实变函数[精华]

1、单调渐张集列必收敛，其极限集为；若A n=[0,1-],则。

2、闭集减开集的差集是集。

3、若则。

4、设f(x)在E上可测，则f(x)总可以表示成一列的极限函数。

5、康托尔集是一个集，其测度为。

6、在[a,b]上的有界变差函数一定是函数。

7、设f(x)是可测集E（）上的有界函数，则f(x)在E上（L）可积的充要条件是f(x) 。

8、可数集合在无限集中具有最小的。

二、判断题（20分,每小题2分）：
1、复数集的基数最大。

（）
2、连续函数一定是可测函数。

（）
3、任意多个开集的交集一定是开集。

（）
4、康托尔集与有理数集的测度相等。

（）
5、若|f(x)|在可测集E上可测，则f(x)必在E上可测。

（）
6、几乎处处收敛的函数列必是依测度收敛的。

（）
7、L积分是一种绝对收敛的积分。

（）
8、E的界点一定是E的聚点。

（）
9、单调增加函数的间断点只有有限个。

（）
10、设f(x)在E上（L）可积，则f(x)在E上必有限。

（）
三、构造题（12分）：
1（6分）、在[0，1]上构造一个具有有限正测度的闭集。

2（6分）、构造一可列集E，使其导集，其开核。

四、简答题（16分，每小题4分）
1、有界变差函数与连续函数的关系是怎样的？
2、几乎处处收敛、基本上一致收敛以及依测度收敛的关系如何？
3、说明可测函数类比连续函数类广。

4、说明无聚点的集合与只有孤立点的集合的关系。

五、计算题（18分，每题9分）：
1、求极限。

2、设在Cantor集上定义函数f(x)= 1，而在Cantor集的邻接区间上函数的图形是以这些邻接区间长度为直径所作圆周之上半圆，计算f(x)在[0，1]上的L积分。

六、证明题(16分每题8分)
1、设在E上，且几乎处处成立于，n=1,2,…，则几乎处处有f n(x)收敛于f(x)。

2、若E为直线上一有界可测集，且mE=p>0,则对于任意小于p的正数q，恒存在E的可测子集E0，使mE0=q。

一、填空题（每空2分，共20分）：
1、单调递降集列必收敛，其极限集为；若A n=[0,1+],则。

2、开集减闭集的差集是集。

3、若则。

4、设f(x)在[a,b]上有界变差函数，，则f(x)总可以表示成之差。

5、康托尔集是一个集，其关于[0，1]的余集的测度为。

6、在[a,b]上的有界变差函数一定是函数。

7、设f(x)是可测集E（）上的有界函数，则f(x)在E上（L）可测的充要条件是f(x) 。

8、任何无限集都至少包含一个。

二、判断题（20分,每小题2分）：
1、幂集的基数最大。

（）
2、可测函数是几乎处处连续的函数。

（）
3、任意多个闭集的并集一定是闭集。

（）
4、康托尔集与有理数集的对等。

（）
5、若|f(x)|在可测集E上可积，则f(x)必在E上可积。

（）
6、几乎处处收敛的函数列必是基本上一致收敛的。

（）
7、L积分不是一种绝对收敛的积分。

（）
8、E的孤立点一定是E的界点。

（）
9、单调增加函数的不连续点只有有限个。

（）
10、设f(x)在E上（L）可积，则f(x)在E上必几乎处处有限。

（）
三、构造题（12分）：
1（6分）、在[0，1]上构造一个具有有限正测度的疏朗集。

2（6分）、构造一可列集E，使其导集。

四、简答题（16分，每小题4分）
1、有界变差函数与绝对连续函数的关系是怎样的？
2、几乎处处收敛、基本上一致收敛以及依测度收敛的关系如何？
3、说明可测函数类比连续函数类广。

4、说明无聚点的集合与只有孤立点的集合的关系。

五、计算题（18分，每题9分）：
1、求极限。

2、设在Cantor集上定义函数f(x)= 10，而在Cantor集的邻接区间上函数的图形是以这些邻接区间长度为边长所作之正方形，计算f(x)在[0，1]上的L积分。

六、证明题(16分每题8分)
1、设在E上，且几乎处处成立于E，n=1,2,…，则在
E 上几乎处处有。

2、若E为直线上一有界集合，且m*E=p>0,则对于任意小于p的正数q，恒存在E的子集E0，使m*E0=q。

1．单调递增集列{A n}必收敛，其极限集为；若，
则。

2．一个可数集与另一个可数集的交集是集。

3．若，，则与的关系是。

4．设在上为单调函数，则必在可导。

5．康托尔集是一个测度集，其关于的余集的测度为。

6．在可测集上的可积函数一定是可积函数。

7．设是可测集上的有解函数，则在上可积的充要条件是。

8．每个闭集必是开集的交集。

1．没有最大的基数。

（）
2．上的单调函数必是可测函数。

（）3．可数多个开集的交集一定是开集。

（）
4．康托尔集与有理数集的基数相等。

（）
5．若在可测集上可积，则必在上可
测。

（）
6．几乎处处收敛的函数列必是一致收敛的。

（）7．无界集一定具有无限的测度。

（）8．的内点一定是的聚点。

（）9．有界变差函数一定是单调函数。

（）10．设在上可积，则在上必可测。

（）
1. 在上构造一个具有有限正测度的疏郎集。

2. 构造一零测集，使其导集。

1．有界变差函数、连续函数及单调函数的关系是怎样的？
2．可积函数与可积函数的关系是怎样的？
3．说明有界集和测度有限的可测集的关系。

4．说明可测函数与连续函数的关系。

1．计算函数，在区间上的全变
差。

2．设（其中P为有理数），试计算
上的积分。

1．设由中取出个可测子集，假定中任一点至少属于这个集中的一个，试证必有一集，他的测度大于或等于。

2．设在Cantor集上定义函数，而在Cantor集的邻接区间上函数的图形是以这些邻接区间长度为直径的上半圆周，试证在上可积分，并求出
积分
值。

1．单调递降集列{A n}必收敛，其极限集为；若，则。

2．有限集与可数集的并集必是集。

3．至少含有一内点的可测集，其测度一定。

4．设在上为单调函数，则必在连续。

5．康托尔集是一个基数为集，其关于的余集的测度为。

6．在可测集上的可积函数一定是有限函数。

7．设是可测集上的有解函数，则在上可积的充要
条件是。

8．每个闭集必是开集的交集。

1．复数集的基数最大。

（）
2．上的可积函数必是可测函数。

（）
3．可数多个闭集的并集一定是闭集。

（）
4．康托尔集与有理数集的测度相等。

（）
5．若在可测集上可积，则必在上有
限。

（）
6．几乎处处收敛的函数列必是依测度收敛的。

（）
7．无界集一定具有无限的测度。

（）
8．的聚点一定是的界点。

（）
9．有界变差函数一定是有限的函数。

（）
10．设在上可积，则在上必可测。

（）
1. 在上构造一个具有有限测度的疏朗的完备集。

2. 构造一零测集，使其导集。

1．有界变差函数、有界函数及绝对连续函数的关系是怎样的？
2．当时，是否存在函数列是处处收敛于但非基本上一致
收敛；若存在，请举例。

3．说明可积函数类比连续函数类广。

4．说明可列集与零测集的关系。

1．计算函数，在区间上的全变
差。

2．设（其中Q为有理数），试计算上的积分。

1．设，，则，。

2．设是的可测子集，，则。

3．设在Cantor集上定义函数，而在Cantor集的邻接区间上函数的图形是以这些邻接区间长度为为一边长向上所作之正三角形，试证在上可积分，并求出积分值。

1、集列的上极限集为；若A n=[0,1+],则。

2、每个开集必是个闭集的并集。

3、若则。

4、设f(x)在[a,b]上可积，则其不定积分为函数。

5、康托尔集是一个（填可数和不可数）集，其测度为。

6、在[a,b]上的有界变差函数一定是函数。

7、设f(x)是可测集E（）上的有界函数，则f(x)在E上（L）可积的充要条件是f(x) 。

8、无限集的一个重要特征是。

1、自然数集的基数最小。

（）
2、L可测函数必是L可积函数。

（）
3、任意多个闭集的交集一定是闭集。

（）
4、康托尔集与有理数集对等。

（）
5、若|f(x)|在可测集E上不可积，则f(x)必在E上不可积。

（）
6、几乎处处收敛的函数列必是依测度收敛的。

（）
7、L反常积分是一种绝对收敛的积分。

（）
8、E的聚点一定是E的界点。

（）
9、单调增加函数的间断点只有有限个。

（）
10、设f(x)在E上L可积，则。

（）
1、在上构造一函数列，说明依测度收敛的函数列不一定是几乎处处收敛的。

2、构造一零测度集E，使其导集，其开核。

1、有界变差函数与绝对连续函数的关系是怎样的？
2、试述叶果洛夫定理并举例说明条件必不可少。

3、说明L可积函数类比R可积函数类广。

4、给出建立无限集与它的真子集一一对应的一般方法，以体现无限集的特征？
1、设是R n中的可测集列，且有，若A是所有属于无限个A k的元素的集合，试求A的测度？
2、设在Cantor集上定义函数f(x)= x10，而在Cantor集的长为的邻接区间上函数等于，计算f(x)在[0，1]上的L积分。

1、设在E上，且几乎处处成立于E，n=1,2,…，则在
E 上几乎处处有。

2、试从，求证：。

1、集列的下极限集为；若A n=[0,1+],则。

2、每个闭集必是个开集的交集。

3、若，则。

4、设f(x)在E上可测，则f(x)总可以表示成一列的极限函数。

5、康托尔集是一个（填开或闭）集，其基数为。

6、在[a,b]上的有界变差函数一定是函数。

7、设f(x)是可测集E（）上的有界函数，则f(x)在E上（L）可测的充要条件是f(x) 。

8、可数集合的任何无限子集必为。

1、复数集的基数最大。

（）
2、[a,b]上的单调函数一定是L可积函数。

（）
3、可数多个开集的交集一定是开集。

（）
4、康托尔集与有理数集的基数相等。

（）
5、若|f(x)|在可测集E上可测，则f(x)必在E上可测。

（）
6、一致收敛的函数列必是依测度收敛的。

（）
7、L积分是一种绝对收敛的积分。

（）
8、E的界点一定是E的聚点。

（）
9、单调增加函数的间断点最多有有限个。

（）
10、设f(x)在E上L可积，则f(x)在E上必有限。

（）
1、构造函数列说明几乎处处收敛的函数列不一定是依测度收敛的。

2、构造一零测度集E，使其导集，其开核。

1、有界变差函数与有界函数的关系是怎样的？
2、可测函数的构造是怎样的？鲁金定理中的是否可以取0，即结论能否表述为：“存在闭集，使m(E-F)=0,且f在F上连续。

”？
3、说明可测函数类比连续函数类广。

4、说明为什么可数集合在无限集中具有最小的基数？
1、设是R n中的可测集列，且有，若A是所有属
于无限个A k的元素的集合，求mA=？
2、设在Cantor集上定义函数f(x)= 1，而在Cantor集的邻接区间上函数的图
形是以这些邻接区间长度为直径所作圆周之上半圆，计算f(x)在[0，1]上的L积分。

1、设在E上，且几乎处处成立，n=1,2,…，则几乎处处有f n(x)收敛于f(x)。

2、求证：
1．单调减少集列{A n}的极限集为。

2．设P为康托尔集，则P的导集= ，P的闭包= 。

3．每个闭集必为个开集的交集。

4．设{ E n}是一列单调增加的可测集，则：。

5．设为非空孤立点集，则。

1．无聚点的集合必仅由孤立点组成。

（）
2．零测度集的闭包也必为零测度集。

（）
3．无理数集是Gδ型集。

（）
4．有理数集的任何无限子集的基数均为。

（）
5．L可积函数必是a.e.有限的函数。

（）
6．任意多个闭集的并集称为Fσ型集。

（）
7．单调增加函数必是“基本上”连续的函数。

（）
8．若f(x)为有界变差函数，则f(x)必为有界函数。

（）
9．康托尔集与有理数集的测度相等。

（）
10．L可测函数必为L可积函数。

（）
1. 在R1中构造一个正测度的闭集F，使F中不含任何有理数。

2. 构造一列处处收敛但不依测度收敛的函数列。

1．若函数f(x)在[a,b]上是有界变差函数，则|f(x)|在[a,b]上也是有界变差函数。

并问：反之是否成立？
2．L可测函数与连续函数的关系是怎样的？
3．有界可测集与测度有限的可测集之间有什么关系？
4．叙述一致收敛与a.e.处处收敛之间的关系。

1．鲁津定理的逆命题是否成立？若成立，请写出来并加以证明。

2．设可测函数列f n(x),n=1,2,…,依测度收敛于f(x)，在E上f(x)=g(x)几乎处处成立，证明：f n(x)依测度收敛于g(x)。

1．求极限。

2．设在Cantor集上定义函数f(x)=sinx，而在Cantor集的长为的邻接区间
上定义f(x)= 。

计算f(x)在[0,1]上的L积分值。

1．单调增加集列{A n}的极限集为。

2．设P为康托尔集，则P的开核= ，P的闭包= 。

3．每个开集必可以表示为个闭集的并集。

4．设{ E n}是一列可测集，则：。

5．设为非空集，若，则
．仅由孤立点所组成的集合必无聚点。

（）
2．若E为R1中零测度集，则它的开核必为空集。

（）
3．有理数集是Fσ型集。

（）
4．可列集的任何无限子集的基数均为。

（）
5．L可积函数必为有限函数。

（）
6．任意多个开集的交集称为Gδ型集。

（）
7．取整函数y=[x]是R1上的可测函数。

（）
8．若f2(x)为R1中可测集E上的可测函数，则f(x)必为E上可测函数。

（）9．康托尔集与有理数集对等。

（）
10．[a,b]上的有界函数必为有界变差函数。

（）
1. 在R1中构造一个仅含无理数的闭集F，使mF>0。

2. 构造一列依测度收敛但处处不收敛的函数列。

1．若函数f(x)在E上可测，则|f(x)|在E上必可测。

并问：反之是否成立？
2．[a,b]上的有界变差函数与单调函数的关系是怎样的？
3．Fσ型集与Gδ型集之间有什么关系？与可测集又有什么关系？
4．叙述依测度收敛与a.e.处处收敛之间的关系。

1．叶果洛夫定理的逆命题是否成立？若成立，请写出来并加以证明。

2．设mE<+∞，几乎处处有限的可测函数列f n(x)和g n(x),n=1,2,…,分别依测度收敛于f(x)和g(x)，证明：f n(x)+g n(x)依测度收敛于f(x)+g(x)。

1．求极限。

2．设在Cantor集上定义函数f(x)=e x，而在Cantor集的长为的邻接区间上函数的图形是以这些邻接区间长度为斜边向上所作的等腰直角三角形，计算f(x)在[0,1]上的L积分
值。