内蒙通辽市古科左后旗甘旗卡第二高级中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)

甘二中2017-2018学年度下学期期末考试
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题包括10小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意.
1.若，则下列不等式成立的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：当时，，A错。

由，B错。

利用绝对值的几何意义得：，C
正确。

因为在定义域上为单调减函数由得，故D错。

考点：不等式的性质
2.若变量x，y 满足约束条件，则的最大值是( )
A. 0
B. 2
C. 5
D. 6
【答案】D
【解析】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点处取得最大值：
.
本题选择C选项.
点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
3.在中，已知，则（）
A. 5
B. 10
C.
D.
【答案】C
【解析】
分析：由，以及的值，利用正弦定理求出的值即可.
详解：在中，，
由正弦定理，
得，故选C.
点睛：本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
4.中，若，则的面积为（）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
由三角形面积公式可得：，故选B.
5.在中，，那么等于( )
A. 135°
B. 105°
C. 45°
D. 75°
【答案】C
【解析】
分析：由的度数求出的值，再由和的值，利用正弦定理求出的值，由大于，根据大边对大角，得到大于，得到的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数.
详解：，
由正弦定理，
得，
又，得到，则，故选C.
点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
6.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，
则（）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
因为解：∵a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2a
b2=ac=2a2，
b=a，c=2a
由余弦定理可知cosB=
故答案为：A
7.记等差数列的前项和为若则
A. 16
B. 24
C. 36
D. 48
【答案】D
【解析】
本题考查数列求和公式的简单应用，直接代入即可
由得，故。

8.在各项都为正数的等比数列中，首项，前3项和为21，则( )
A. 84
B. 72
C. 33
D. 189
【答案】A
【解析】
分析：设等比数列的公比为，根据前三项的和为列方程，结合等比数列中，各项都为正数，解得，从而可以求出的值.
详解：设等比数列的公比为，
首项为3，前三项的和为，
，解之得或，
在等比数列中，各项都为正数，
公比为正数，舍去），
，故选A.
点睛：本题考查以一个特殊的等比数列为载体，通过求连续三项和的问题，着重考查了等比数列的通项，等比数列的性质和前项和等知识点，属于简单题.
9.在中，，那么等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意，由于中，，因为角B，则可知等于，选C.
考点：余弦定理
点评：解决的关键是根据已知的三边通过余弦定理了来解三角形，属于基础题。

10.的内角的对边分别是且满足，则是（）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】
分析：利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和与差的正弦函数公式变形后，根据都为三角形的内角，得到为直角，可得出三角形为直角三角形.
详解：利用正弦定理化简已知的等式得：
，
即，
为三角形的内角，
，即，
则为直角三角形，故选B.
点睛：本题考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，以及三角形形状的判断，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；
(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
11.已知是等比数列，，公比，第3项至第项的和是720，则( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】C
【解析】
分析：利用前项和减去前两项和等于列方程求解即可.
详解：由题意可得，，
那么，
解得，故选C.
点睛：本题主要考查等比数列的求和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握情况以及利用所学知识解决问题的能力，属于简单题.
12.若是等比数列，其公比是，且成等差数列，则等于( )
A. －1或2
B. 1或－2
C. 1或2
D. －1或－2
【答案】A
【解析】
分析：由成等差数列可得，化简可得，解方程求得的值.
详解：成等差数列，
所以，
，
，
，
或，故选A.
点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题.等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.
第Ⅰ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.不等式的解集为_________.
【答案】
【解析】
分析：先将不等式化为，直接利用一元二次不等式的解法求解即可.
详解：不等式等价于
化为，
解得，
即原不等式的解集为，
故答案为.
点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查对基本方法掌握的熟练程度，属于基础题.
14.已知变量满足的约束条件为，且目标函数为，则的最大值是______ .
【答案】1
【解析】
分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的点斜式，由图看出目标函数取得最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数得结论.
详解：满足约束条件的可行域如图所示，
由，得，
将变形为，
平移直线，
由图可知当直经过点时，
直线在轴上的截距最大，
，
故目标函数的最大值，故答案为.
点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
15.等差数列中，已知，则__________.
【答案】18
【解析】
分析：由条件利用等差数列的性质可得，结合即可的结果.
详解：等差数列中，
所以，
所以,故答案为.
点睛：本题主要考查等差数列的性质，若，则
，属于中档题.
16.在中，，则此三角形的最大边的长为．
【答案】
【解析】
解：因为
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.解不等式．
【答案】或
【解析】
分析：原不等式等价于不等式组，利用一元二次不等式的解法，结合交集的定义求解不等式组，从而可得结果.
详解：去掉绝对值号得，
∴原不等式等价于不等式组
∴原不等式的解集为或.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法以及一元二次不等式的解法，属于简单题.
求解含一个绝对值的不等式，有两种解法：
（1）；
（2）或.
18.在等比数列中.
(1)已知，求；
(2)已知，求.
【答案】(1)-96；(2).
【解析】
分析：(1)直接利用等比数列的通项公式求解即可；(2) 根据列出关于首项，公比的方程组，解得、的值，即可得结果.
详解：(1)由等比数列的通项公式，得a6＝3×(－2)6－1＝－96.
(2)设等比数列的公比为q，
那么解得
所以＝a1qn－1＝5×2n－1.
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
19.若数列是公差小于零的等差数列，数列是等比大于零的等比数列，且,
.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为,求的最大值.
【答案】(1)；(2)20.
【解析】
分析：（1）根据列出关于公差，公比的方程组，解得、的值，从而可得结果；（2）利用等差数列的求和公式求出数列的前项和为，根据二次函数的性质，利用配方法可得结果.
详解：（1）设数列的公差为,等比数列的公比为,则
,解得，或（舍），
所以,.
（2）
于是，当取与最接近的整数即或时，取最大值为.
点睛：求等差数列前项和的最大值的方法通常有两种：①将前项和表示成关于的二次函数，，
当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；②可根据且
确定最大时的值.本题根据方法①确定的取值范围的.
20.已知等差数列的首项，公差，前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列前项和为，求.
【答案】(1)；(2).
【解析】
分析：（1）由等差数列的首项，公差，利用求和公式可得前项和为，利用可得
结果；（2）结合（1），，再利用裂项相消求和方法即可得结果.
详解：（1）因为等差数列{a n}中a1＝1，公差d＝1.
所以S n＝na1＋d＝. 所以b n＝.
(2)b n＝＝2，
所以T n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n
＝2,
＝2.
点睛：本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最
难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
(1)；（2）；
（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
21.在中，角A,B,C 的对边分别是，已知
（1）求角B的大小
（2）求三角形ABC的面积。

【答案】（1）B=300（2）
【解析】
分析：（1）由同角三角函数关系先求，由正弦定理可求的值，从而可求的值；（2）先求得
的值，代入三角函数面积公式即可得结果.
详解：(1)由正弦定理
又∴B为锐角sinA=, 由正弦定理B=300
(2)
,
∴.
点睛：以三角形和为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 22.设的三内角、、的对边分别是、、，且
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求的面积.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（I）利用正弦定理将已知条件中的角转化为边，再转化为余弦定理的形式，由此求得角的大小.（II）利用正弦定理将已知的角转化为边，由此得到两边的关系，将代入余弦定理公式，可求得的值，进而求得三角形面积.
试题解析：
（Ⅰ）因为，
由正弦定理得，∴，
∴由余弦定理得，∴在中，.
（Ⅱ）方法一：因为，且，∴
∴，∴，在中，
又在中，由正弦定理得，∴
∴的面积
方法二：因为，由正弦定理得
而，，由余弦定理得，∴
∴，即，
∴的面积 .。