高中数学人教A版选修2-2：课时跟踪检测(七)函数的最大(小)值与导数-含解析

高中数学人教A版选修2-2：课时跟踪检测（七）函数的最
大（小）值与导数-含解析
层级一学业水平达标
1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M ＝m，则f′(x)()
A．等于0 B．小于0
C．等于1 D．不确定
解析：选A 因为M＝m，所以f(x)为常数函数，故f′(x)＝0，故选A.
2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( )
A．12，－8 B．1，－8
C．12，－15 D．5，－16
解析：选A y′＝6x2－6x－12，
由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．
x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8.
∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.
3．函数f(x)＝x4－4x(|x|<1)( )
A．有最大值，无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，有最小值
D．既无最大值，也无最小值
解析：选D f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．
令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1∉(－1,1)，
∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.
4．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为( )
A．2 B．3
C. D．2＋1
2
解析：选B 由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，
且x∈(0,1)时，f′(x)＜0，x∈(1,5]时，f′(x)＞0，
∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
5．函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e
C．e2 D．10
解析：选A 令y′＝＝＝0⇒x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以y极大值＝f(e)＝e－1，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.
6．函数y＝－x(x≥0)的最大值为__________．
解析：y′＝－1＝，令y′＝0得x＝.
∵0＜x＜时，y′＞0；x＞时，y′＜0.
∴x＝时，ymax＝－＝.
答案：1
4
7．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为________．
解析：f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)．
令f′(x)＝0，得x＝1(e－x＞0)，
∴f(1)＝＞0，f(0)＝0，f(4)＝＞0，
所以f(x)的最小值为0.
答案：0
8．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.
解析：∵f′(x)＝3x2－3，
∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．
∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
答案：20
9．设函数f(x)＝ex－x2－x.
(1)若k＝0，求f(x)的最小值；
(2)若k＝1，讨论函数f(x)的单调性．
解：(1)k＝0时，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)＝1.
(2)若k＝1，则f(x)＝ex－x2－x，定义域为R.
∴f′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1，
则g′(x)＝ex－1，
由g′(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
由g′(x)<0得x<0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴g(x)min＝g(0)＝0，即f′(x)min＝0，故f′(x)≥0.
所以f(x)在R 上单调递增．
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋5，曲线y ＝f(x)在点P(1，
f(1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.
(1)求a ，b 的值；
(2)求y ＝f(x)在[－3,1]上的最大值．
解：(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y ＝3x
＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，
∴f(1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，
又由f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋5得，
又f′(x)＝3x2＋2ax ＋b ，
而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f′(1)＝3，
∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，
由解得⎩⎪⎨⎪
⎧ a ＝2，b ＝－4，
∴a ＝2，b ＝－4.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x ＋5，
f′(x)＝3x2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，
令f′(x)＝0，得x ＝或x ＝－2.
当x 变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.
层级二 应试能力达标
1．函数f(x)＝x3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范
围为( )
A ．[0,1)
B ．(0,1)
C ．(－1,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选B ∵f′(x)＝3x2－3a ，令f′(x)＝0，可得a ＝x2，
又∵x∈(0,1)，∴0＜a ＜1，故选B.
2．若函数f(x)＝x3－3x2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为
10，则其最小值为( )
A ．－10
B ．－71
C ．－15
D ．－22
解析：选B f′(x)＝3x2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f′(x)
＝0，得x ＝3或x ＝－1.又f(－4)＝k －76，f(3)＝k －27，f(－1)＝k ＋5，f(4)＝k －20.由f(x)max ＝k ＋5＝10，得k ＝5，∴f(x)min ＝k －76＝－71.
3．设直线x ＝t 与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x 的图象分别交于
点M ，N ，则当|MN|达到最小值时t 的值为( )
A ．1
B.12
C.
D.22 解析：选D 因为f(x)的图象始终在g(x)的上方，所以|MN|＝
f(x)－g(x)＝x2－ln x ，设h(x)＝x2－ln x ，则h′(x)＝2x －＝，
令h′(x)＝＝0，得x ＝，所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，所以当x ＝时有最小值，故t ＝.
4．函数f(x)＝x3＋ax －2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数。