【创新方案】（浙江专版）2021届高考数学一轮温习 第八章 第七节 抛物线演练知能检测 文(1)

第七节 抛 物 线
[通盘巩固]
1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，那么实数a ＝( )
C ．－12
D ．－32 解析：选D 把抛物线方程化为x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a y ，那么p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，那么1
2－a 2＝1，解得a ＝－32
. 2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，假设|AB |＝4，那么弦AB 的中点到直线x ＋12
＝0的距离等于( )
B ．2 C.94
D ．4 解析：选C 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的核心⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，那么弦AB 的中点的横坐标是74
，因此弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94
. 3．(2021·江西高考)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的核心为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，那么|FM |∶|MN |＝( )
A ．2∶ 5
B ．1∶2
C ．1∶ 5
D ．1∶3
解析：选C FA ：y ＝－12
x ＋1，与x 2＝4y 联立，得x M ＝5－1，FA ：y ＝－12x ＋1，与y ＝－1联立，得N (4，－1)，由三角形相似知|FM ||MN |＝x M 4－x M ＝15
. 4．设F 为抛物线y 2＝4x 的核心，A ，B ，C 为该抛物线上三点，假设FA ＋FB ＋FC ＝0，那么|FA |＋|FB |＋|FC |＝( )
A ．9
B ．6
C ．4
D ．3
解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)，由FA＋FB＋FC＝0知，
(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3，
|FA |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6. 5．已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，那么点P 的轨迹是( )
A ．抛物线
B ．椭圆
C ．双曲线的一支
D ．直线
解析：选A 由点P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因此点P 到直线l 的距离等于点P 到点M 的距离，因此点P 的轨迹是抛物线．
6．(2021·新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4
2x 的核心，P 为C 上一点，假设|PF |＝42，那么△POF 的面积为( )
A ．2
B ．2 2
C ．2 3
D ．4
解析：选C 设P (x 0，y 0)，依照抛物线概念得|PF |＝x 0＋
2，因此x 0＝32， 代入抛物线方程求得y 2＝24，解得|y |＝2
6， 因此△POF 的面积等于12·|OF |·|y |＝12×2×2
6＝2 3. 7．(2021·北京高考)假设抛物线y 2＝2px 的核心坐标为(1,0)，那么p ＝________，准线方程为________．
解析：∵抛物线y 2＝2px 的核心坐标为(1,0)，∴p
2
＝1，解得p ＝2，∴准线方程为x ＝－1.
答案：2 x ＝－1
8．(2021·丽水模拟)设Q 为圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0上任意一点，抛物线y 2＝8x 的准线为l .假设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，那么m ＋|PQ |的最小值为________．
解析：如图由抛物线概念可得，点P 到准线的距离等于其到核心F 的距离，故问题转
化为点P到核心的距离与到圆上点的距离之和的最小值，由圆的知识可知当且仅当点P为圆心C和核心F的连线与抛物线的交点，Q取CF的连线与圆的交点时，距离之和取得最小值，即m＋|PQ|≥|CF|－r＝－3－22＋－4－02－2＝41－2.
答案：41－2.
9．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 解析：
如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，
切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，
消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，那么Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，因此切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝
⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43
. 答案：43 10．已知以向量v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12为方向向量的直线l 过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，54，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的极点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)设A ，B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，假设OA ·OB ＋p 2＝0(O 为原点，A ，B 异于原点)，试求点N 的轨迹方程．
解：(1)由题意可得直线l 的方程为y ＝12x ＋54
，① 过原点垂直于l 的直线方程为y ＝－2x .②
解①②得x ＝－12
. ∵抛物线的极点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上，
∴－p 2＝－12
×2，p ＝2.
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，由题意知y0＝y1.由OA·OB＋p2＝0，得x1x2＋y1y2＋4＝0，
又y21＝4x1，y22＝4x2，解得y1y2＝－8，③
直线ON ：y ＝y 2x 2x ，即y 0＝4y 2
x 0.④ 由③④及y 0＝y 1得点N 的轨迹方程为x ＝－2(y ≠0)．
11．已知定点A (1,0)和直线x ＝－1上的两个动点E ，F ，且AE ⊥AF ，动点P 知足EP ∥OA ，FO ∥OP (其中O 为坐标原点)．
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，假设AM ·AN <0，求直线l 的斜率的取值范围．
解：(1)设P (x ，y )，E (－1，y E )，F (－1，y F )，
∵AE ·AF ＝(－2，y E )·(－2，y F )＝y E ·y F ＋4＝0，
∴y E ·y F ＝－4，①
又EP ＝(x ＋1，y －y E )，FO ＝(1，－y F )，
且EP ∥OA ，FO ∥OP ，
∴y －y E ＝0且x (－y F )－y ＝0，
∴y E ＝y ，y F ＝－y
x
， 代入①得y 2＝4x (x ≠0)，
∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)．
(2)设l ：y －2＝kx (易知k 存在，且k ≠0)，
联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，y 2＝4x ，
消去x ，得ky 2－4y ＋8＝0， Δ＝42－32k >0，即
k <12. 令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
则y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝8k
，
AM·AN＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2
＝y21·y22
16
－
y21＋y22
4
＋1＋y1y2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 242－y 1＋y 224＋32y 1y 2＋1 ＝12k
＋1<0， ∴－12<k <0，
故实数k 的取值范围为(－12,0)．
12．(2021·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .
(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；
(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是不是为定值？请说明理由．
解：
(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，
∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．
∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离．
点Q 在线段FP 的垂直平分线上，
∴|PQ |＝|QF |.
故动点Q 的轨迹是以F 为核心，l 为准线的抛物线，
其方程为y 2＝2x (x >0)．
(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，
圆的半径r ＝|MA |＝
x 0－12＋y 20， 那么|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，
因为点M 在曲线C 上，因此x 0＝y 202
， 因此|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．
[冲击名校]
已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且知足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .
(1)求曲线C 的方程；
(2)假设直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程．
解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，那么点Q 的坐标为(x ，－2)． ∵OP ⊥OQ ，
∴当x ＝0时，P ，O ，Q 三点共线，不符合题意，故x ≠0. 当x ≠0时，得k OP ·k OQ ＝－1，
即y x ·－2x ＝－1，化简得x 2＝2y ，
∴曲线C 的方程为x 2＝2y (x ≠0)．
(2)∵直线l 2与曲线C 相切，
∴直线l 2的斜率存在．
设直线l 2的方程为y ＝kx ＋b ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b ，x 2＝2y ，得x 2－2kx －2b ＝0. ∵直线l 2与曲线C 相切，
∴Δ＝4k 2＋8b ＝0，即b ＝－k 22. 点(0,2)到直线l 2的距离
d ＝|－2＋b |k 2＋1
＝12·k 2＋4k 2＋1
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫k 2＋1＋3k 2＋1 ≥12×2k 2＋1·3k 2＋1＝ 3. 当且仅当k 2＋1＝3k 2＋1，即k ＝±2时，等号成立．
现在b ＝－1.
∴直线l 2的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0.
[高频转动] 1．(2021·宜宾模拟)已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P
知足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是12
时，点P 到坐标原点的距离是( ) D ．2
解析：选A 由已知可得c ＝2，a ＝1，∴b ＝1.
∴双曲线方程为x 2－y 2＝1(x ≤－1)．
将y ＝12代入，可得点P 的横坐标为x ＝－52
. ∴点P 到原点的距离为 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－522＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝62. 2．(2021·上海模拟)已知双曲线x 26－y 2
3
＝1的左，右核心别离为F 1，F 2，点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴，那么F 1到直线F 2M 的距离为________． 解析：由题意知F 1(－3,0)，设M (－3，y 0)，代入双曲线方程求得|y 0|＝62，即|MF 1|＝6
2.又|F 1F 2|＝6，利用直角三角形性质及数形结合得F 1到直线F 2M 的距离为d ＝
|MF 1|·|F 1F 2|
|MF 1|2＋|F 1F 2|2＝62×664
＋36＝65. 答案：65。