高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.2.1 第1课时 对数概念与常用对数学业分层测评 新人教B版必修1

对数概念与常用对数
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．当a >0，且a ≠1时，下列说法正确的是( ) A ．若M ＝N ，则log a M ＝log a N B ．若log a M ＝log a N ，则M ＝N C ．若log a M 2
＝log a N 2
，则M ＝N D ．若M ＝N ，则log a M 2
＝log a N 2
【解析】 在A 中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立，故A 错误；在B 中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立，故B 正确；在C 中，当log a M 2
＝log a N 2
时，有M ≠0，N ≠0，且M 2
＝N 2
，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N ，如M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2
＝log a N 2
，但M ≠N ，故C 错误；在D 中，若M ＝N ＝0，则log a M 2
与log a N 2
均无意义，因此log a M 2
＝log a N 2
不成立，故D 错误．
【答案】 B 2．方程2
log 3
x ＝1
4
的解是( ) A ．9 B.
3
3
C. 3
D.19
【解析】 ∵2 log 3
x
＝14＝2－2.∴log 3x ＝－2.∴x ＝3－2
＝19
. 【答案】 D
3．log 5[log 3(log 2x )]＝0，则等于( )
A.36
B.3
9 C.24
D.23
【解析】 ∵log 5[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3.∴x ＝23＝8.
【答案】 C
4．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝( ) A ．3 B ．±3 C ．9
D ．2
【解析】 ∵log 2(log x 9)＝1，∴log x 9＝2，∴x 2
＝9，∴x ＝±3，由x >0知，x ＝3. 【答案】 A 5．下列各式：
①lg(lg 10)＝0；②10lg 10＝10；③若10＝lg x ，x ＝10；④若log 25x ＝1
2，得x ＝±5.
其中正确的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
【解析】 底的对数为1,1的对数为0，故①②正确，0和负数没有对数，故④错误，③中10＝lg x ，应该有x ＝1010
，所以只有①②正确．
【答案】 B 二、填空题
6.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 －1＋log
0.5
4
＝________.
【解析】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1＋log
0.5
4
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12log 1
24
＝2×4＝8. 【答案】 8
【解析】
【答案】 1
2
【解析】
【答案】 3 三、解答题
9．求下列各式中x 的值. (1)log 5(log 3x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)lg[log 2(lg x )]＝0.
【解】 (1)设t ＝log 3x ，则log 5t ＝0，∴t ＝1， 即log 3x ＝1，∴x ＝3.
(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3，∴x ＝103
＝1 000. (3)∵lg[log 2(lg x )]＝0，∴log 2(lg x )＝1， ∴lg x ＝2，∴x ＝102
＝100.
10．若log 12x ＝m ，log 14
y ＝m ＋2，求x
2y 的值．
【解】 log 12x ＝m ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＝x ，x 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m
.
log 14
y ＝m ＋2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2
＝y ，y ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12m ＋2
.
∴x 2
y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122m
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
122m ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫122m －(2m ＋4)
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－4
＝16. [能力提升]
1．已知x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0，则log x (y x
)的值是( ) A ．1
B ．0
C ．x
D ．y
【解析】 由x 2
＋y 2
－4x －2y ＋5＝0，则(x －2)2
＋(y －1)2
＝0，∴x ＝2，y ＝1，log x (y x
)＝log 2(12
)＝0.
【答案】 B 2．方程4x
－2
x ＋1
－3＝0的解是________．
【解析】 原方程可化为(2x )2
－2·2x
－3＝0， ∴(2x ＋1)(2x －3)＝0，∴2x
＝3，∴x ＝log 23. 【答案】 x ＝log 23
3．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a
2m ＋n
＝________.
【解析】 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ， ∴a m ＝2，a n
＝3， ∴a
2m ＋n
＝(a m )2·a n ＝22
·3＝12.
【答案】 12
4．已知log a b ＝log b a (a >0，a ≠1；b >0，b ≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1
b
.
【证明】 令log a b ＝log b a ＝t ，则a t ＝b ，b t
＝a ，
当t ＝1时，a ＝b ，当t ＝－1时，a ＝1
b
，
所以a ＝b 或a ＝1
b
.。