2018届高三数学(湖北专用)一轮复习双向基础巩固课件：
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第13讲 变化率与导数、导数的运算
________________________．
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第13讲 变化率与导数、导数的运算
双 向 固 基 础
3．导数的几何意义与物理意义 (1)设函数y＝f(x)在x0处可导，则f′(x0)表示曲线上相应点 切线的斜率，点M处的切线方程为 M(x0，y0)处的__________ y－y0＝f′(x0)(x－x0) ___________________ ． (2)设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t0时刻的 瞬时速度 ． ________ (3)设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的 加速度 ． ________
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双 向 固 基 础
4．基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝C(C为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1) f(x)＝ln x f(x)＝logax(a>0，a≠1) 导函数 f′(x)＝________ 0
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2．[教材改编] 已知函数f(x)＝10－4x＋3x2，且f′(a)＝2， 则a＝________．
[答案] 1
[解析] 由题意可知，f′(x)＝－4＋6x，所以f′(a)＝－4 ＋6a＝2，解得a＝1.
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[答案] (1)√
(2)√
(3)×
Δy [ 解 析 ](1) 设 y ＝ f(x) ＝ ax ＋ b(a≠0) ， 则 ＝ Δx f（x0＋Δx）－f（x0） ＝ Δx a（x0＋Δx）＋b－（ax0＋b） ＝a. Δx (2)依据导函数的定义知结论正确． (3)“曲线 y＝f(x)在点 P0(x0， y0)处的切线”表明点 P0(x0， y0)在曲线上，且是切点，切线只有一条；“曲线 y＝f(x)过点 P0(x0， y0)的切线”表明过点 P0(x0， y0)作曲线的切线， 点 P0(x0， y0)不一定在曲线上，切线也可能有多条．
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—— 链接教材 ——
1．[教材改编] 高台跳水运动员相对水面的高度h(m)与 起跳后的时间t(s)的函数关系是h(t)＝－5t2＋6t＋10，则在 1≤t≤2这段时间内的平均速度为________m/s.
[答案] －9
h（2）－h（1） 2－11 [解析] 平均速度为 ＝ 1 ＝ 2－1 －9(m/s)．
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2．导数运算法则运用中的错误 1 (1)函数f(x)＝x ln x的导函数为f′(x)＝2x· x ＝2.( (2)函数y＝ x3的导函数是y′＝ 3x2.( ) 1 x 1 ln x (3)函数y＝ ex 的导函数为y′＝ex＝xex.( ) (4)函数f(x)＝sin 2x的导函数是f′(x)＝2cos 2x.( (5)函数f(x)＝e2x的导函数是f′(x)＝e2x.( )
1．一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim Δy ＝_____________________，我们称它为函数y＝f(x) Δx f′(x0) y′|x＝x0 ，即f′(x0)＝lim 在x＝x0处的导数，记作________ 或________ Δy ＝___________________． Δx 2．当x变化时，f′(x)是x的一个函数，我们称它为f(x)的 ________ ，有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ 导数 导函数 ，简称________
双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向
多 元 提 能 力 教 师 备 用 题
第13讲
变化率与导数、导数 的运算
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考试说明
1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．理解常见基本初等函数的导数公式． 4．理解常用的导数运算法则．
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第13讲
双 向 固 基 础
变化率与导数、导数的运算
双 向 固 基 础
π cos x 3．[教材改编] 曲线 y＝ x 在点 M2，0处的切线方程 是________．Βιβλιοθήκη [答案] 2x＋πy－π＝0
－xsin x－cos x [解析] 由题意可知y′＝ ，则曲线y＝ x2 cos x 3 2 ，故切线 在点 M ( ， 0) 处切线的斜率 k ＝ y x 2 x 2 π 方程为y＝－π(x－2)，即2x＋πy－π＝0.
αxα－1 f′(x)＝________
f′(x)＝cos x
－sinx f′(x)＝________ ex f′(x)＝________ a ln a f′(x)＝________
1 f′(x)＝x
x
1 f′(x)＝________ xln a
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—— 疑 难 辨 析 ——
1．导数概念辨析 (1)y＝f(x)是一次函数，则在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变 化率为常数．( ) (2)对于可导函数 y＝f(x)，则 y＝f′(x)是一个函数，而 f′ (x0)是一个函数值．( ) (3)曲线 y＝f(x)在点 P0(x0，y0)处的切线与过点 P0(x0，y0)的 切线相同．( )
5．导数运算法则 法则1：[u(x)± v(x)]′＝u′(x)± v′(x)． 法则2：[u(x)v(x)]′＝ u′(x)v(x)＋u(x)v′(x) _____________________________________________________. u（x） 法则3： v（x）′＝ _____________________________________________________.
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3．导数的几何意义与物理意义 (1)设函数y＝f(x)在x0处可导，则f′(x0)表示曲线上相应点 切线的斜率，点M处的切线方程为 M(x0，y0)处的__________ y－y0＝f′(x0)(x－x0) ___________________ ． (2)设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t0时刻的 瞬时速度 ． ________ (3)设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的 加速度 ． ________
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4．基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝C(C为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1) f(x)＝ln x f(x)＝logax(a>0，a≠1) 导函数 f′(x)＝________ 0
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2．[教材改编] 已知函数f(x)＝10－4x＋3x2，且f′(a)＝2， 则a＝________．
[答案] 1
[解析] 由题意可知，f′(x)＝－4＋6x，所以f′(a)＝－4 ＋6a＝2，解得a＝1.
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[答案] (1)√
(2)√
(3)×
Δy [ 解 析 ](1) 设 y ＝ f(x) ＝ ax ＋ b(a≠0) ， 则 ＝ Δx f（x0＋Δx）－f（x0） ＝ Δx a（x0＋Δx）＋b－（ax0＋b） ＝a. Δx (2)依据导函数的定义知结论正确． (3)“曲线 y＝f(x)在点 P0(x0， y0)处的切线”表明点 P0(x0， y0)在曲线上，且是切点，切线只有一条；“曲线 y＝f(x)过点 P0(x0， y0)的切线”表明过点 P0(x0， y0)作曲线的切线， 点 P0(x0， y0)不一定在曲线上，切线也可能有多条．
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—— 链接教材 ——
1．[教材改编] 高台跳水运动员相对水面的高度h(m)与 起跳后的时间t(s)的函数关系是h(t)＝－5t2＋6t＋10，则在 1≤t≤2这段时间内的平均速度为________m/s.
[答案] －9
h（2）－h（1） 2－11 [解析] 平均速度为 ＝ 1 ＝ 2－1 －9(m/s)．
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2．导数运算法则运用中的错误 1 (1)函数f(x)＝x ln x的导函数为f′(x)＝2x· x ＝2.( (2)函数y＝ x3的导函数是y′＝ 3x2.( ) 1 x 1 ln x (3)函数y＝ ex 的导函数为y′＝ex＝xex.( ) (4)函数f(x)＝sin 2x的导函数是f′(x)＝2cos 2x.( (5)函数f(x)＝e2x的导函数是f′(x)＝e2x.( )
1．一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim Δy ＝_____________________，我们称它为函数y＝f(x) Δx f′(x0) y′|x＝x0 ，即f′(x0)＝lim 在x＝x0处的导数，记作________ 或________ Δy ＝___________________． Δx 2．当x变化时，f′(x)是x的一个函数，我们称它为f(x)的 ________ ，有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ 导数 导函数 ，简称________
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1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．理解常见基本初等函数的导数公式． 4．理解常用的导数运算法则．
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π cos x 3．[教材改编] 曲线 y＝ x 在点 M2，0处的切线方程 是________．Βιβλιοθήκη [答案] 2x＋πy－π＝0
－xsin x－cos x [解析] 由题意可知y′＝ ，则曲线y＝ x2 cos x 3 2 ，故切线 在点 M ( ， 0) 处切线的斜率 k ＝ y x 2 x 2 π 方程为y＝－π(x－2)，即2x＋πy－π＝0.
αxα－1 f′(x)＝________
f′(x)＝cos x
－sinx f′(x)＝________ ex f′(x)＝________ a ln a f′(x)＝________
1 f′(x)＝x
x
1 f′(x)＝________ xln a
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—— 疑 难 辨 析 ——
1．导数概念辨析 (1)y＝f(x)是一次函数，则在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变 化率为常数．( ) (2)对于可导函数 y＝f(x)，则 y＝f′(x)是一个函数，而 f′ (x0)是一个函数值．( ) (3)曲线 y＝f(x)在点 P0(x0，y0)处的切线与过点 P0(x0，y0)的 切线相同．( )
5．导数运算法则 法则1：[u(x)± v(x)]′＝u′(x)± v′(x)． 法则2：[u(x)v(x)]′＝ u′(x)v(x)＋u(x)v′(x) _____________________________________________________. u（x） 法则3： v（x）′＝ _____________________________________________________.