1·F→E＝0， ，即n1·F→G＝0，
得－ x1＋y1＝y1－0，z1＝0，
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令z1＝1，则x1＝1，y1＝0， 所以n1＝(1，0，1). 设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 PBC 的一个法向量，
由 n2⊥P→B ，n2⊥B→C ，
n2·P→B＝2x2－2z2＝0， y2＝0，
得n2·B→C＝2y2＝0，
√A．平行 B．相交
C．垂直 D．不确定 解析：由题意知ν2＝(－2，0，2)，所以ν2＝－2ν1，即ν2与ν1共线，所以两条 不重合直线l1和l2的位置关系是平行，故选A.
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2．根据下列条件，判断相应的平面与平面、直线与平面的位置关系： (1)两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(1，3，0)，ν＝(－3，－9，0)； 解：因为u＝(1，3，0)，ν＝(－3，－9，0)， 所以ν＝－3u，所以u∥ν，且平面α，β不重合，所以α∥β.
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04
课后达标 检测
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[A 基础达标] 1．在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)， D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．垂直 √B．平行
C．异面 D．相交但不垂直 解析：由题意得，A→B ＝(－3，－3，3)，C→D ＝(1，1，－1)，所以A→B ＝ －3C→D ，所以A→B 与C→D 共线，又 AB 与 CD 没有公共点，所以 AB∥CD.
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(1)u，u1，u2，n，n1，n2都是非零向量． (2)用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合；证明线面平行时， 必须说明直线不在平面内；证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．
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1．(2022·辽阳高二月考)若两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为ν1＝(1， 0，－1)，ν2＝(－2，0，2)，则l1和l2的位置关系是( )
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(2)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(3，2，1)，u＝(－1，2， －1). 解：因为a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)， 所以a·u＝－3＋4－1＝0， 所以a⊥u，所以l⊂α或l∥α.
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02 关键能力 提升
考点一 直线与直线平行的证明 如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩
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如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底 面 ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2， AA1＝2，F 是棱 AB 的中点． 求证：平面 AA1D1D∥平面 FCC1. 证明：因为 AB＝4，BC＝CD＝2，F 是棱 AB 的中点，
所以 BF＝BC＝CF，
所以△BCF 为正三角形．
则 D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，N0，12，14 ，M14，12，0 ，所
以A→P
＝(－1，0，1)，M→N
＝－14，0，14
，所以M→N
＝14
→ AP
，又 M∉AP，
故 MN∥AP.
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方法二：由题意可得M→N
＝M→D
＋D→N
＝14
→ BD
＋12
→ DE
＝14
→ BD
证明：以点 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则A→E，F→C1，E→C1，A→F分别为直线 AE，FC1，
EC1，AF 的方向向量，不妨设正方体的棱长为 1，则 A(1，0，0)，E0，0，12，
C1(0，1，1)，F1，1，12，
形，PD⊥平面 ABCD，E 为 CP 的中点，N 为 DE 的中点， DM＝14 DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP.
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【证明】 方法一：由题意知，直线 DA，DC，DP 两两
垂直，如图所示，以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，