物理电磁感应现象的两类情况的专项培优练习题(含答案)含答案

物理电磁感应现象的两类情况的专项培优练习题(含答案)含答案
一、电磁感应现象的两类情况
1．如图所示，光滑的长平行金属导轨宽度d=50cm ，导轨所在的平面与水平面夹角θ=37°，导轨上端电阻R=0.8Ω，其他电阻不计．导轨放在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.4T ．金属棒ab 从上端由静止开始下滑，金属棒ab 的质量m=0.1kg ．（sin37°=0.6，g=10m/s 2）
（1）求导体棒下滑的最大速度；
（2）求当速度达到5m/s 时导体棒的加速度；
（3）若经过时间t ，导体棒下滑的垂直距离为s ，速度为v ．若在同一时间内，电阻产生的热与一恒定电流I 0在该电阻上产生的热相同，求恒定电流I 0的表达式（各物理量全部用字母表示）．
【答案】（1）18.75m/s （2）a=4.4m/s 2
（32
22mgs mv Rt
-
【解析】
【分析】根据感应电动势大小与安培力大小表达式，结合闭合电路欧姆定律与受力平衡方程，即可求解；根据牛顿第二定律，由受力分析，列出方程，即可求解；根据能量守恒求解；
解：（1）当物体达到平衡时，导体棒有最大速度，有：sin cos mg F θθ= ， 根据安培力公式有： F BIL =， 根据欧姆定律有： cos E BLv I R R
θ==， 解得： 222
sin 18.75cos mgR v B L θ
θ
=
=； （2）由牛顿第二定律有：sin cos mg F ma θθ-= ， cos 1BLv I A R
θ
=
=， 0.2F BIL N ==， 24.4/a m s =；
（3）根据能量守恒有：22012
mgs mv I Rt =
+ ， 解得： 2
02mgs mv I Rt -=
2．如图所示，竖直放置、半径为R的圆弧导轨与水平导轨ab、在处平滑连接，且轨道间距为2L，cd、足够长并与ab、以导棒连接，导轨间距为L，b、c、在一条直线上，且与平行，右侧空间中有竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场，均匀的金属棒pq和gh垂直导轨放置且与导轨接触良好。

gh静止在cd、导轨上，pq从圆弧导轨的顶端由静止释放，进入磁场后与gh没有接触。

当pq运动到时，回路中恰好没有电流，已知pq的质量为2m，长度为2L，电阻为2r，gh的质量为m，长度为L，电阻为r，除金属棒外其余电阻不计，所有轨道均光滑，重力加速度为g，求：
（1）金属棒pq到达圆弧的底端时，对圆弧底端的压力；
（2）金属棒pq运动到时，金属棒gh的速度大小；
（3）金属棒gh产生的最大热量。

【答案】(1) (2) (3)
【解析】【分析】金属棒pq下滑过程中，根据机械能守恒和牛顿运动定律求出对圆弧底端的压力；属棒gh在cd、导轨上加速运动，回路电流逐渐减小，当回路电流第一次减小为零时，pq运动到ab、导轨的最右端，根据动量定理求出金属棒gh的速度大小；金属棒pq进入磁场后在ab、导轨上减速运动，金属棒gh在cd、导轨上加速运动，根据能量守恒求出金属棒gh产生的最大热量；
解：（1）金属棒pq下滑过程中，根据机械能守恒有：
在圆弧底端有
根据牛顿第三定律，对圆弧底端的压力有
联立解得
（2）金属棒pq进入磁场后在ab、导轨上减速运动，金属棒gh在cd、导轨上加速运动，回路电流逐渐减小，当回路电流第一次减小为零时，pq运动到ab、导轨的最右端，此时有
对于金属棒pq有
对于金属棒gh有
联立解得
（3）金属棒pq进入磁场后在ab、导轨上减速运动，金属棒gh在cd、导轨上加速
运动，回路电路逐渐减小，当回路电流第一次减小为零时，回路中产生的热量为
该过程金属棒gh 产生的热量为
金属棒pq 到达cd 、
导轨后，金属棒pq 加速运动，金属棒gh 减速运动，回路电流逐渐
减小，当回路电流第二次减小为零时，金属棒pq 与gh 产生的电动势大小相等，由于此时金属棒切割长度相等，故两者速度相同均为v ，此时两金属棒均做匀速运动，根据动量守恒定律有
金属棒pq 从到达cd 、
导轨道电流第二次减小为零的过程，回路产生的热量为
该过程金属棒gh 产生的热量为
联立解得
3．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 倾斜放置，两导轨间距离为L ，导轨平面与水平面间的夹角θ，所处的匀强磁场垂直于导轨平面向上，质量为m 的金属棒
ab 垂直于导轨放置，导轨和金属棒接触良好，不计导轨和金属棒ab 的电阻，重力加速度为g ．若在导轨的M 、P 两端连接阻值R 的电阻，将金属棒ab 由静止释放，则在下滑的
过程中，金属棒ab 沿导轨下滑的稳定速度为v ，若在导轨M 、P 两端将电阻R 改接成电容为C 的电容器，仍将金属棒ab 由静止释放，金属棒ab 下滑时间t ，此过程中电容器没有被击穿，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B 的大小为多少？ （2）金属棒ab 下滑t 秒末的速度是多大？ 【答案】（1）2sin mgR B L v
θ=2）sin sin t gvt v v CgR θθ=+ 【解析】
试题分析：（1）若在M 、P 间接电阻R 时，金属棒先做变加速运动，当加速度为零时做匀速运动，达到稳定状态．则感应电动势E BLv =，感应电流E
I R
=
，棒所受的安培力
F BIL =
联立可得22B L v
F R
=，由平衡条件可得F mgsin θ=，解得2
mgRsin B L v θ=． （2）若在导轨 M 、P 两端将电阻R 改接成电容为C 的电容器，将金属棒ab 由静止释放，产生感应电动势，电容器充电，电路中有充电电流，ab 棒受到安培力． 设棒下滑的速度大小为v '，经历的时间为t 则电容器板间电压为 U E BLv ='=
此时电容器的带电量为
Q CU = 设时间间隔△t 时间内流经棒的电荷量为Q V
则电路中电流
Q C U CBL v i t t t ∆∆∆===∆∆∆，又v
a t
∆=∆，解得i CBLa = 根据牛顿第二定律得mgsin BiL ma θ-=，解得22mgsin gvsin a m B L C v CgRsin θθ
θ
=
=++
所以金属棒做初速度为0的匀加速直线运动，ts 末的速度gvtsin v at v CgRsin θ
θ
'==
+．
考点：导体切割磁感线时的感应电动势；功能关系；电磁感应中的能量转化
【名师点睛】本题是电磁感应与电路、力学知识的综合，关键要会推导加速度的表达式，通过分析棒的受力情况，确定其运动情况．
4．如图所示，无限长平行金属导轨EF 、PQ 固定在倾角θ=37°的光滑绝缘斜面上，轨道间距L=1m ，底部接入一阻值R=0.06Ω的定值电阻，上端开口，垂直斜面向上的匀强磁场的磁感应强度B=2T 。

一质量m=2kg 的金属棒ab 与导轨接触良好，ab 与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，ab 连入导轨间的电阻r=0.04Ω，电路中其余电阻不计。

现用一质量M=6kg 的物体通过一不可伸长的轻质细绳绕过光滑的定滑轮与ab 相连.由静止释放物体，当物体下落高度h=2.0m 时，ab 开始匀速运动，运动中ab 始终垂直导轨并与导轨接触良好。

不计空气阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取10m/s 2。

(1)求ab 棒沿斜面向上运动的最大速度；
(2)在ab 棒从开始运动到开始匀速运动的这段时间内，求通过杆的电量q ； (3)在ab 棒从开始运动到开始匀速运动的这段时间内，求电阻R 上产生的焦耳热。

【答案】(1) (2)q=40C (3)
【解析】 【分析】
(1)由静止释放物体，ab棒先向上做加速运动，随着速度增大，产生的感应电流增大，棒所受的安培力增大，加速度减小，棒做加速度减小的加速运动；当加速度为零时，棒开始匀速，速度达到最大。

据法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律、安培力公式、平衡条件等知识可求出棒的最大速度。

(2)本小问是感应电量的问题，据法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律、电流的定义式、磁通量的概念等知识可进行求解。

(3)从ab棒开始运动到匀速运动，系统的重力势能减小，转化为系统增加的动能、摩擦热和焦耳热，据能量守恒定律可求出系统的焦耳热，再由焦耳定律求出电阻R上产生的焦耳热。

【详解】
(1)金属棒ab和物体匀速运动时，速度达到最大值，由平衡条件知
对物体，有；对ab棒，有
又、
联立解得：
(2) 感应电荷量
据闭合电路的欧姆定律
据法拉第电磁感应定律
在ab棒开始运动到匀速运动的这段时间内，回路中的磁通量变化
联立解得：
(3)对物体和ab棒组成的系统，根据能量守恒定律有：
又
解得：电阻R上产生的焦耳热
5．如图1所示，在光滑的水平面上，有一质量m=1kg、足够长的U型金属导轨abcd，间R=的细导体棒MN垂直于导轨放置，并被固定在水平面上的两距L=1m。

一电阻值0.5Ω
μ=，在M、N两端接有一理想电压表立柱挡住，导体棒MN与导轨间的动摩擦因数0.2
（图中未画出）。

在U型导轨bc边右侧存在垂直向下、大小B=0.5T的匀强磁场（从上向下看）；在两立柱左侧U型金属导轨内存在方向水平向左，大小为B的匀强磁场。

以U型导轨bc边初始位置为原点O建立坐标x轴。

t=0时，U型导轨bc边在外力F作用下从静止开始运动时，测得电压与时间的关系如图2所示。

经过时间t1=2s，撤去外力F，直至U型导轨静止。

已知2s内外力F做功W=14.4J。

不计其他电阻，导体棒MN始终与导轨垂直，忽略导体棒MN的重力。

求：
（1）在2s内外力F随时间t的变化规律；
（2）在整个运动过程中，电路消耗的焦耳热Q ；
（3）在整个运动过程中，U 型导轨bc 边速度与位置坐标x 的函数关系式。

【答案】（1）2 1.2F t =+；（2）12J ；（3）2v x =0≤x ≤4m ）；
6.40.6v x =-324m m 3x ⎛
⎫≤< ⎪⎝
⎭；v =0（32m 3x ≥）
【解析】 【分析】 【详解】
（1）根据法拉第电磁感应定律可知：
U BLv kt t ===
得到：
2U v t BL
==
根据速度与时间关系可知：
22m/s a =
对U 型金属导轨根据牛顿第二定律有：
F IBL IBL ma μ--=
带入数据整理可以得到：
2 1.2F t =+
（2）由功能关系，有
f W Q W =+
由于忽略导体棒MN 的重力，所以摩擦力为：
A f F μ=
则可以得到：
f
A Q W
W μμ==
则整理可以得到：
(1)f W Q W Q μ=+=+
得到：
Q=12J
（3）设从开始运动到撤去外力F 这段时间为1
2s t
=，这段时间内做匀加速运动；
①1t t …时，根据位移与速度关系可知：
v ==1t t =时根据匀变速运动规律可知该时刻速度和位移为：
14m/s v = 14m x =
②1t t >时，物体做变速运动，由动量定理得到：
1(1)BL q mv mv μ-+∆=-
整理可以得到：
2211(1)(1)(4)
6.40.6BL q B L x v v v x m mR
μμ+∆+-=-==--
当32
3
x m =
时： 0v =
综合上述，故bc 边速度与位置坐标x 的函数关系如下：
v =0≤x≤4m ）
6.40.6v x =-324m m 3x ⎛
⎫≤<
⎪⎝
⎭ 0v =（32
m 3
x ≥）
6．电源是通过非静电力做功把其它形式的能转化为电势能的装置，在不同的电源中，非静电力做功的本领也不相同，物理学中用电动势E 来表明电源的这种特性。

在电磁感应现象中，感应电动势分为动生电动势和感生电动势两种。

产生感应电动势的那部分导体就相当于“电源”，在“电源”内部非静电力做功将其它形式的能转化为电能。

（1）如图1所示，固定于水平面的U 形金属框架处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B ，金属框两平行导轨间距为l 。

金属棒MN 在外力的作用下，沿框架以速度v 向右做匀速直线运动，运动过程中金属棒始终垂直于两平行导轨并接触良好。

已知电子的电荷量为e 。

请根据电动势定义，推导金属棒MN 切割磁感线产生的感应电动势E 1；
（2）英国物理学家麦克斯韦认为，变化的磁场会在空间激发感生电场，感生电场与静电场不同，如图2所示它的电场线是一系列同心圆，单个圆上的电场强度大小处处相等，我们把这样的电场称为涡旋电场。

在涡旋电场中电场力做功与路径有关，正因为如此，它是一种非静电力。

如图3所示在某均匀变化的磁场中，将一个半径为x 的金属圆环置于半径为r 的圆形磁场区域，使金属圆环与磁场边界是相同圆心的同心圆，从圆环的两端点a 、b 引
出两根导线，与阻值为R 的电阻和内阻不计的电流表串接起来，金属圆环的电阻为
2
R ，圆环两端点a 、b 间的距离可忽略不计，除金属圆环外其他部分均在磁场外。

已知电子的电荷量为e ，若磁感应强度B 随时间t 的变化关系为B =B 0+kt （k >0且为常量）。

a ．若x ＜r ，求金属圆环上a 、b 两点的电势差U ab ；
b ．若x 与r 大小关系未知，推导金属圆环中自由电子受到的感生电场力2F 与x 的函数关系式，并在图4中定性画出F 2-x 图像。

【答案】（1）见解析（2）a. 2ab 2k πU =3x ； b.2
2 F =
2ker x
；图像见解析 【解析】 【分析】 【详解】
（1）金属棒MN 向右切割磁感线时，棒中的电子受到沿棒向下的洛仑兹力，是这个力充当了非静电力。

非静电力的大小
1F Bev =
从N 到M 非静电力做功为
=W Bevl 非
由电动势定义可得
1W E Blv q
=
=非
（2）a.由01B B kt =+可得
B
k t
∆=∆ 根据法拉第电磁感应定律
2B S
E kS t t ∆Φ∆⋅=
==∆∆ 因为x r <，所以
2=πS x
根据闭合电路欧姆定律得
2
/2
E I R R =
+
ab U I R =⋅
联立解得
2
2π=3
ab k x U b.在很短的时间内电子的位移为s ∆，非静电力对电子做的功为2F s ∆ 电子沿着金属圆环运动一周，非静电力做的功
222πW F s F x ∆=∑=非
根据电动势定义
2W E e
=
非
当x r <时，联立解得
22
kex
F =
当x r >时，磁通量有效面积为
2S r π=
联立解得
2
2ker 2F x
= 由自由电子受到的感生电场力2F 与x 的函数关系式 可得F 2-x 图像
7．如图，POQ 是折成60°角的固定于竖直平面内的光滑金属导轨，导轨关于竖直轴线对称，OP ＝OQ ＝L .整个装置处在垂直导轨平面向里的足够大的匀强磁场中，磁感应强度随时间变化规律为B ＝B 0－kt (其中k 为大于0的常数)．一质量为m 、长为L 、电阻为R 、粗细均匀的导体棒锁定于OP 、OQ 的中点a 、b 位置．当磁感应强度变为
1
2
B 0后保持不变，同时将导体棒解除锁定，导体棒向下运动，离开导轨时的速度为v .导体棒与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，重力加速度为g .求导体棒： (1)解除锁定前回路中电流的大小及方向； (2)滑到导轨末端时的加速度大小； (3)运动过程中产生的焦耳热．
【答案】⑴2
38kL R
，顺时针方向或b→a ；⑵g －2204B L v mR ；⑶
【解析】 【分析】 【详解】
⑴导体棒被锁定前，闭合回路的面积不变，B t
∆∆＝k 由法拉第电磁感应定律知：E ＝
t Φ∆∆＝B S t ∆∆＝2
3kL 由闭合电路欧姆定律知：I ＝E R 总＝2
38kL R
由楞次定律知，感应电流的方向：顺时针方向或b→a ⑵导体棒刚离开导轨时受力如图所示
根据法拉第电磁感应定律有：E ＝01
2
B Lv 根据闭合电路欧姆定律知：I ＝E R
根据安培力公式有：F ＝01
2
ILB 解得：F ＝
01
2
ILB 由牛顿第二定律知：mg －F ＝ma
解得：a ＝g －2204B L v
R
⑶由能量守恒知：mgh ＝2
12
mv ＋Q 由几何关系有：h ＝
34
L
解得：Q ＝
3
4
mgL －212mv
8．如图，两足够长的平行金属导轨平面与水平面间夹角为=30θ︒，导轨电阻忽略不计，二者相距l =1m ，匀强磁场垂直导轨平面，框架上垂直放置一根质量为m =0.1kg 的光滑导体棒ab ，并通过细线、光滑滑轮与一质量为2m 、边长为
2
l
正方形线框相连，金属框下方h =1.0m 处有垂直纸面方向的长方形有界匀强磁场，现将金属框由静止释放，当金属框刚进入磁场时，电阻R 上产生的热量为1Q =0.318J ，且金属框刚好能匀速通过有界磁场。

已知两磁场区域的磁感应强度大小相等。

定值电阻R =1Ω。

导体棒ab 和金属框单位长度电阻r =1Ω/m ，g =10m/s 2，求
(1)两磁场区域的磁感应强度为多大？
(2)金属框刚离开磁场时，系统损失的机械能是多大？ (3)金属框下方没有磁场时，棒的最大速度是多少？
【答案】(1)1T(2)2.136J(3)3m/s 【解析】 【详解】
(1)由题意知，导体棒ab 接入电路的电阻为
11ΩR rl ==
与定值电阻R 相等，故金属框由静止释放到刚进入磁场过程重金属导轨回路产生的总热量为
120.636J Q Q ==
此过程由动能定理得
21
2sin 30(2)2
mgh mgh Q m m v ︒--=+
解得
v =2.4m/s
金属框的总电阻为
21
42Ω2
R l r =⨯⨯=
金属框在磁场中做匀速运动时导体棒ab 产生的电动势为1E Blv =，则有
1
11E I R R
=
+ 金属框产生的电动势
212E Blv =
2
22
E I R =
金属框在磁场中做匀速运动时由平衡条件得
121
2sin 3002
mg mg BI l BI l ︒---=
得
B =1T
(2)由于金属框刚好能做匀速通过有界磁场，说明磁场宽度与线框边长相等
0.52
l
d m =
= 根据能量守恒得
21
2(2)(2)sin 30(2)2
mg h d mg h d E m m v ︒+-+=∆++
得
2.136J E ∆=
(3)金属框下没有磁场，棒的速度达到最大后做匀速运动，设此时速度为m v ，则
m
1Blv I R R
=
+ 根据平衡条件得
2sin 300mg mg BIl ︒--=
解得
m 3m/s v =。

9．如图所示，粗糙斜面的倾角37θ︒=，斜面上直径0.4m D =的圆形区域内存在着垂直于斜面向下的匀强磁场（图中只画出了磁场区域，未标明磁场方向），一个匝数为100n =的刚性正方形线框abcd ，边长为0.5m ，通过松弛的柔软导线与一个额定功率2W P =的小灯泡L 相连，圆形磁场的一条直径恰好过线框bc 边，已知线框质量2kg m =，总电阻02R =Ω，与斜面间的动摩擦因数0.5μ=，灯泡及柔软导线质量不计，从0t =时刻起，
磁场的磁感应强度按2
1(T)B t π
=-
的规律变化，开始时线框静止在斜面上，T 在线框运动
前，灯泡始终正常发光，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，2
10m/s g =，
370.6sin ︒=， 370.8cos ︒=.
（1）求线框静止时，回路中的电流I ；
（2）求在线框保持不动的时间内，小灯泡产生的热量Q ；
（3）若线框刚好开始运动时即保持磁场不再变化，求线框从开始运动到bc 边离开磁场的过程中通过小灯泡的电荷量q .（柔软导线及小灯泡对线框运动的影响可忽略，且斜面足够长）
【答案】（1）1A （2）2.83J （3）0.16C 【解析】 【详解】
（1）由法拉第电磁感应定律可得线框中产生的感应电动势大小为
2
14V 22B D E n n t t π∆Φ∆⎛⎫
==⨯⨯= ⎪∆∆⎝⎭
设小灯泡电阻为R ，由
2
20E P I R R R R ⎛⎫== ⎪+⎝⎭
可得
2R =Ω
解得
2A 1A 2
P I R =
== （2）设线框保持不动的时间为t ，根据共点力的平衡条件可得
2sin 1cos mg n t ID mg θμθπ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
解得
0.45t s π=
产生的热量为
2.J 83Q Pt ==
（3）线框刚好开始运动时
210.45T 0.1T B ππ⎛⎫
=-⨯= ⎪⎝⎭
根据闭合电路的欧姆定律可得
00
0B
n
s
E t I R R R R -∆==
++ 根据电荷量的计算公式可得
0.16C nBS
q I t R R =⋅∆=
=+
10．如图所示，间距为l 的平行金属导轨与水平面间的夹角为α，导轨间接有一阻值为R 的电阻，一长为l 的金属杆置于导轨上，杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ，导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，方向垂直于斜面向上，当金属杆受到平行于斜面向上大小为F 的恒定拉力作用，可以使其
匀速向上运动；当金属杆受到平行于斜面向下大小为
2
F
的恒定拉力作用时，可以使其保持与向上运动时大小相同的速度向下匀速运动，重力加速度大小为g ，求：
（1）金属杆的质量；
（2）金属杆在磁场中匀速向上运动时速度的大小。

【答案】（1）4sin F m g α=；（2）2222344tan RE RF
v B l B l μα
=-。

【解析】 【分析】 【详解】
（1）金属杆在平行于斜面向上大小为F 的恒定拉力作用下可以保持匀速向上运动，设金属杆的质量为m ，速度为v ，由力的平衡条件可得
sin cos F mg mg BIl αμα=++，
同理可得
sin cos 2
F
mg mg BIl αμα+=+， 由闭合电路的欧姆定律可得
E IR =，
由法拉第电磁感应定律可得
E BLv =，
联立解得
4sin
F
m g α
=
，
（2）金属杆在磁场中匀速向上运动时速度的大小
2222344tan RE RF
v B l B l μα
=
-。

11．如图所示，竖直固定的足够长的光滑金属导轨MN 、PQ ，间距L =0.2m ，其电阻不计.完全相同的两根金属棒ab 、cd 垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终良好接触.已知两棒质量均为m =0.01kg ，电阻均为R =0.2Ω，棒cd 放置在水平绝缘平台上，整个装置处在垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，磁感应强度B =1.0T.棒ab 在竖直向上的恒力F 作用下由静止开始向上运动，当ab 棒运动位移x =0.1m 时达到最大速度，此时cd 棒对绝缘平台的压力恰好为零，重力加速度g 取10m/s 2.求： (1)恒力F 的大小；
(2)ab 棒由静止到最大速度通过ab 棒的电荷量q ； (3)ab 棒由静止到达到最大速度过程中回路产生的焦耳热Q .
【答案】(1)0.2N(2)0.05C(3)5×10-3J 【解析】 【详解】
(1)当棒ab 达到最大速度时，对ab 和cd 的整体：
20.2N F mg ==
(2) ab 棒由静止到最大速度通过ab 棒的电荷量
q It =
22BLx E t
I R R
== 解得
10.20.1
C 0.05C 220.2
BLx q R ⨯⨯=
==⨯ (3)棒ab 达到最大速度v m 时，对棒cd 有
BIL=mg
由闭合电路欧姆定律知
2E
I R
＝
棒ab 切割磁感线产生的感应电动势
E=BLv m
代入数据解得
v m =1m/s
ab 棒由静止到最大速度过程中，由能量守恒定律得
()21
2
m F mg x mv Q -+＝
代入数据解得
Q =5×10-3J
12．如图甲所示。

在同一水平面上，两条足够长的平行金属导轨MNPQ 间距为
0.15m L =，右端接有电阻0.2ΩR =，导轨EF 连线左侧光滑且绝缘.右侧导轨粗糙，EFGH 区域内有垂直导轨平面磁感应强度4T B =的矩形匀强磁场；一根轻质弹簧水平放置，左
端固定在K 点，右端与质量为0.1kg m =的金属棒a 接触但不栓接，且与导轨间的动摩擦因数0.1μ=，弹簧自由伸长时a 棒刚好在EF 处，金属棒a 垂直导轨放置，现使金属棒a 在外力作用下缓慢地由EF 向左压缩至AB 处锁定，压缩量为00.04m x =。

此时在EF 处放上垂直于导轨质量0.3kg M =电阻0.1Ωr =的静止金属棒b 。

接着释放金属棒a ，两金属棒在EF 处碰撞，a 弹回并压缩弹簧至CD 处时速度刚好为零且被锁定，此时压缩量为
10.02m x =，b 棒向右运动，经过0.1s t =从右边界GH 离开磁场，金属棒b 在磁场运动
过程中流经电阻R 的电量0.2C q =。

设棒的运动都垂直于导轨，棒的大小不计，已知弹簧的弹力与形变量的关系图像（如图乙）与x 轴所围面积为弹簧具有的弹性势能。

求： （1）金属棒a 碰撞金属棒b 前瞬间的速度0v （2）金属棒b 离开磁场时的速度2v （3）整个过程中电阻R 上产生的热量R Q
【答案】（1）2m/s （2）0.5m/s （3）0.055J 【解析】 【详解】
（1）如乙图所示，最初弹簧具有的弹性势能：
100.04
J 0.2J 2
p E ⨯=
= 根据机械能守恒得：
2012
p E mv =
可得 02m/s v =
（2）设a 棒反弹的速度为1v ，b 棒碰后速度为3v ，金属棒b 离开磁场时的速度2v 。

a 弹回至CD 处时弹簧具有的弹性势能为：
50.02
J 0.05J 2
p E ⨯'=
= 根据机械能守恒得：
211
2
p E mv '=
解得11m/s v =
对于碰撞过程，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
013mv mv Mv =-+
可得31m/s v =
b 棒通过磁场的过程，根据动量定理得：
23()BILt ft M v v --=-
又：
0.2C q It == 0.3N f Mg μ==
可得20.5m/s v = （3）根据：
Et BLvt BLx
q It R r R r R r
==
==+++ 可得0.1m x =
整个过程中回路产生的总热量：
()22
3212
Q M v v fx =--总 电阻R 上产生的热量：
R R
Q Q R r =
+总
联立解得：0.055J R Q =
13．如图所示，水平面上有一个高为d 的木块，木块与水平面间的动摩擦因数为μ=0.1．由均匀金属材料制成的边长为2d 、有一定电阻的正方形单匝线框，竖直固定在木
块上表面，它们的总质量为m ．在木块右侧有两处相邻的边长均为2d 的正方形区域，正方形底边离水平面高度为2d ．两区域各有一水平方向的匀强磁场穿过，其中一个方向垂直于纸面向里，另一个方向垂直于纸面向外，区域Ⅱ中的磁感应强度为区域Ⅰ中的3倍．木块在水平外力作用下匀速通过这两个磁场区域．已知当线框右边MN 刚进入Ⅰ区时，外力大小恰好为0320
F g m =
，此时M 点电势高于N 点，M 、N 两点电势差U MN =U ．试求：
（1）区域Ⅰ中磁感应强度的方向怎样？
（2）线框右边MN 在Ⅰ区运动过程中通过线框任一横截面的电量q ． （3）MN 刚到达Ⅱ区正中间时，拉力的大小F ． （4）MN 在Ⅱ区运动过程中拉力做的功W ．
【答案】（1）向外 （2）340mgd q U = （3）
4750mg （4）47
25
mgd 【解析】 【详解】
（1）因为线框从左向右匀速通过这两个磁场区域，所以拉力方向向右，安培力方向向左。

因为M 点电势高于N 点，由右手定制可判断区域Ⅰ中磁感应强度的方向向外。

（2）设线框的总电阻为R ，磁场Ⅰ区的磁感强度为B ，线框右边MN 在Ⅰ区运动过程中有一半长度切割磁感线产生感应电动势，有
Bdv I R
R
ε
=
=
，33
44U I R Bdv =⋅=
线框右边MN 在Ⅰ区运动过程中，木块与线框受力平衡，有
0A F F mg μ--=
解得
31
0.12020
A F BId mg mg mg ==
-= 通过线框任一横截面的电量q 为q It =，其中2d
t v
= 联立以上各式，解得
340mgd
q U
=
（3）MN 刚到达Ⅱ区正中间时，流过线框的电流为
34'4Bdv Bdv Bdv
I I R R
+=
==
线框左、右两条边均受到向左的安培力作用，总的安培力大小为
4
''3'165
A A F BI d BI d F mg =+==
由于线框上边各有一半处在磁场Ⅰ区、Ⅱ区中，所以分别受到向上与向下的安培力作用，此时木块受到的支持力N 为
7
3''85
A N mg BI d BI d mg F mg =+-=+=
木块与线框组成的系统受力平衡，因此拉力F 为
4747
'55050
A F F N mg mg mg μ=+=+=
（4）随着MN 在磁场Ⅱ区的运动，木块受到的支持力N x 随发生的位移x 而变化，有
3''(2)2'4'x N mg BI x BI d x mg BI d BI x =+--=-+
由于N x 随位移x 线性变化，因此MN 在Ⅱ区运动过程中木块受到的平均支持力为
4'27
2'2'25
BI d N mg BI d mg BI d mg ⋅=-+
=+= 此过程中拉力做的功W 为
4747
'222255025
A W F d N d mg d mg d mgd μ=⋅+⋅=⋅+⋅=
14．如图所示，固定位置在同一水平面内的两根平行长直金属导轨的间距为d ，其右端接有阻值为R 的电阻，整个装置处在竖直向上磁感应强度大小为B 的匀强磁场中．一质量为m （质量分布均匀）的导体杆ab 垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触，杆与导轨之间的动摩擦因数为μ．现杆在水平向左、垂直于杆的恒力F 作用下从静止开始沿导轨运动距离L 时，速度恰好达到最大（运动过程中杆始终与导轨保持垂直）．设杆接入电路的电阻为r ，导轨电阻不计，重力加速度大小为g ．求：此过程中，
（1）导体棒刚开始运动时的加速度a （2）导体棒速度的最大值v m （3）导体棒中产生的焦耳热Q （4）流过电阻R 的电量q 【答案】（1）F mg a m μ-=
（2）22
()()
m F mg r R v B d
μ-+=
（3）{2221()()[]2r F mg r R Q FL mgL m r R B d μμ-+⎫=--⎬
+⎭
（4）BLd
q R r =+ 【解析】 【详解】
（1）导体棒刚开始运动时，水平方向只受拉力F 和摩擦力作用，则F-μmg=ma，解得
F mg a m
μ-=
（2）杆受到的安培力：F B =BId=22 m
B d v R r
+，
杆匀速运动时速度最大，由平衡条件得：F=F B +f ，
即：F=22 m
B d v R r
++μmg ， 解得：()()22
m F mg r R v B d μ-+=
；
（3）开始到达到最大速度的过程中，由能量守恒定律得：FL-μmgL=Q+1
2
mv m 2， 导体棒上产生的热流量：Q R =
r
R r
+Q ， 解得：Q R = r R r + [（F-μmg ）L-22
44
()()2m F mg R r B d
μ-+]； （4）电荷量：()E BdL BdL
q I t t t R r R r t
R r ==
=⨯=+++V V V V ； 【点睛】当杆做匀速运动时速度最大，应用平衡条件、安培力公式、能量守恒定律即可正确解题．分析清楚杆的运动过程，杆做匀速运动时速度最大；杆克服安培力做功转化为焦耳热，可以从能量角度求焦耳热．
15．如图所示，宽度为L 的金属框架竖直固定在绝缘地面上，框架的上端接有一特殊的电子元件，如果将其作用等效成一个电阻，则其阻值与其两端所加的电压成正比，即等效电阻R kU =，式中k 为恒量．框架上有一质量为m 的金属棒水平放置，金属棒与光滑框架接触良好，离地高度为h ，磁感应强度为B 的匀强磁场与框架平面垂直．将金属棒由静止释放，棒沿框架向下运动．其它电阻不计，问： （1）金属棒运动过程中，流过棒的电流多大？方向如何？ （2）金属棒经过多长时间落到地面？
（3）金属棒从释放到落地过程中在电子元件上消耗的电能多大？。