数列极限的简单应用

S lim Sn lim(a1 a1q a1q a1q
2 n n
n 1
)
a1 .(| q | 1) 1 q
例1：已知无穷等比数列{an}的各项和为3,前3 26 项和为 9 ,求这个数列中的所有奇数项的和。
解：设公比为q，由已知条件可得：
a1 3 ① 1 q a1 a2 a3 26 ② 9
4 4 4 BC CD DE 5 4 径为1的半圆形纸片,在P1 1 的左下端剪去一个半径为 的半圆后得图形P2 ,然 2 后依次前去更小半圆(其直径为前一被剪半圆的一 半)得图形P3 ,P4 ,…记纸板P n 的面积为S n ,则
练习3:已知{an}是公差不为0的等差数列，如果Sn nan 是{an}的前n项和，求 lim 的值。 n S n n(n 1) 解： an a1 (n 1)d S n na1 d
2
nan na1 n(n 1)d 2dn 2(a1 d )n 2 n ( n 1 ) Sn na1 dn (2a1 d )n d
解：设第n个正方形边长为an，面积为bn，则第n+1个 1 2 正方形边长an+1= 2 an，面积bn+1= 2 bn，
1 ∴数列{bn}是一个首项为1，公比为 2
的等比数列，
∴所有正方形面积之和为 S
1 1 1 2
2
练习1:从∠ABC的边上一点B作BC⊥AC,从C作 CD⊥AB,从D再作DE⊥AC,这样无限进行下去, 已知BC=5cm,CD=4cm,求这些垂线段长的和。 B 解: 依题意△BCD∽△CDE∽△DEF… D
. .
. .
(1)纯循环小数化为分数:这个分数的分子就是一个循环 节的数字组成的,分母的各位数字均是9,9的个数和一个循 环节的位数相同.
. . 6 2 . . 12 4 370 10 如： 0.6 ;0.12 ;0.37 0 ; 9 3 99 33 999 27 .
(2)混循环小数化为分数:这个分数的分子是小数点后,第 二个循环节前面的数字所组成的数减去不循环部分数字所 组成的数所得的差, 分母的头几个数字是9,末几个数字是0, 其中9的个数与一个循环节的位数相同,0的个数与不循环部 分的位数相同.
1、进一步掌握数列极限的运算法则；
2、掌握无穷等比数列的各项和公式；
3、无穷等比数列的各项和的应用： 将无限循环小数化为分数，其他涉及 这种等比关系的求和问题。
无穷等比数列（|q|＜1）的各项和：
对于数列 a1 , a1q, a1q , , a1q
2 n1
, (|q|＜1)
n
a1 (1 q ) 当 | q | 1时,lim Sn lim n n 1 q a1 a1 a1 n n lim(1 q ) (lim1 lim q ) 1 q n 1 q n n 1 q
26 2 由②得： a1 (1 q q ) 9
a1 26 3 (1 q ) 1 q 9
26 1 3(1 q ) q 9 3
3
∴原数列的所有奇数项 1 2 构成一个公比为 q 9 的等比数列，其各项和 为： 2 9
1 1 9 4
a1 2. 代入①得：
lim Sn ______
n
P1
P2
P3
1 1 1 2 1 2 2 解: Sn 1 [( ) ( ) ] 2 2 2 4 1 1 1 2 1 2 1 2 4 lim Sn lim { 1 [( ) ( ) ]} n x n 2 1 2 3 2 4 1 4
. . 123 12 111 37 231 2 229 如： 0.123 ;0.231 ; 900 900 300 990 990 . . 3890 38 107 5.389 0 5 5 . 9900 275 .
例3:有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶 点画第二个正方形，再以第二个正方形的四边中 点为顶点画第三个正方形，……，依次无限地进 行下去，求所有这些正方形面积之和。
. .
(3)0.214 0.2 0.014 0.2 0.014 0.000014 2 0.014 2 14 212 214 2 106 . 10 1 0.01 10 990 990 990 445
说明: 由上知化循环小数为分数,实际上就是求无穷等比 数列的各项之和,且有下列结论:
(1)0. 7; ( 2)0. 2 8; ( 3)0.2 1 4 . 例2:化下列循环小数为分数： . 0.7 7 解: （ 1 ） 0. 7 0.7 0.07 0.007 ; 1 0.1 9
.
. .
. .
0.28 28 ( 2)0. 2 8 0.28 0.0028 0.000028 ; 1 0.01 99
CD ED EF CB CD ED A 4 4 42 43 ED , EF 2 , FG 3 , 52 5 5 3
F G E C
4 n1 5 [1 ( ) ] 4 4 2 4 n 5 lim[5 5 ( ) 5 ( ) 5] lim 25 n 4 n 5 5 5 1 5
2
2 2(a1 d ) 2d nan n lim lim 2 n S n 2a1 d n d n
2(a1 d ) 2d n 2a1 d d n
课堂小结：
1、数列极限的四则运算法则； 2、函数极限的四则运算法则； 3、求极限常用方法； 4、极限在无穷等比数列中的应用。