交通大学附中高考数学一轮复习 概率单元训练

北京交通大学附中2014届高考数学一轮复习单元精品训练：概率
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动，质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右。

并且向上，向右移动的概率都是21，质点P 移动六次后位于点（4，2）的概
率是( ) A ． 6)2
1(
B ． 62
6)2
1
(C
C ． 44
6)2
1
(C
D ．62
646)2
1
(C C
【答案】B
2．把一个体积为27cm 3的正方体本块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm 3
的27个小正方体，现在从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为( )
A ．
127
B ．
827
C ．
2627
D ．
1927
【答案】C
3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子（假设它落在正方形区域内任何位置的机会均等），它落在阴影区域内的概率为2
3
，则阴影区域的面积为
( )
A ．
43
B ．
83
C ．
23
D ．无法计算
【答案】B 4．要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外学习小组，如果按性别依比例分层随机抽样，试问组成此课外学习小组的概率为( )
A ． 42
1056
15
C C C B ． 33105
6
15
C C C C ． 615
615
C A
D ． 42105
6
15
A A C 【答案】A
5．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P(B| A)= ( )
A ．
1
2
B ．
14
C ．
18
D ．
25
【答案】B
6．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为3”的概率是( )
A ．
13
B ．
14
C ．
15
D ．
16
【答案】D
7．某学校路口,红灯时间为30秒,黄灯时间为5秒, 绿灯时间为45秒,当你到这个路口时,看到黄灯的概率是( )
A ．
12
1; B ．
8
3; C ．
6
5; D ．
.
161 【答案】D
8．已知函数f(x)=x 2
+ax-2b.若a,b 都是区间［0,4］内的数，则使f(1)>0成立的概率是( )
A ．
3
4
B ．
14
C ．
38
D ．
58
【答案】C
9．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为1P 32=
，乙的命中率为2P 2
1
=，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且
都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；则该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为( ) A ． 61
B ．
3
1 C ．
12
D ． 127
【答案】B
10．离散型随机变量X 的概率分布列如下：
则c 等于( )
A ．0.01
B ．0.24
C ．0.1
D ．0.76 【答案】C
11．从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是( )
A ．至少有1个红球和全是白球
B ．至少有1个白球和全是白球
C ．恰有1个白球和恰有两个白球
D ．至少有1个白球和全是红球 【答案】C
12．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝
9
5
，则P(η≥2)的值为( ) A ．
81
32 B ．
27
11 C ．
81
65 D ． 81
16
【答案】B
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 ． 【答案】
1328
14．曲线2
3y x =+在点(1,4)处的切线与两坐标轴的交点为A 、B ，向圆
22280x y x ++-=内随机投一点，则该点落在AOB ∆内的概率是 ．
【答案】
19π
15．已知函数f(x)＝ax 2
－bx ＋1，若a 是从区间[0,2]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，则此函数在[1，＋∞)上递增的概率为 ． 【答案】
34
16．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关。

某品牌的电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是96.0，开关了15000次后还能继续使用的概率是80.0，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是 。

【答案】
56
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．某汽车厂生产A 、B 两类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种，某月的产量如下表：
按分层抽样的方法在该月生产的轿车中抽取50辆，其中A 类轿车20辆。

(I ）求x 的值；
(II ）用分层抽样的方法在B 类轿车中抽取一个容量为6的样本，从样本中任意取2辆，求至少有一辆舒适轿车的概率。

【答案】（1）由
2050
=
400800x
+，解得200x = (2）法一：列举法
抽取容量为6的样本，则其中舒适型轿车为2辆，标准型轿车为4辆，可设舒适型轿车为
12,A A ，标准型轿车为1234,,,B B B B ，
则从6辆的样本中任抽2辆的可能有11121314,,,A B A B A B A B ，11121314,,,A B A B A B A B ，12A A ，121314,,B B B B B B ，2324,B B B B ，34B B 共15种，
至少有一辆是舒适型轿车的可能有11121314,,,A B A B A B A B ，11121314,,,A B A B A B A B ，
12A A 共9种，
所以至少有一辆是舒适型轿车的概率是93
155
P =
= 法二：抽取容量为6的样本，则其中舒适性2辆；标准型4辆。

法一：112242
2
635
c c c p c +== 18．袋中装有m 个红球和n 个白球，m ≥n ≥2，这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都
相同．从袋中同时取出2个球． (1）若取出是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍，试证：m 必为奇数；
(2）若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求m+n ≤40的所有数组(m ，n)． 【答案】 (1)设取出2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k 倍(k 为
整数)，
则有21122
m m n
m n m n
C C C k C C ++= ∴
(1)
2
m m -＝kmn ． ∵k ∈Z ，n ∈Z ，∴m=2kn+1为奇数．
(2)由题意,有2211222
m n m n m n m n m n
C C C C C C C ++++=，∴(1)
2m m -=mn, ∴m 2-m+n 2-n-2mn=0即(m-n)2
=m+n ，
∴m ≥n ≥2，所以m+n ≥4，∴2≤m-n
<7，
∴m-n 的取值只可能是2，3，4，5，6，相应的m+n 的取值分别是4，9，16，25，36， 即42m n m n +=⎧⎨
-=⎩或93m n m n +=⎧⎨-=⎩或164m n m n +=⎧⎨-=⎩或255m n m n +=⎧⎨-=⎩或36
6m n m n +=⎧⎨-=⎩
解得31m n =⎧⎨
=⎩或63m n =⎧⎨=⎩或106m n =⎧⎨=⎩或1510m n =⎧⎨=⎩
或21
15m n =⎧⎨=⎩ 注意到m ≥n ≥2．
∴(m ，n)的数组值为(6，3)，(10，6)，(15，10)，(21，15)． 19．在6件产品中有一等品2件，二等品2件（一等品和二等品都是正品．．．．．．．．．．．），其余为次品． (Ⅰ）从中任取2件进行检测，2件都是一等品的概率是多少？
(Ⅱ）从中任取2件进行检测，2件中至少有一件次品的概率是多少？ 【答案】（Ⅰ）记事件A ：2件都是一等品，本题的等可能基本事件总数为15，事件A 包含的基本事件数为1，所以1
()15
P A =
； (Ⅱ）记事件B ：2件中至少有一件次品，则事件B ：2件中没有次品，事件B 包含的基
本事件数为1，所以1()15P B =
所以114
()1()11515
P B P B =-=-=；
20．某机床厂每月生产某种精密数控机床10件，已知生产一件合格品能盈利8万元，生产一件次品将会亏损2万元。

假设该精密数控机床任何两件之间合格与否相互没有影响。

相关部门统计了近二年每个月生产的合格品，以生产最稳定的年份估算2010工厂生产该精密数控机床的合格率。

参考数据：45678
0.80.410,0.80.328,0.80.262,0.80.210,0.80.168,=====
9100.80.134,0.80.107==
(1)试确定2010年生产精密数控机床的合格率；
(2)若该工厂希望每月盈利额X 不低于70万元,求该工厂达到盈利目标的概率(将结果精确到 0.01)； (3)求该工厂每月盈利额X 的数学期望. 【答案】 (1)2008年方差2
1205123σ=
=；2009年方差2
2105126
σ== 2010年生产精密数控机床的合格率为0.8
(2)设X 表示合格品的个数，则X ～B(10,0.8)，X 表示每月盈利额，
则(70)(9)(9)(10)P P P P ηξξξ≥=≥==+=9910101010414()()()555
C C =+0.38≈ (3)由X ～B(10,0.8)可知EX=8,因为82(10)1020ηξξξ=--=-所以102060E E ηξ=-=(万元)
21．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
(1）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；
(2）从[40,50)岁年龄段的“低碳族．．．”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX ． 【答案】（1）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为
0.3
0.065
=．频率直方图如下：
第一组的人数为
1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以200
10000.2
n ==． 由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以
1950.65300
p ==．
第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=．
(2）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为
60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6
人． 随机变量X 服从超几何分布．
031263185(0)204C C P X C ===，121263
1815
(1)68C C P X C ===，
2112631833(2)68C C P X C ===，301263
1855
(3)204
C C P X C ===． 所以随机变量X 的分布列为
∴数学期望5153355
012322046868204
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=． 22．一射击测试每人射击二次，甲每击中目标一次记10分，没有击中记0分，每次击中目标的概率为
32；乙每击中目标一次记20分，没有击中记0分，每次击中目标的概率为3
1。

（Ⅰ）求甲得10分的概率；（Ⅱ）求甲乙两人得分相同的概率。

【答案】依题意得
(Ⅰ）甲得10分的概率为9
4
31321
2=⋅⋅
=C P (Ⅱ）甲、乙两人得分相同为甲乙两人均为0分或均为20分，
81
203231)32()32()31(1222222=⋅⋅+⋅=C C P。