数学建模之飞行计划模型

飞行
摘要本文讨论了甲方飞行计划的优化问题。

针对本问题，甲方飞行计划可用约束优化模型的方法实现，求解目标为在满足供给的前提下，使总费用最低的最优解。

总费用为购买新飞机的花费、闲置的熟练飞行员报酬、教练和飞行员报酬（包括培训费用）、执行飞行任务的熟练飞行员报酬、休假期间的熟练飞行员报酬之和，其中执行飞行任务的熟练飞行员报酬和休假期间的熟练飞行员报酬是固定的，总费用不会受它们影响。

所以在计算总费用时，可以直接将执行飞行任务的熟练飞行员报酬和休假期间的熟练飞行员报酬算出结果加到总费用中。

由于题目给的变量和约束条件较多，首先对题目做了相应的定性分析和定量计算，可知本月初购买的飞机与招聘的新飞行员在下一月全部投入使用，尽最大可能减少熟练飞行员的闲置，可使总费用最低，这样使变量数目极大地减少了，方便对问题的理解和具体的计算。

计算结果如下表所示。

关键字飞行员数量飞机数量教练数目总费用约束优化模型
月份第一个月第二个月第三个月第四个月各项总费用购买的新飞机的数量60 30 80 0 33050
闲置的飞机的数量10 0 0 0
闲置的熟练飞行员数量7 0 0 0 49 教练的数量23 12 12 0 466.4 招聘新飞行员数量432 210 228 0 8633.4 执行任务的飞行员数量300 450 450 600 16935 休假的熟练飞行员数量0 240 360 360 4596 总费用63729.8
一、问题重述
在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月。

由于乙方封锁了所有水陆交通通道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供
给。

运送4个月的供给分别需要2次，3次，3次，4次飞行，每次飞行编队由
50架飞机组成(每架飞机需要3名飞行员)，可以运送10万t物资。

每架飞机每
个月只能飞行一次，每名飞行员每个月也只能飞行一次。

在执行完运输任务后的
返回途中有20％的飞机会被乙方部队击落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。

在第1个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员。

在每个月开始
时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。

新飞机必须经过一个月的检查后才可
以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞
行。

每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20名飞行员(包括他自己在内)进
行训练。

每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假期，假
期结束后才能再投入飞行。

已知各项费用(单位略去)如下表所示，请为甲方安排
一个飞行计划。

时间第1个月第2个月第3个月第4个月新飞机价格200.0 195.0 190.0 185.0 闲置的熟练飞行员报酬7.0 6.9 6.8 6.7 教练和飞行员报酬（包括培训费用）10.0 9.9 9.8 9.7 执行飞行任务的熟练飞行员报酬9.0 8.9 9.8 9.7 休假期间的熟练飞行员报酬 5.0 4.9 4.8 4.7
二、问题分析
分析题目提供信息，可以建立一个约束优化模型。

首先，由于四个月的新飞
机价格逐渐降低，为减少费用每个月只购买下个月所需的新飞机；其次，执行飞
行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员的数量是确定的，所以这部分的报酬是固定的，在优化目标中可以直接算出。

为使总费用最低，新飞行员下个月全部投入使用，熟练飞行员只在第一个月有闲置。

根据题目要求，每月参与飞行任务的飞机数量依次为100，150，150和200架，这些飞机最后能返回甲方，参与下个月的飞行任务的数量依次为80，120和120。

每月参与飞行任务的飞行员数量依次为300，450，450和600人，这些飞行员最后能返回甲方的人数依次为240，360和360，但是这些飞行员需要休假一个月方能再次执行飞行任务。

这些因素都会影响下个月执行飞行任务的飞机和飞行员的安排。

三、模型假设
1、假设每个月甲方执行飞行计划时，仅在他们返回途中有20%的飞机被击落。

另外在训练、运送物资及闲置等时候飞机不会出事。

2、假设新飞机经一个月检查后都可以投入使用；新飞行员经一个月训练后都可以投入飞行,而且被训练后的新飞行员便成为了熟练飞行员。

3、假设没有援军等其它因素来干扰甲乙双方的战争；每月甲方的空中运送计划没有其他因素影响，空运的物资、次数及飞机数目不变。

4、假设飞行员数目只因为飞机被击落而减少，不受疾病、退休等因素影响。

5、假设新飞行员训练时不占用飞机，新飞机检查时不占用飞行员。

6、每名熟练飞行员作为教练每个月指导不超过20名飞行员（包括他自己在内）进行训练。

四、符号表示
符号变量说明
x第i个月购买的飞机数目，i=1、2、3、4
i
y第i个月招聘的飞行员数目，i=1、2、3、4
i
p第i个月闲置的飞行员数目，i=1、2、3、4
i
z第i个月的教练数目，i=1、2、3、4
i
1h 购买新飞机的总费用 2h 闲置的熟练飞行员的总报酬
3h 教练和新飞行员的总报酬（包括培训费用）
4h 执行任务的熟练飞行员的总报酬 5h
休假期间熟练飞行员的总报酬 w
此次战斗中空投的总费用
五、模型建立
每名熟练飞行员作为教练每个月指导不超过20 名飞行员情况下。

分析题目可知，总的花费包括了： ① 购买新飞机的总费用1h ；
1123200195190h x x x =⨯+⨯+⨯ ② 闲置的熟练飞行员的总报酬2h ；
()
217330300h z =⨯--
③ 教练和新飞行员的总报酬（包括培训费用）3h ；
()()()3112233109.99.8h z y z y z y =⨯++⨯++⨯+
④ 执行飞行任务的熟练飞行员总报酬4h ；
493008.94509.84509.7600h =⨯+⨯+⨯+⨯ ⑤ 休假期间的熟练飞行员总报酬5h ；
()()()
550 4.9300120% 4.8450120% 4.7450120%h =⨯+⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-
各月飞机数量变化分析如下表1所示 表1 时间 可以使用的飞机数 使用的飞机数 失踪的飞机数 购买的飞机数 闲置的飞
机数
第一个月 110 100 20 1x 110100- 第二个月 111020x -+ 150 30 2x 0 第三个月 121102030x x --++ 150 30 3x
0 第四个月 123110203030x x x ---+++
200
40
为节省费用后三月闲置飞机数为0，则可建立下列方程组：
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+++---=++--=+-200
303020110150302011015020110321211x x x x x x （1）
各月2所示：
表2
时间
招聘的飞行员数 使用的飞行员数 教练人数 闲置的飞行员数 休假的飞行员数
第一个月
1y 300 1z 1330300z -- 0 第二个月 2y 450 2z 0 ()
300120%⨯- 第三个月 3y
450 3z
0 ()450120%⨯- 第四个月 0
600
()
450120%⨯-
为节
0，则可建立下列方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=-++=-+600
360450240450
3033
32221z y z z y z y (2) 其中i z 与i y 的关系为
19i
i y z =或者119i i y z ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。

六、模型求解
由方程组（1）解出⎪⎩⎪
⎨⎧===8030603
21x x x （3）
由方程组（2）以及i z 与i y 的关系解出⎪⎩⎪
⎨⎧===2282104323
21y y y （4）
⎪⎩⎪
⎨⎧===1212233
21z z z （5） 具体求解过程见附录。

① 购买新飞机的总费用1h ；
112320019519033050h x x x =⨯+⨯+⨯= ② 闲置的熟练飞行员的总报酬2h ；
()21733030049
h z =⨯--=
③ 教练和新飞行员的总报酬（包括培训费用）3h ；
()()()3112233109.99.89099.8h z y z y z y =⨯++⨯++⨯+=
④ 执行飞行任务的熟练飞行员总报酬4h ；
493008.94509.84509.760016935h =⨯+⨯+⨯+⨯= ⑤ 休假期间的熟练飞行员总报酬5h ；
()()()550 4.9300120% 4.8450120% 4.7450120%4596h =⨯+⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-=
则此次战斗中空投的总费用:
1234563729.8w h h h h h =++++=
七、模型评价及推广
优点：本模型中根据题目条件建立了一个约束最优化模型，这样的求解约束最优化模型的方法和思路可以用来求解任何约束最优化的问题。

缺点：对于本题建立的模型比较单一，这样使模型的推广受到一定的限制。

本题中这样的建模方法和求解思路可以用来求解实际生活中的很多问题，如合理下料问题（题目给出几种不同长度的材料，问应如何裁截才能使这些管料，既能满足题目要求， 又能使残料最少），这个问题的求解思路和方法与本题的几乎完全相同，还有运输问题（不同型号的车，运送货物到不同的目的地，要求总的运费最少）这也是求解约束最优化的问题，等等。

参考文献
[1] 姜启源，谢金星，叶俊。

.数学模型（第四版）.北京:高等教育出版社
附录
（1）若3y 不是19的整数倍，则331
19y z ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，代入方程组（2）解出31111.95
19y ⎡⎤
<≤⎢⎥⎣⎦，无解；
若3y 是19的整数倍，则
3
319y z =
，代入方程组（2）解出312z = ，3228y =。

（2）若2y 是19的整数倍，则2
219y z =
，代入方程组（2）解出210.05z =，不成
立；
若2y 不是19的整数倍，则
221
19y z ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，代入方程组（2）解出212z =。

（3）将212z =代入方程组(2)解出123z =，1432y =，2210y =。