2020届广东省六校高三第二次联考数学试题 (1)

衡点，位于地月连线的延长线上。设地球的质量为 M1 ，月球质量为 M 2 ，地月距离为 R ， L2 点到月
球的距离为 r
，根据牛顿运动定律和万有引力定律， r
满足方程
M1 (R r)2
M2 r2

(R

r)
M1 R3
.
设
= r R
。由于
的值很小，因此在近似计算中 3 3 +3 4 5 （1 ）2
2020 届广东六校高三第二次联考试题
理科数学
本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的. 1. 已知集合 P {x | x2 2x 3 0}, Q {x | 2 x 1} ，则 P Q ( )
A．x 2 x 3
B．x x 3
C．x 1 x 2
D．x x 2
2．复数 z 满足 2 3i zi （其中 i 是虚数单位），则 z 的虚部为
A．2
B． 3
C．3
3．在 ABC 中， AB 3 ， AC 1 ， B 30 ，则 A
其中所有正确结论的编号是(
)
A. ①③
B. ②③
C.①②
D. ③④
10. 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一
重大成就, 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这
个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行， L2 点是平
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2020 届广东六校高三第二次联考试题
文科数学
一、选择题：本题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
1．设全集U 是实数集 R ， M = x log2 x 1 , N x 1 x 3 ，则（C U M ） N ( )
13. 已知正方形 ABCD 的边长为1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE CB 的值为________， 14. 已知 △ ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 (a b c)(a b c) ac ，
则 tan B ________.
AE
CF

5 ， EF 3
交 BD 于点 H
.
将 DEF
沿 EF 折到△ DEF 的位置， DO 5 .
（I）证明： DH 平面 ABCD ； （II）求二面角 A BD O 的余弦值.
20. （12 分） ABC 的内角 A ， B ， C 所对边分别为 a ， b ， c . 已知 a sin A C bsin(B C) . 2
D． 2
（） （）
A． 60
B． 30 或90
C． 60 或120
D． 90
4．设平面向量
a

2,1
，
b


,
2
，若
a
与
b
的夹角为锐角，则

的取值范围是（
）
A． , 4 4,1
B．


1 2
,
2



2,

C． 1,
A. 24
B. 25
C. 41
D. 50
12. 已知函数 f (x) e x ex a 与 g(x) ln x 1 的图象上存在关于 x 轴对称的点， x
则 a 的取值范围是
-2-
A.(,e]
B.( ,1]
C.[ 1,)
D.[ e,)
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
B． ab 0 且 a b 0 D． ab 0 且 a b 0
7．已知函数
f
x

1
x2，x
0
，若
f
x 4
f
2x 3 ，则实数 x 的取值范围是
1，x 0
（）
A． 1，
B． ，1
C． 1，4
D． ，1
5. 函数 f (x) 3x x3 在 , 的图像大致为
cos x | x |
A.
B.
C.
D.
6. 已知非零向量 a, b 满足 a 1, b 2 且 (2a b) (a b) ，则 a 与 b 的夹角为
A.
6
B.
4
C.
3
D.
2
-1-
7. 已知函数 f (x) sin(x ) cos(x )( 0, ) 的最小正周期为 ， 2
32
2
______________________．
16．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面 ABC 满足 BA BC
6
，ABC

2
，
若该三棱锥体积的最大值为 3，则其外接球的体积为________．
-2-
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 至 21 题为必做题，每小题 12 分；第 22、23 题为选做题，每小题 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分。 （一）必做部分
17. （10 分）已知向量 a (2 cos x, 3 cos x), b (cos x, 2sin x), x R , 设函数 f (x) a b .
(Ⅰ) 求 f (x) 的最小正周期.
(Ⅱ)
求
f (x)
在
0,
2

上的最大值和最小值.
18. (12 分）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn 2an 2 (n N *) .
15.
数列
an
满足
an1

an

1 2
(an
an1 )
(n

N
*,n

1)
，
a1

1, a8

1 128
，则
a2

______。
16. 已知不等式 xe2x kx 2e2 恒成立，则 k 的取值范围是______。
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
D． 5 1
12．若存在唯一的正整数
x0
，使得不等式
2x ex

ax

a

0
恒成立，则实数
a
的取值范围是
（
）
A．

0,
4 3e2

B．

4 3e2
,
1 e

C．

0,
1 e

D．
4 3e2
,
1 e

二、填空题，本题 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
D． ,1
5．若 a 0 ， b 0 ，则“ a b 8 ”是“ ab 16 ”的
（ ）.
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．设 a log3 0.4 ， b log2 3 ，则
（）
A． ab 0 且 a b 0 C． ab 0 且 a b 0
8．设等差数列an 前 n 项和为 Sn ，若 a4 S5 2 ， S7 14 ，则 a10
A．18
B．16
C．14
D．12
（）
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9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
7
A．
6 C． 2
4
B．
3 13
D．
6
10．函数
f
(x)

2 1 ex
1 sin
22. (12 分）已知函数 f (x) (x 2) ln x ax2 x ． (1) 若 a 0 ，求 f '(x) 的最小值；
(2) 若 f x 在 (0,) 上单调递增，求 a 的取值范围；
(3) 若 a 1 ， f (x1) f (x2 ), 且x1 x2, 求证： x1 x2 2 ．
且 f (x) f (x) ，则
A.
f
(x)
在

0,
2

单调递增
B.
f
(x)
在
4
,
3 4

单调递增
C.
f
(x)
在

0,
2

单调递减
D.
f
(x)
在 4
,
3 4

单调递减
8. 记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若已知 a3 1, S9 9 ，则
3 3 ，则 r 的近似值为（
）
A． 3 M 2 R 3M1
B． M 2 R 2M1
C． M 2 R M1
D． 3 3M 2 R M1
11. 已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，点 D, E 分别是 PB, BC 的中点，
PA 3, PD DE 2, PE 2 2, AD 13, AE 17 ，则球 O 的表面积为（ ）


13． a 为单位向量， b



0 ，若 aBiblioteka b且 ab
3 2
，则
b
________.
14．若
tan

4



2
，则
tan
2

___________．
15．若 f x 1 x3 1 f 1 x2 x 1 ，则曲线 y f x 在点 (1, f 1) 处的切线方程是
(1) 求数列 an 的通项公式
(2)
记 bn

log2
anan 1

，数列 bn的前
n
项和为 Tn
，求证：
1 T1

1 T2
1 Tn
1
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19.（12 分）
如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，
AB 5, AC 8 ，点 E, F 分别在 AD, CD 上，
A. {x | x 1}
B. {x | x 1}
C. {x | 0 x 3} D. {x | 1 x 0}
2. “ m 0且n 0 ”是“ mn 0 ”成立的（ A. 充分不必要条件 C. 充要条件
） B. 必要不充分条件 D.不充分不必要条件
3. 已知 a log3 0.3, b log0.3 0.2, c 0.30.2 ，则( )
(1) 求 B ； (2) 若 ABC 为锐角三角形，且 c 2 ，求 ABC 面积的取值范围。
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21. (12 分）两县城 A 和 B 相距 30km ，现计划在两县城外位于线段 AB 上选择一点 C 建造一个两县城的公 共垃圾处理厂，已知垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的的距离关系最大，其他因素影响 较小暂时不考虑，垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为对城 A 与城 B 的影响度之和. 记 C 点到城 A 的距离为 xkm ，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y ，统计调查表明：垃圾处理厂对 城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数 2.7；垃圾处理厂对城 B 的影响度与 所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k ；且当垃圾处理厂 C 与城 A 距离为10km 时对城 A 和城 B 的总影响度为 0.029. (1) 将 y 表示成 x 的函数； (2) 讨论⑴中函数的单调性，并判断在线段 AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处 理厂对城 A 和 城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离；若不存在，说明理由．
x
图象的大致形状是
（）
A．
B．
C．
D．
11．己知点 A 是抛物线 x2 4 y 的对称轴与准线的交点，点 B 为抛物线的焦点， P 在抛物线上且满足
PA m PB ，当 m 取最大值时，点 P 恰好在以 A、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
（）
A． 2 1
B． 2 1 2
C． 5 1 2
A. an 3n 10
B. an 2 n
C.
Sn

1 2
n2

7 2
n
9. 关于函数 f(x)＝tan|x|+|tanx|有下述四个结论：
D. Sn n2 8n
① f(x)是偶函数;
②
f(x)在区间


2
,
0

上单调递减;
③ f(x)是周期函数; ④ f(x)图象关于 ,0 对称 2
A. a b c
B. a c b
C. b c a
D. c a b
4. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部 分叫棒头， 凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放 的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的 木构件的俯视图可以是( )