上海市静安区2019届高三上学期期末质量检测数学试题+Word版含解析

静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测
高三数学试卷
一、填空题（本题12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1.函数的定义域是______________．
【答案】
【解析】
【分析】
对数函数满足真数大于0，建立不等式，即可。

【详解】结合对数函数满足真数大于0,可以得到,解得x的范围为
【点睛】本道题考查了对数函数定义域计算方法，抓住真数大于0，即可。

2.已知向量，，则向量的坐标是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用，代入点坐标，即可。

【详解】
【点睛】本道题考查了向量加减法运算，代入点坐标，即可。

3.在二项式的展开式中，项的系数为__________．（结果用数值表示）
【答案】10
【解析】
本题考查二项式展开式的通项.
二项式的展开式的通项为，令得则含
的项的系数是故选B
4.若直线与轴平行，则a的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
该直线与x轴平行，说明x的系数为0，y的系数不为0，建立方程，即可。

【详解】该直线与x轴平行，说明x的系数为0，y的系数不为0，
建立方程，解得
【点睛】本道题考查了直线方程，抓住x的系数为0，y的系数不为0，即可。

5.若、是一元二次方程的两个根，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
结合根与系数关系，得到，化简，代入，即可。

【详解】结合根与系数关系可得：，而
【点睛】本道题考查了一元二次方程根与系数关系，抓住，代入，属于较容易题。

6.在数列中，，且是公比为的等比数列．设，则
__________．()
【答案】
【解析】
【分析】
构造新数列，计算前n项和，计算极限，即可。

【详解】构造新数列，该数列首项为1，公比为，
则
而，故
【点睛】本道题考查了极限计算方法和等比数列前n项和，属于中等难度的题目。

7.某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数）
【答案】元
【解析】
【分析】
本道题实则为一个等比数列求某一项的题，建模，得知，计算，即可。

【详解】，
【点睛】本道题考查了等比数列计算某一项的内容，得出首项，公比，即可，属于较容易的题。

8.已知，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
本道题利用诱导公式和二倍角公式，即可。

【详解】利用
而
【点睛】本道题考查了诱导公式和二倍角公式，属于中等难度的题。

9.以两条直线的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本道题结合直线方程，计算圆心坐标，利用点到直线距离公式
计算半径，建立圆方程，即可。

【详解】建立方程，计算出圆心坐标为，结合点到直线距离公式
，得到，故
圆方程为
【点睛】本道题考查了点到直线距离公式以及圆方程计算问题,属于中等难度的题,结合直线方程,计算圆心,结合点到直线距离公式,计算半径,得到圆方程,即可.
10.已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm3．（结果保留圆周率）
【答案】
【解析】
【分析】
结合球的表面积等于圆锥的表面积，建立等式，计算半径r，利用体积计算公式
，即可。

【详解】结合题意可知圆锥高h=48,设圆锥底面半径为r，则圆锥表面积
，计算得到
,所以圆锥的体积
【点睛】本道题考查了立体几何表面积和体积计算公式，结合题意，建立等式，计算半径r，即可，属于中等难度的题。

11.集合，，若，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本道题结合导函数，判断y的单调性，进而得到y的范围，利用，得到A为B的子集，构造二次函数，结合相关性质，建立不等式，得到t的范围，即可。

【详解】对A,该函数在内单调递减，所以y的范围为，解得
，结合
，可知，故构造函数，该函数在恒小于等于0，所以满足，解得。

【点睛】本道题考查了导函数与原函数关系以及二次函数的性质，属于难题。

12.若定义在实数集R上的奇函数的图像关于直线对称，且当时，，则方程在区间（）内的所有实根之和为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本道题通过奇函数和直线对称，绘制出函数图像，结合图像发现该八个交点关于x=3对称，即可得出答案。

【详解】结合题意，大致可以绘出的图像，如图所示：
由图可知，一共有8个点，且这八个点关于x=3对称，故
【点睛】本道题考查了奇函数图像性质和关于直线对称等性质，结合图像，观察，分析，即可。

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先排4个商业广告,然后利用插空法,排2个公益广告,即可.
【详解】先排4个商业广告,有,然后利用插空法,有5个空,插2个,有,所以共有,故选A.
【点睛】本道题考查了排列问题,分2步,然后相乘,即可,属于中等难度的题.
14.已知椭圆的标准方程为，焦点在轴上，则其焦距为（）.
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本道题通过题意，计算出c值，然后利用焦距为2c，计算结果，即可。

【详解】因为该椭圆焦点在x轴上，说明，则
解得，故焦距为,故选B。

【点睛】本道题考查了椭圆性质，属于较容易题，注意焦点在x轴上，说明
15.已知下列4个命题：
①若复数的模相等，则是共轭复数．
②都是复数，若是虚数，则的共轭复数．
③复数是实数的充要条件是．（是的共轭复数）．
④已知复数（是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C. O为坐标原点．若（），则.
则其中正确命题的个数为（）.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】
本道题结合复数的概念和向量的加减法，代入，即可。

【详解】1号可能复数相等，故错误。

2号明显正确，因为如果为共轭复数，则相加为实数，不会为虚数。

4号,,计算得到b=0,故正确。

3号，由题可知，
，建立等式,
建立等式，得到，解得，故错误。

故选B。

【点睛】本道题考查了复数的概念和向量坐标运算，代入，即可得出答案。

16.设都是小于9的正整数，且满足，
，则的夹角大小为（）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本道题目利用都为正整数，建立方程，排除，即可得到相应的值，代入题目第二个方程，计算结果，即可。

【详解】由，可得
1. 2. 3. 4.
而需要满足，解上面四个方程，发现只有4号方程满足条件
故
由，可得，代入
得到，则，故选C。

【点睛】本道题考查了向量数量积，结合题目，采取试误法，计算结果，即可，难度偏难。

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17.如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95米，AB与水平线之间的夹角为
6°20′，AC的长为1.40米，计算BC的长（结果保留3个有效数字，单位:米）．
【答案】米
【解析】
【分析】
结合题意，计算的大小，利用余弦定理，即可得出答案。

【详解】解：根据题意，在△ABC中，，BAC=66O20/，
由余弦定理，得
计算得：..
答：顶杆BC约长1.89米．
【点睛】本道题考查了余弦定理，运用余弦定理，需要知道夹角和两条边，即可以计算出第三边，即可。

18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，、分别是、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分别证明CD垂直平面PAE的两条直线，结合直线与平面垂直判定，即可得出答案。

（2）设PA=a,用a分别表示AF,FG,AG，结合余弦定理，计算结果，即可。

【详解】解：（1）由题意，△是等边三角形，因为是的中点，所以，又
平面，所以，
所以平面．
（2）取中点，连结，，则∥，
所以，为异面直线与所成角，
设，在△中，，，
，
所以，
．
所以，异面直线与所成角的大小为．
【点睛】本道题考查了余弦定理和直线与平面垂直判定定理，难度中等。

19.设，．
（1）求函数的最大值；
（2）对（1）中的，是否存在常数（），使得当时，有意义，且的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设，运用换元思想，得到解析式，结合二次函数性质，计算最值，即可。

（2）针对，在第一问基础上得到M的解析式，代入，发现M这个函数当时递减，当时递增，故得到，建立等式，计算b值，即可。

【详解】解： (1)
设，因为，所以.
.
(2)当时，，该函数当时递减，当时递
增。

要使有意义且取得最大值，关于自变量的单调性必是当时增, 当时递减，所以根据题意得：，
于是，得．所以存在，使得当时，的最大值是
【点睛】本道题考查了二次函数性质、换元思想、复合函数单调性以及对数方程计算，属于难题。

20.设，椭圆：与双曲线：的焦点相同．
（1）求椭圆与双曲线的方程；
（2）过双曲线的右顶点作两条斜率分别为，的直线，，分别交双曲线于点，（，
不同于右顶点），若，求证：直线的倾斜角为定值，并求出此定值；
（3）设点，若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且
，求实数的取值范围．
【答案】（1）椭圆的方程为，双曲线的方程为；（2）详见解析.（3）见解析。

【解析】
【分析】
（1）利用椭圆和双曲线的性质，结合焦点相同，建立方程，计算m值，即可。

（2）设出直线
方程，代入双曲线方程，建立等式，计算P的坐标，同理得到Q的坐标，结合，可以得到，发现直线PQ与x轴平行，故证之。

（3）结合题意，设出直线AB的方程，代入椭圆解析式中，建立方程，计算出AB的中点M坐标，而M又在直线l上，代入，结合题目所提供的不等式，建立不等关系，即可得到b的范围。

【详解】解：（1）由题意，，所以．
所以椭圆的方程为，双曲线的方程为．
（2）双曲线的右顶点为，因为，不妨设，则，
设直线的方程为，
由,得，
则,()，.
同理，，，
又，所以，.
因为，所以直线与轴平行，即为定值，倾斜角为0．，
（3）设，，直线的方程为，
由整理得，
△，故．
，，
设的中点为，则，，
又在直线上，所以，．
因为，，
所以
，所以．又，。

即.
【点睛】本道题考查了椭圆与双曲线的性质，直线与圆锥曲线位置关系，难度较大。

21.将个数，，…，的连乘积记为，将个数，，…，的和
记为．（）
（1）若数列满足，，，设，，求；（2）用表示不超过的最大整数，例如，，．若数列满足，
，，求的值；
（3）设定义在正整数集上的函数满足：当（）时，，问是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由（已知
）．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，且.
【解析】
【分析】
（1）结合题意，处理得到，可以采取逐项消元法，计算结果，即可。

（2）处理得到，求和，相互消去，即可。

（3）结合题意，计算发现，故最后一项必定出现在1+2+3+…+17=153项之后，建立关于n的等式，发现存在正整数n，即可。

【详解】解：（1）由，得,或
且，
所以．又，所以，．
从而=1.
（2）由，，因为，
所以，，
所以，，
因为，所以．
（3）若存在正整数n，则由已知得，
，且，
因此所求和的最后一项必定出现在1+2+3+…+17=153项之后，且，共有个，所以，,
所以，，解得．
所以存在正整数n=166，使得.
【点睛】本道题考查了数列裂项相消法，难度偏大。